Spostrzeenia zawarunkowane z niewiadomymi Spostrzeenia zawarunkowane z niewiadomymi

Spostrzeżenia zawarunkowane z niewiadomymi

Spostrzeżenia zawarunkowane z niewiadomymi są wynikami pomiarów wielkości , których prawdziwe wartości związane są z sobą równaniami zawierającymi również pewne niewiadome. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi polega na wyznaczeniu takich wartości niewiadomych oraz takich poprawek spostrzeżeń v , żeby [pvv] była równa minimum oraz aby założone warunki były spełnione.

Przykład zastosowania metody – równanie prostej: W celu określenia nieznanych parametrów a i b równania prostej pomierzono współrzędne xi oraz yi dla n punktów. Wartości prawdziwe tych współrzędnych winny spełniać warunek:

W tym zadaniu dysponujemy współrzędnymi punktów, które są wynikami pomiarów i w trakcie wyrównania powinny otrzymać poprawki v zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów. Natomiast dla nieznanych parametrów a i b , trzeba wyznaczyć wartości przybliżone a 0 i b 0, a następnie w wyniku wyrównania obliczyć poprawki Da i Db. Warunki z niewiadomymi a i b:

Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi metodą bezpośrednią

Prosty przykład: 3 1 x 2 Spostrzeżenia: 5 4 Przybliżona wartość niewiadomej x:

Warunki: 3 1 x 2 5 4

Warunki: Równania odchyłek:

Ogólna postać równań odchyłek: Funkcja Lagrange’a: Warunek wyrównania:

Pochodne z funkcji Lagrange’a

Przekształcone pochodne z funkcji Lagrange’a: Wzór na obliczenie poprawek spostrzeżeń: Równania powstałe z pochodnych względem niewiadomych:

Utworzenie układu równań normalnych: Do równań odchyłek wstawiamy zamiast v A następnie dopisujemy pochodne z funkcji Lagrange’a względem niewiadomych:

Równania normalne w zapisie klasycznym:

Prosty przykład c. d. Równania odchyłek: Tabelaryczny zapis równań odchyłek:

Równania normalne:

Zapis macierzowy równań normalnych:

Rozwiązanie równań normalnych:

Obliczenie poprawek i wyrównanie spostrzeżeń i niewiadomych: Kontrola ogólna:

Kontrola generalna: Ocena dokładności:

Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi metodą zawarunkowaną

Wyrównanie spostrzeżeń powiązanych r warunkami o k niewiadomych można łatwo zastąpić wyrównaniem spostrzeżeń zawarunkowanych jeżeli można bez trudności wyrazić k niewiadomych z k odpowiednio wybranych równań warunkowych za pomocą spostrzeżeń. Uwzględniając otrzymane wyrażenia na niewiadome w pozostałych r-k równaniach warunkowych, otrzymamy z nich r-k warunków bez niewiadomych. Dalszego wyrównania dokonuje się sposobem spostrzeżeń zawarunkowanych.

Przejście do metody zawarunkowanej: Warunki: 3 1 x 2 5 Wyznaczamy x z jednego z warunków: 4 i wstawiamy do pozostałych warunków:

Równania normalne korelat:

Korelaty: Obliczenie poprawek: Poprawki spostrzeżeń mają wartości identyczne jak w poprzedniej metodzie.

Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi metodą pośredniczącą

W zadaniu wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomymi, w którym jest r warunków nałożonych na n spostrzeżeń z k niewiadomymi, n-r spostrzeżeń jest niezależnych od siebie. By przejść do metody pośredniczącej należy do zadania wprowadzić n-r niewiadomych. W przykładzie jest n=5 spostrzeżeń, k=1 niewiadomych i r=3 warunków. Należy wprowadzić n – r = 2 dodatkowe niewiadome

Przejście do metody pośredniczącej n-r = 5 -3 = 2 niewiadome 3 1 x 2 5 4 Przybliżone wartości niewiadomych:

Równania błędów: Tabela równań błędów: Układ równań normalnych:

Poprawki niewiadomych: Poprawki spostrzeżeń mają wartości identyczne jak w poprzednich dwóch metodach.