SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE EQUAZIONE DELLE ONDE Le derivate

SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE EQUAZIONE DELLE ONDE Le derivate seconde compaiono alla prima potenza per cui è un'equazione lineare! Se y 1 e y 2 sono soluzioni anche una qualsiasi loro combinazione lineare con c 1 e c 2 arbitrari, lo è! Se ho due perturbazioni che si propagano l'effetto complessivo è la somma algebrica delle due perturbazioni. Se l'ampiezza risultante è maggiore di entrambe 1 le ampiezze si ha interferenza costruttiva, altrimenti interferenza distruttiva

SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE SINUSOIDALI Il risultato della sovrapposizione di onde sinusoidali dipende dalla loro ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda ed anche dal loro sfasamento relativo Onde di uguale ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda che si propagano in verso opposto Onde di uguale ampiezza, frequenza, lunghezza d'onda e verso di propagazione ma sfasate Onde con lunghezza d'onda e velocità diversa: il pacchetto cambia forma (dispersione) 2

INTERFEROMETRO DI MICHELSON Se due onde uguali partono da una sorgente allo stesso istante ma raggiungono il ricevitore compiendo cammini diversi si ha uno sfasamento e quindi un'interferenza. L'interferometro di Michelson usa un raggio laser diviso in due da uno specchio semiriflettente. I due raggi si riuniscono dopo aver percorso diversi cammini. La differenza di cammino varia al variare del punto sullo schermo: si hanno delle frange di interferenza (massimi per sfasamenti multipli di l) Se la velocità della luce c si sommasse con quella della terra, ruotando di 90 o l'interferometro si vedrebbe uno spostamento delle frange di interferenza. 3 Non si osserva nessuno spostamento→ c è costante!

L'INTERFEROMETRO VIRGO A CASCINA Un'onda gravitazionale è quadrupolare e modifica le distanze lungo gli assi perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda in modo sfasato Un raggio laser viene diviso da una lente birifrangente. La differenza del cammino percorso è tale che in condizioni normali ci sia interferenza distruttiva! 1/10 s Al passaggio dell'onda gravitazionale il cammino percorso varia in modo diverso: l'interferenza non è più distruttiva e si 4 osserva un segnale luminoso!

I BATTIMENTI Considerando un punto x fisso, come il nostro timpano, la somma di onde di frequenze vicine: ha per effetto un onda di frequenza media L'ampiezza viene “modulata”. L'intensità percepita, proporzionale all'ampiezza al quadrato, oscilla con: FREQUENZA DI BATTIMENTO 5 Si può usare per accordare una chitarra!

ONDE STAZIONARIE Se due onde che si propagano si sovrappongono in modo tale che: - tutti i punti oscillano con la stessa frequenza e sono in fase o in controfase tra di loro. - l'ampiezza dell'oscillazione di un punto è sempre la stessa (ma può variare da punto) l'onda risultante si dice ONDA STAZIONARIA (non si propaga nello spazio) Esempio: Due onde di uguale ampiezza, frequenza e lunghezza d'onda che si propagano in direzione opposta: I punti di massima (ventri) e minima (nodi) oscillazione restano nella stessa posizione x 6

CORDA FISSA A ENTRAMBE LE ESTREMITA' L'onda stazionaria è creata grazie alla riflessione (totale) dell'onda sulle estremità Armonica fondamentale Gli estremi della corda devono essere due nodi dell'onda stazionaria. Se L è la lunghezza della corda la lunghezza d'onda massima è l=2 L La lunghezza d'onda deve essere tale che l'onda riflessa si ritrovi in fase con l'onda incidente quando raggiunge l'estremo a sinistra. Si ha così una risonanza. La minima frequenza di risonanza, f=v/2 L, si chiama frequenza fondamentale o armonica fondamentale. Inserendo dei nodi in posizione simmetrica rispetto al centro si ottengono le altre armoniche Seconda armonica Terza armonica 7

CORDA CON UN ESTREMO LIBERO Vi è un nodo nell'estremo vincolato e un ventre nell'estremo libero La lunghezza d'onda fondamentale è l=L/4 Armonica fondamentale Le altre armoniche hanno come lunghezza d'onda un multiplo dispari della lunghezza fondamentale, in modo da mantenere l'estremo libero come un ventre. 8

CANNE D'ORGANO (APERTE O SEMIAPERTE) Qui è la pressione dell'aria a dettare le condizioni al bordo: I punti a contatto con l'aria sono a pressione atmosferica e sono quindi nodi dell'onda di pressione. Armonica fondamentale in una canna aperta: f=v/2 L (e multipli) Armonica fondamentale in una canna semiaperta f=v/4 L (e multipli dispari) La perturbazione della posizione (velocità del punto) è sfasata di 90 o rispetto alla pressione 9

ONDE STAZIONARIE IN 2 DIMENSIONI Ad esempio la membrana di un tamburo: O una piastra metallica: 10

TIMBRO DI UNO STRUMENTO Se strumenti diversi emettono la stessa nota con la stessa intensità, noi riusciamo a distinguerli grazie al loro timbro. Questo, oltre a dipendere dal transiente iniziale e e finale della nota, dipende da come l'intensità sonora viene ripartita tra l'armonica fondamentale e i suoi multipli 11

ANALISI E SINTESI ARMONICA Una qualsiasi funzione d'onda periodica si può “scomporre” nelle sue frequenze armoniche grazie allo sviluppo in serie di Fourier: Esempio: corda pizzicata (linea trattegiata). In verde la somma delle prime 3 armoniche. Al contrario possiamo “sintetizzare” un suono sovrapponendo le opportune frequenze. In generale la larghezza di banda Dw richiesta per un descrivere un impulso sonoro di durata Dt deve soddisfare il principio di indeterminazione di Heisenberg: Dw. Dt~1 Più piccolo è l'impulso, maggiore sarà il numero di frequenze necessarie a descriverlo 12

MEZZI NON DISPERSIVI E DISPERSIVI Finora abbiamo supposto che la velocità di propagazione non dipendesse dalla frequenza dell'armonica. Quando questo accade si dice che il MEZZO è NON DISPERSIVO. In questo caso un pacchetto d'onda mantiene la sua forma mentre si propaga. Al contrario in un MEZZO DISPERSIVO la velocità dipende dalla frequenza e la forma iniziale si “disperde” nello spazio. Mezzo non dispersivo v=w/k= costante Mezzo dispersivo v=w/k non costante Un famoso effetto legato alla dipendenza della velocità dalla frequenza 13 è la scomposizione della luce con un prisma

VELOCITA' DI FASE E VELOCITA' DI GRUPPO La velocità di fase esprime la velocità con cui avanza ad esempio una cresta dell'onda: VELOCITA' DI FASE Nel caso di un'onda elettromagnetica può anche superare la velocità della luce ma non viola la teoria della relatività perché il segnale che porta l'informazione o l'energia non è la cresta ma il pacchetto d'onda (la parte tra due puntini verdi). La velocità del pacchetto, detta velocità di gruppo, si ottiene guardando come avanza la perturbazione di una certa ampiezza (kx-wt=costante) ed è: VELOCITA' DI GRUPPO Per un'onda elettromagnetica la velocità di gruppo è sempre minore di quella della luce 14