SPECIFICATION DES VARIABLES Variable dpendante Variable indpendante niveauniveau

SPECIFICATION DES VARIABLES Variable dépendante Variable indépendante niveau-niveau Y Xj niveau-log Y log(Xj) log-niveau log(Y) Xj log-log log(Y) log(Xj)

NIVEAU-NIVEAU Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + … + b. K X K + e • Y = fonction linéaire de X 2 – Relation utile pour caractériser des rendements marginaux constants de X 2 sur Y • Le coefficient b 2 mesure l’effet « ceteris paribus » , ou l’effet marginal, de X 2 sur Y, sachant que DY/DX 2 = b 2 – si X 2 augmente de 1 unité de mesure (soit DX 2=1), alors Y varie de b 2 unité(s) de mesure, toutes choses étant égales par ailleurs

NIVEAU-LOG Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • Y = fonction linéaire de log(X 2)

b 1 chapeau 1 b 2 chapeau 0, 5 Y en fonction de log(X 2) sachant que Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e 3. 00 Variable Y 2. 50 2. 00 1. 50 1. 00 0. 50 0. 00 0. 50 1. 00 1. 50 2. 00 2. 50 Variable log(X 2) 3. 00 3. 50 4. 00

NIVEAU-LOG Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • Y = fonction linéaire de log(X 2) • Y = fonction logarithme, donc non-linéaire, de X 2 – Relation utile pour caractériser des rendements marginaux décroissants de X 2 sur Y

b 1 chapeau 1 b 2 chapeau 0, 5 Y en fonction de X 2 sachant que Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e 3. 00 Variable Y 2. 50 2. 00 1. 50 1. 00 0. 50 0. 00 5. 00 10. 00 15. 00 20. 00 25. 00 Variable X 2 30. 00 35. 00 40. 00 45. 00

NIVEAU-LOG Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • Y = fonction linéaire de log(X 2) • Y = fonction logarithme, donc non-linéaire, de X 2 – Relation utile pour caractériser des rendements marginaux décroissants de X 2 sur Y • Le coefficient b 2 mesure l’effet marginal de X 2 sur Y, sachant que DY/DX 2 = b 2/X 2 DY = b 2 DX 2/X 2 DY = b 2/100 %DX 2 – si X 2 augmente de 1 pourcent, soit %DX 2=1, alors Y varie de b 2/100 unité(s) de mesure, toutes choses étant égales par ailleurs

LOG-NIVEAU log(Y) = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • log(Y) = fonction linéaire de X 2

b 1 chapeau 1 b 2 chapeau 0, 5 log(Y) en fonction de X 2 sachant que Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e 25. 00 Variable log(Y) 20. 00 15. 00 10. 00 5. 00 10. 00 15. 00 20. 00 25. 00 Variable X 2 30. 00 35. 00 40. 00 45. 00

LOG-NIVEAU log(Y) = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • log(Y) = fonction linéaire de X 2 • Y = fonction exponentielle, donc non-linéaire, de X 2 – Relation utile pour caractériser des rendements marginaux croissants de X 2 sur Y

b 1 chapeau 1 b 2 chapeau 0, 1 Y en fonction de X 2 sachant que Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e 160. 00 140. 00 Variable Y 120. 00 100. 00 80. 00 60. 00 40. 00 20. 00 5. 00 10. 00 15. 00 20. 00 25. 00 Variable X 2 30. 00 35. 00 40. 00 45. 00

LOG-NIVEAU log(Y) = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • log(Y) = fonction linéaire de X 2 • Y = fonction exponentielle, donc non-linéaire, de X 2 – Relation utile pour caractériser des rendements marginaux croissants de X 2 sur Y • Le coefficient b 2 mesure l’effet marginal de X 2 sur Y, sachant que Dlog(Y)/DX 2 = b 2 100 Dlog(Y)/DX 2 = 100 b 2 %DY 100 b 2 DX 2 – si X 2 augmente de 1 unité de mesure, soit DX 2=1, alors Y varie d’environ 100 b 2 pourcent(s), toutes choses étant égales par ailleurs

LOG-NIVEAU • Si X 2 augmente de 1 unité de mesure, soit DX 2=1, alors Y varie d’exactement 100 [exp(b 2) -1] pourcent(s) Preuve : Dlog(Y)/DX 2 = b 2 log(Y 1) - log(Y 0) = b 2 DX 2 log(Y 1/Y 0 – 1 + 1) = b 2 DX 2 log(1+((Y 1 – Y 0 ) /Y 0)) = b 2 DX 2 exp[log(1+(DY /Y 0))] = exp(b 2 DX 2) 1+(DY /Y 0)= exp(b 2 DX 2) 100 (DY /Y 0)= 100[exp(b 2 DX 2)-1] %DY = 100 [exp(b 2 DX 2)-1]

LOG-LOG log(Y) = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • log(Y) = fonction linéaire de log(X 2)

b 1 chapeau 1 b 2 chapeau 0, 5 log(Y) en fonction de log(X 2) sachant que Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e 3. 00 Variable log(Y) 2. 50 2. 00 1. 50 1. 00 0. 50 0. 00 0. 50 1. 00 1. 50 2. 00 2. 50 Variable log(X 2) 3. 00 3. 50 4. 00

LOG-LOG log(Y) = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • log(Y) = fonction linéaire de log(X 2) – Relation entre Y et X 2 à élasticité constante, égale à b 2 • Y = fonction généralement non-linéaire de X 2 – sauf si l’élasticité est unitaire, par exemple

beta 1 beta 2 1 0, 5 Y en fonction de X 2 sachant que Y = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e 18. 00 16. 00 Variable Y 14. 00 12. 00 10. 00 8. 00 6. 00 4. 00 2. 00 0. 00 5. 00 10. 00 15. 00 20. 00 25. 00 Variable X 2 30. 00 35. 00 40. 00 45. 00

LOG-LOG log(Y) = b 1 + b 2 log(X 2) + b 3 X 3 + … + b. K XK + e • log(Y) = fonction linéaire de log(X 2) – Relation à élasticité constante entre Y et X 2 • Y = fonction généralement non-linéaire de X 2 – sauf si l’élasticité est unitaire, par exemple • Le coefficient b 2 mesure l’effet marginal d’une variation de X 2 sur Y, sachant que Dlog(Y)/Dlog(X 2) = b 2 100 Dlog(Y)/100 Dlog(X 2) = b 2 %DY/ %DX 2 b 2 %DY b 2 %DX 2 – si X 2 augmente de 1 pourcent, soit %DX 2=1, alors Y varie d’environ b 2 pourcent(s), toutes choses étant égales par ailleurs

INTERPRETATION DES COEFFICIENTS : SYNTHESE b 2 Variable dépendante Variable indépendante niveau Y X 2 niveau-log Y log(X 2) 4, 1317 DY = (b 2/100) %DX 2 log-niveau log(Y) X 2 0, 0083 %DY ≈ (100 b 2) DX 2 log-log log(Y) log(X 2) Y = POURC_TB_SANTE X 2 = REVMED_MEUROS Interprétation de b 2 0, 2507 DY = b 2 DX 2 0, 1413 %DY ≈ (b 2) %DX 2

INTERPRETATION DES COEFFICIENTS : SYNTHESE Modèle Variable dépendante Variable Interprétation de bj indépendante niveau-niveau Y X 2 DY = bj DXj niveau-log Y log(Xj) DY = (bj/100) %DXj log-niveau log(Y) X 2 %DY ≈ (100 bj) DXj (*) log-log log(Y) log(Xj) %DY ≈ (bj) %DXj (*) %DY = 100 ( exp(bj DXj)-1)

AUTRES TRANSFORMATIONS Variable « en niveau » Variable transformée Z Z 0, 5 Z Z-1 Z Z 2 Z Zp