Soyez les bienvenus Prsentation dans le cadre du

Soyez les bienvenus! Présentation dans le cadre du congrès mathématique Dédra-MATH-isons Le 22 avril 2009 Travail réalisé par Thomas Van Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula, Thomas Vande Casteele et Nathan Louagie Avec l’aide de M. Bolly Collège Saint-Michel

Les Triplets Pythagoriciens

Plan de l’exposé 1. Introduction 2. Approche algébrique 3. Approche géométrique 4. Quelques propriétés remarquables

1. Introduction 1. 1. La corde à nœuds Ø Cet instrument de mesure permet de vérifier qu’un angle est droit. Ø La corde à nœuds est une application directe des triplets pythagoriciens. Ø Elle peut former un triangle (3, 4, 5) tel qu’illustré à droite.

1. 2. Définitions 5 Ø Un triplet pythagoricien est une combinaison de naturels vérifiant la formule a²=b²+c². 3 4 Ø Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers.

Ø Un triplet est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux deux à deux. – Cas particulier: le seul triangle primitif dont les côtés ont pour mesure des naturels consécutifs est le triangle (3, 4, 5). – Exemples de triangles primitifs: A B C 5 12 13 8 15 17 20 21 29 9 40 41

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Comment pourrionsnous trouver des triplets pythagoriciens de manière algébrique?

2. Approche algébrique 2. 1. a et b tels que ab=x² Nous devons trouver la mesure des côtés a et b du rectangle afin que son aire égale celle du carré ab x² (1) z+y=a (2) z-y =b (1)+(2): 2 z=a+b

2. 2. Est-il possible de trouver (x, y, z) tels que z - y= y - x = n ? ØPrenons d’abord le cas où x, y et z sont consécutifs : z - y= y - x= 1 ØPar résolution d’une équation du second degré, on a prouvé que l’unique solution était le triplet (3, 4, 5). ØPartant de ce triplet primitif, on peut trouver pour chaque n (n étant naturel) un unique triplet tel que: z – y= y – x= n

Démonstration par récurrence: Vrai pour n=1 (3, 4, 5) x 1 = (3, 4, 5) 5 – 4= 4 – 3 = 1 On suppose que c’est vrai pour n et on démontre pour n + 1 (3, 4, 5) x (n+1) = (3 n+3, 4 n+4, 5 n+5) On a bien que z – y= y – x = n+1 Pour obtenir un triplet où les différences entre z et y et entre y et x sont égales à un même naturel, il suffit de multiplier les membres du triplet (3, 4, 5) par ce naturel.

Quelle est l’histoire de formules notables permettant de générer des triplets?

2. 2 Un petit bout d’Histoire des mathématiques 2. 2. 1. Les formules de la Grèce Antique a) Platon « Pour tout entier naturel n, le triplet (2 n ; n² − 1 ; n² +1) est pythagoricien. » b) Pythagore « Pour tout entier naturel n, le triplet (2 n +1 ; 2 n² +2 n +1) est pythagoricien. »

c) Euclide « Soient a, b et c trois entiers premiers entre eux deux à deux. Alors a²+ b² = c² si et seulement s’il existe deux entiers naturels non nuls premiers entre eux n et m tel que : a =2 nm; b= n²−m² et c² =n² +m² » Démonstration: Ø Si x = 2 nm, y = n²-m² et z² = n²+m², alors (x, y, z) est un triplet pythagoricien Ø Réciproquement, soit (x, y, z) irréductible, alors x et y ne sont pas de même parité Ø Si x et y pairs, ce n’est pas un triplet primitif car les membres du triplet ont alors 2 comme facteur commun.

Ø Si x et y étaient tous les deux impairs, on pourrait écrire x = 2 p+1 ( p naturel) et y= 2 q+1 Ø D’où x²+y²= (2 p+1)²+(2 q+1)²= 4 p²+ 4 p+4 q²+4 q+2 = 4 (p²+p+q²+q)+2 Ø Or ceci signifierait que z² serait pair et non divisible par 4. IMPOSSIBLE ( (2 n)²= 4. n²). Tout nombre pair élevé au carré donne un multiple de 4! x et y doivent être de parité opposée x = 2 nm est le terme pair y est impair et forcément z l’est aussi.

Posons x = 2 u z+y = 2 v z-y = 2 w Ø u, v et w sont premiers entre eux (puisque x, y et z le sont) x² = z²- y² (z+y)(z-y) = 4 vw Ø x² = (2 u)² = 4 u² u² = x²/4 u² = vw Mais v et w étant premiers entre eux, ce sont nécessairement des carrés parfaits car u²= vw

Ø Nous pouvons donc écrire v= n² et w= m² (n et m sont premiers entre eux) x²= 4 m²n² x= 2 mn y = v - w = n²-m² z = v +w = n²+m²

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Cherchons des formules génératrices des triplets par la géométrie!

3. Approche géométrique 3. 1. Génération géométrique des triplets pythagoriciens La construction : Ø Un cercle est inscrit dans un carré de côté unité dont l’un des sommets est P. Soit A l’une des intersections entre le cercle et le carré. La droite (AP) coupe le cercle en A’. Ø Le rapport entre les côtés du rectangle A’A 1 A 2 A 3 inscrit dans le cercle est 4/3. Ø Joignant à nouveau P aux sommets des rectangles inscrits on obtient d’autres intersections et de triplets ainsi de suite.

3. 2. Interprétation géométrique de la formule euclidienne Si a²+b²=c² alors (a/c)²+ (b/c)²=1 Ø Cette équation représente le cercle de rayon 1 dans un repère orthonormé. Tout point de ce cercle est donc solution de l’équation pythagoricienne. Nous cherchons à l’aide de la géométrie, les solutions entières Ø Considérons le point P(0, 1), le point P’(m/n, 0) et le point d’intersection P’’ entre le cercle et la droite PP’

Ø Nous recherchons une formule pour trouver les coordonnés du point P’’ Ø Le cercle a pour équation y² + x² = 1 Ø La droite PP’ a pour équation y = (m/n)x – 1 Ø Nous remplaçons y dans l’équation du cercle pour trouver les coordonnés du point d’intersection P’’: (m²/n²)x² – 2(m/n)x + 1 + x² = 1 Ø Nous obtenons ainsi la formule d’Euclide: x = [2(m/n)] / [(m²/n²) + 1] = (2 mn) / (m² + n²) y = (-2 m² + n²) / (m² + n²) = (n² - m²) / (m² + n²)

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Explicitons et démontrons certaines propriétés des triplets pythagoriciens!

4. Quelques propriétés remarquables 4. 1 La divisibilité d’un des termes d’un triplet par 4 Si a est le côté pair alors b et c sont impairs (cf. propriété de parité des triplets) En remplaçant a, b et c dans la formule des triplets nous obtenons: § a = 2 u (u, v, w, y Є N) § b = 2 v+1 § c = 2 w+1 a² = c² - b² 4 u² = 4 w² + 4 w + 1 – 4 v² - 4 v - 1 4 u² = 4 (w² + w - v² - v)0 u² = w² + w - v² - v u² = w (w+1) - v(v +1)

Nous savons que w (w+1) et v(v +1) sont impairs tandis que u² est pair. u² = impair - impair u² = pair Si u² est pair, u est pair u = pair = 2 y Nous avons posé a = 2 u = 2. 2 y = 4 y a est divisible par 4

4. 2. (x, y , z) tels que y et z sont consécutifs a) x²+y²=(y+1)² x²+y²=y²+2 y+1 y=(x²-1)/2 (x , (x²-1)/2, (x²+1)/2) Remarque: x doit être impair pour que y et z soient des naturels b) y et z diffèrent de 2 unités x²+y²= (y+2)² x² = 4 y+4 y = (x²-4)/4 (x, (x²-4)/4, (x²+4)/4) X² doit être un multiple de 4 et donc x doit être pair

c) Généralisons: y et z diffèrent de n unités x²+y²= (y+n)² x²+y²= y²+ 2 ny+n² 2 ny= x²-n² y= (x²-n²)/2 n alors z= (x²+n²)/2 n (x, (x²-n²)/2 n, (x²+n²)/2 n)

4. 3. Génération de triplets par les complexes Ø Théorème : A chaque nombre complexe, défini par c = a+bi, correspond un triplet pythagoricien noté (a²-b², 2 ab, a²+b²). A condition que a et b soient des entiers strictement positifs, a< b Ø Démonstration : 1. c² = a²- b² + i 2 ab = x + iy 2. x²+y²= (a²- b²)² + (2 ab)²= a⁴+ 2 a²b²+ b⁴+ 4 a²b² = (a²+ b²)² = z²

4. 4 Le dernier théorème de Fermat 4. 4. 1. L’équation générale Ø Conjecture de Fermat: Il n’y a pas de nombres entiers non nuls a, b et c tels que an + bn = cn où n est un entier strictement supérieur à 2 Ø Démonstration de Andrew Wiles: 1. Démontrer que toute courbe elliptique est paramétrée par des fonctions modulaires. (conjecture de Shimura-Taniyama -Weil) 2. Associer aux solutions de l'équation de Fermat une courbe elliptique. 3. Démontrer que cette courbe ne peut être paramétrée par des fonctions modulaires.

4. 4. 2. Cas où n=2 Ø a²+b²=c² Ø Dans un repère orthonormé par l’axe horizontal a et par l’axe vertical b, les couples (a, b) de cette équation sont représentés par le graphique suivant:

b a