Soutenance de thse Mthodes algbriques pour la dcomposition
Soutenance de thèse Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances Par Denis BERDJAG Encadrement Pr. Vincent COCQUEMPOT Dr. Cyrille CHRISTOPHE équipe SFSD–LAGIS
Contexte de la thèse Constat : – Techniques de surveillance à base de modèles: • 2 communautés (SEC, SED). • Modèles et outils différents – Des outils mathématiques (algébriques) permettent une abstraction élevée • Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns (1966) • Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky (1987 ) 2
Contexte de la thèse Objectif : – Comprendre et rendre accessibles outils algébriques – Approfondir l’utilisation de ces outils. – Grâce au niveau élevé d’abstraction : • Étendre des concepts des SEC vers les SED. • Proposer une méthodologie de surveillance indépendante du type de modèle. 3
Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Conclusion Contributions & perspectives 4
Notions de surveillance à base de modèle Dé fa ut s s on ati rb rtu Pe Processus Entrée commande Sorties capteurs SYNTHÈSE MODÉLISATION Commande Sorties Module détecteur Modèle de défauts mathématique du processus Indicateur de défauts Défaut ? OUI ou NON Module de décision 5
Types de représentations Modèle mathématique du processus Représentation temporelle o Système d’équations différentielles Représentation événementielle o Machines séquentielles 1 4 2 3 o Système d’équations aux différences o Réseaux de Petri 6
Quelques techniques de surveillance à base de modèle Modèle temporel – Filtres & observateurs • • Beard Frank Massoumnia Isidori & al Modèle événementiel – Diagnostiqueur • • Sampath & al Ushio Zad Larsson – Espace de parité – Redondance Problématique commune • Willsky • Hadjicostis mais… • Staroswiecki – Contraintes temporelles Méthodes / Outils différents • Leuschen • Bouyer – Estimation de paramètres • Ghazel • Isermann • Fliess & al 7
Principe de la surveillance (SEC) L’Indicateur doit être: Commande • Nul en fonctionnement idéal Sorties capteurs • Robuste aux perturbations • Sensible aux défauts Module détecteur de défauts Indicateur 8
Décomposition pour la détection 1 Entrées Inconnues 2 Estimation des sorties Commandes 3 4 SYNTHÈSE SYNTHÈSE Indicateur 1 Commandes Sorties MD 1 MD 3 MD 2 détecteur Module MD 4 Indicateur 2 Indicateur 3 Indicateur 4 9
Structure du module détecteur Sortie mesurable Injection de sorties SYNTHÈSE Commandes Bloc d’élimination des conditions initiales Sorties MD 1 Bloc de comparaison Indicateur 10
Formulation du problème de décomposition Sous-modèle mathématique 2 Sous-modèle mathématique 1 Modèle mathématique Sous-modèle mathématique 4 Sous-modèle mathématique 3 Quel critère pour la décomposition ? 11
Critère de décomposition Critère structurel Critère de couplage Par rapport à une entrée commande Sous-modèle découplé Sous-modèle couplé + Dynamique découplée + Dynamique couplée 12
Représentation mathématique du modèle Modèle Comportemental Ensembles Modèle temporel Fonctions Modèle événementiel 13
Représentation du sous-modèle Modèle complet Sous-modèle Conditions d’existence d’un sous-modèle 1. Les ensembles X ’, W ’, Y ‘ sont obtenus à partir de X, W, Y 2. Les fonctions F’, H’ sont des restrictions des fonctions F, H sur les ensembles X ’, W ’, Y ‘. Contraintes de décomposition 14
Généralités Outils Méthodologie Surveillance (modèle) Décomposition Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle temporel Conclusion Contributions Perspectives Modèle événementiel 15
Décomposition avec critère de découplage • Décomposition connue en SEC et en SED – Formalisée avec des outils spécifiques au modèle considéré • Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ? Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche de décomposition 16
Rappel : structures algébriques Algèbre • Un ensemble d’éléments • Des lois (opérations) sur ces éléments – Deux lois internes – Une loi externe Traitement Treillis • Un ensemble d’éléments • Une relation d’ordre Ou • Un ensemble d’éléments • Deux lois internes Hiérarchie 17
Algèbre d’ensembles Ensemble de définition Relations Relation d’ordre Opération d’intersection Opération union Algèbre sur DX Treillis sur DX Opération externe DX : tous les sous-ensembles de X A , B : éléments de DX k : réel 18
Notions clés : Paire algébrique et propriété de substitution Paire algébrique par rapport à la fonction F (A, B) est une paire algébrique par rapport à F si et seulement si Si (A, A) est une paire algébrique par rapport à F alors A possède la propriété de substitution par rapport à F ou (A, A) ∈ ΔF Par ailleurs : A possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction de F sur A telle que A décrit un ensemble d’état d’un sous-modèle dont la fonction d’état complète est F 19
Opérateurs avancés Opérateur m (borne inférieure d’une paire) m(A) donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec A Opérateur M (borne supérieure d’une paire) M(B) donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec B Propriété de substitution (Critère) 20
Du modèle au sous-modèle • Le sous-modèle est caractérisé par un sous-ensemble d’état obtenu par une décomposition. • La décomposition d’un modèle requiert la manipulation d’ensembles d’éléments. Solution o Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles. o Manipuler des ensembles d’éléments revient à manipuler les délimiteurs. Hartmanis, Stearns, Shumsky, Zhirabok 21
Principe du délimiteur Proposition : Manipuler les délimiteurs au lieu de manipuler les ensembles Ensembles finis Partitions – Ouvrage Hartmanis & Stearns Ensembles infinis Fonctions Délimiteur Classe d’équivalence – Travaux Shumsky & Zhirabok 22
Partition d’ensembles finis Une partition de S est • Un ensemble de blocs supplémentaires dont l’union recouvre l’ensemble S Par exemple • p 1 est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs. 2 4 1 6 3 5 Les partitions sont adaptées aux ensembles finis. 23
Partition d’ensembles infinis • Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X • Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Par exemple : Le noyau de toute fonction définit le bloc d’une partition de X. 24
Structures algébriques Algèbre de partitions Algèbre d’ensembles • • • Relation d’ordre «⊆» Opération d’union «∪» Opération d’intersection «∩» • • • Relation d’ordre « ≤ » Addition de partitions « + » Multiplication de partitions «. » Algèbre des fonctions • • • Relation d’ordre « » Opération d’union « » Opération d’intersection « � » 25
Notion clé : Propriété d’invariance Soit une fonction Si A possède la propriété de substitution par rapport à F alors la fonction �est dite invariante par rapport à F Fonctions • Invariance Ensembles • Propriété de substitution Sous-modèles • Condition d’existence La fonction �est une fonction de décomposition 26
Généralités Outils Méthodologie Surveillance (modèle) Décomposition Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Conclusion Contributions Modèle temporel Modèle événementiel Perspectives 27
Objectif de la décomposition Ensemble de commande Ensemble d’entrées inconnues Ensemble de défaillances Fonction de décomposition A découpler avec 28
Critères de décomposition Critère de découplage Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Robustesse aux perturbations Propriété de couplage Déterminer le plus grand sous-ensemble d’état découplé de Sensibilité aux défaillances 29
Contraintes de décomposition Contrainte d’invariance Déterminer le plus grand sous ensemble invariant et découplé Existence du sous-modèle Contrainte de mesurabilité Fait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sorties Synthèse du module détecteur 30
Structure de l’algorithme de décomposition Problème d’optimisation Plus petit sousensemble Sous-modèle de dimension minimale Sous-modèle découplé Initialisation: Ensemble de solutions possibles Recherche itérative du sousensemble d’état découplé, invariant et mesurable Vérification de la propriété de couplage Critère de découplage Conditions d’existence Critère de couplage 31
Implémentation simple Initialisation Itération Sous-ensemble d’état découplé Test d’invariance Composante mesurable Test d’invariance Vérification Couplage 32
Ensemble de définition Ensemble d’état Sous-ensemble d’états visibles à travers les sorties 33
Sous-ensembles invariants 34
Critère de découplage Sous-ensemble d’état découplé Sous-ensemble d’état non-découplé 35
Initialisation Le plus grand sous -ensemble découplé 36
Itération 37
Le plus grand ensemble découplé et invariant 38
Contrainte de mesurabilité 39
Détermination du plus petit sous-ensemble découplé invariant et mesurable 40
Sous-ensemble découplé invariant et mesurable 41
Vérification du critère de couplage Sous-ensemble d’état non-couplé Sous-ensemble d’état couplé 42
Problèmes rencontrés et traités • La contrainte d’invariance – Que faire s’il n’existe pas de sous-ensemble découplé invariant ? • Problème d’initialisation – Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ? • Aspect calculatoires – Comment déterminer les opérateurs m et M dans les calculatoires complexes? 43
Injection de sorties • Problème Relâcher la contrainte d’invariance et proposer un critère général d’invariance étendue • Solution – Injection de sorties pour pallier à l’information perdue par décomposition – Seules sorties insensibles aux perturbations sont injectées – Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas des SED • Contribution D. BERDJAG, V. COCQUEMPOT ET C. CHRISTOPHE : An algebraic approach to behavioral model décomposition. Soumis à l’IFAC World Congress 2008. Seoul, South Korea. Juin 2008. 44
Principe de l’injection de sorties Les sorties compensent l’information perdue lors de la décomposition x 4 Sortie x 1 x 3 x 2 Injection de sorties Invariance étendue 45
Extension événementielle 46
Initialisation optimale • Problème Obtenir le sous-ensemble découplé maximal • Solution – Utilisation de techniques d’élimination de variables pour réduire l’influence de sur l’ensemble d’état – Application dans le cas d’une injection linéaire des entrées inconnues (modèles temporels) • Contribution 47
Aspects calculatoires • Problème Proposer une méthode alternative de calcul des opérateurs • Solution – Une méthode de calcul basée sur l’utilisation de fonctions équivalentes a été développée • Publications 48
Aspects calculatoires… Comment déterminer m(a(x)) ? Proposition Utiliser l’information contenue dans le modèle 49
Synthèse Algorithme de décomposition simple Algorithme de décomposition étendu Algorithme de décomposition de modèles temporels Algorithme de décomposition modèles événementiels Injection de sorties Algèbre des fonctions Méthodes de calcul Algèbre des paires 50
Algorithme de décomposition étendu (Injection de sorties) Initialisation Itération Sous-ensemble d’état découplé Test d’invariance étendu Composante mesurable Test d’invariance étendu Vérification Couplage 51
Algorithme de décomposition étendu (algèbre des fonctions) Initialisation Itération Sous-ensemble d’état découplé Test d’invariance étendu Élimination de variables Composante mesurable Test d’invariance étendu Vérification Couplage 52
Algorithme de décomposition étendu (algèbre des paires) Initialisation Itération Partition d’état découplée Test d’invariance étendu Composante mesurable Inutile car vérifié Vérification Test d’invariance étendu Couplage Mesurabilité 53
Généralités Outils Méthodologie Surveillance (modèle) Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Système à 3 cuves Illustration Conclusion Décomposition Contributions Perspectives 54
Le système à trois cuves Détection et localisation de défaillances Modèle temporel (Système d’équations différentielles) Modèle événementiel (Machine séquentielle) 55
Généralités Outils Méthodologie Illustration Conclusion Surveillance (modèle) Décomposition Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Système à 3 cuves Contributions Modèle temporel Modèle événeme ntiel Perspectives 56
Modèle de fonctionnement défaillant Equations d’état Diagramme fonctionnel Les défaillances 1. Encrassement de conduite 2. Fuite dans les cuves Capteurs de niveau 57
Cahier des charges 6 défaillances 6 sous-modèles découplés indifférent découplé Table de signatures de défaillances souhaitée 58
Exemple de décomposition • Déterminer le sous-modèle b 13 : – Découplé de la défaillance b 13 – Couplé par rapport aux défaillances f 1, f 2, f 3, b 32, b 20 • Synthétiser un générateur de résidu à partir de b 13 – Un observateur pour éliminer les conditions initiales. 59
Contraintes et critères de décomposition Critères de décomposition • • Critère de découplage Contraintes de décomposition • Contrainte d’invariance – En général – Séquence itérative (Shumsky 1991) – La fonction doit satisfaire – Itération – L’ensemble d’états découplé – L’ensemble d’état découplé après transformation – Sous-ensemble invariant Critère de couplage – En général – La fonction doit satisfaire – L’ensemble d’état couplé • Contrainte de mesurabilité – Condition générale – Sous ensemble découplé et mesurable 60
Détermination de la fonction de décomposition Composante mesurable 1. Déterminer une composante f 1 qui satisfait la contrainte de mesurabilité Séquence itérative 2. Vérifier la contrainte d’invariance pour f 1 Contrainte non vérifiée 3. Déterminer la composante f 2 telle que 4. Vérifier la contrainte d’invariance pour f 2 Résultat Contrainte Vérifiée 5. Construire la fonction de décomposition f 61
Sous-modèle découplé b 13 z 1=x 2 z 2=x 1+x 3 Injection de sorties Sortie mesurable 62
Banc de sous-modèles découplés Sous-modèle découplé de b 13 Sous-modèle découplé de b 32 Sous-modèle découplé de f 1 Sous-modèle découplé de f 2 , b 20 Le sous-modèle découplé de f 3 n’existe pas Table de couplages des sous modèles 63
Synthèse des générateurs de résidus à partir des sous-modèles découplés Utilisation des modes glissants Observateur d’Utkin Le générateur de résidu robuste par rapport à b 13 64
Banc de générateurs de résidus Le générateur de résidu robuste par rapport à f 1 Le générateur de résidu robuste par rapport à b 32 Le générateur de résidu robuste par rapport à f 2, b 20 Le générateur de résidu robuste par rapport à b 13 65
Commandes Processus Module détecteur à base de modèle temporel Défaillances 66
Fonctionnement Normal Niveaux des cuves Mesures Résidu Robuste à f 2, b 20 Défaillance Résidu Robuste à b 13 Résidu Robuste à f 1 Résidu Robuste à b 32 67
Défaillance permanente b 13 Niveaux des cuves Défaillance Résidu Robuste à f 1 70 s Résidu Robuste à f 2, b 20 Résidu Robuste à b 13 Résidu Robuste à b 32 Divergence du résidu 68
Défaillance intermittente b 13 Niveaux des cuves Défaillance Résidu Robuste à f 1 70 sec Résidu Robuste à f 2, b 20 Résidu Robuste à b 13 Résidu Robuste à b 32 Réaction du résidu 69
Généralités Outils Méthodologie Illustration Conclusion Surveillance (modèle) Décomposition Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Système à 3 cuves Contributions Modèle temporel Modèle événementiel Perspectives 70
Représentation événementielle Détecteurs de sens f. V 13 Information disponible : Sens des débits ( , 0, ) Commande des vannes f. V 32 Défauts actionneurs Etats transitoires 71
Modèle de fonctionnement défaillant Machine séquentielle 16 états, 8 entrées + 2 défaillances Défaillances 72
Cahier des charges Deux machines séquentielles partielles découplées Découplée de l’influence de f. V 13 Couplée à l’influence de f. V 32 Découplée de l’influence de f. V 32 Couplée à l’influence de f. V 13 73
Détermination de la machine séquentielle partielle f. V 13 Critères de décomposition • Critère de découplage Contraintes de décomposition • – En général – La partition d’entrées découplée – La partition d’état découplée • Critère de couplage Contrainte d’invariance – Partition avec propriété de substitution • Contrainte de mesurabilité – Condition générale – En général – La partition d’entrée couplée – Sous ensemble découplé et mesurable – La partition d’état couplée 74
Banc de machines séquentielles partielles découplées 75
Calcul des indicateurs Table de correspondance des sorties Calcul de l’indicateur • Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 0 • Si la sortie du système n’appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 1 76
Commandes Module détecteur à base de modèle événementiel Discrétisation des mesures Processus Défaillances 77
Simulations Evolution des niveaux C , C Non mesuré 1 2 3 Commande des vannes V 1 V 2 V 13 Capteurs de débit C 13 Défaillances f. V 32 V 20 150 V 32 f. V 13 100 Evénements en entrée a b e f c d g h C 32 78
Simulations Sorties discrétisées du système Sorties estimées par le modèle Evolution de la 1ère MSP Evolution de la 2 nde MSP 79
Simulations Défaillance V 32 Entrées Indicateur de validité Défaillance V 13 Réaction de l’indicateur sensible à V 32 Indicateur robuste à la défaillance de V 13 Réaction de l’indicateur sensible à V 13 Indicateur robuste à la défaillance de V 32 80
Généralités Outils Méthodologie Illustration Conclusion Surveillance (modèle) Décomposition Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Système à 3 cuves Modèle temporel Modèle événementiel Contributions Perspectives 81
Contributions : aspect pédagogique • L’outil algèbre des fonctions – Présentation de l’outil et situation par rapport aux travaux de la communauté FDI. – Détail de l’utilisation des outils mathématiques. – Implémentation en langage symbolique. • L’outil algèbre des paires – Extension de la problématique FDI – Implémentation en langage symbolique. 82
Contributions : aspect mathématique • Détail de la procédure de calcul des opérateurs de l’algèbre des fonctions – Équations d’état linéaires, non-linéaire, événementielles. • Proposition de solutions aux problèmes calculatoires – Résultat obtenu en utilisant des fonction équivalentes • Amélioration de la décomposition – Utilisation des techniques d’élimination de variables pour calculer le sous-ensemble découplé optimal (injection linéaire des défaillances) 83
Contributions : aspect conceptuel Formalisme général de FDI à base de modèles comportementaux Algèbre d’ensembles FDI à base de modèles événementiels FDI à base de modèles temporels Algèbre des Paires Algèbre des fonctions 84
Généralités Outils Méthodologie Illustration Conclusion Surveillance (modèle) Décomposition Techniques algébriques pour la décomposition Synthèse de l’algorithme de décomposition Système à 3 cuves Contributions Modèle temporel Modèle événementiel Perspectives 85
Perspectives • Implémenter des techniques d’élimination de variables non linéaires pour l’initialisation de l’algorithme de décomposition. – Bases de Groebner • Appliquer la méthodologie de décomposition sur des modèles hybrides • Autres utilisations de la méthodologie ou des outils – Décomposition canonique (Kalman) – Flux de données corrélées (théorie de l’information) • Approfondir la méthode de détection et de localisation de défaillances en utilisant des modèles événementiels – – Description du modèle sous forme de paires algébriques Définition d’indicateurs de défaillances directionnels 86
Merci pour votre attention 87
Perspectives : Techniques d’élimination de variables non-linéaires • Utilisation des bases de Groebner pour l’élimination de la variable à découpler (injection polynomiale) • Division polynomiale pour reconstruire la transformation • Les expressions qui constituent la transformation augmentent la partie découplée 88
Perspectives : Décomposition de modèles hybrides Modèle complet hybride Sous-modèle hybride 1. Considérer les dynamiques événementielles et temporelles comme indépendantes (commutation) – Décompositions indépendantes du modèle temporel et du modèle événementiel 2. Considérer le cas général et les couplages temporelsévénementiels – – – Décrire le modèle hybride sous forme de quintuplet Exprimer les contraintes inégalité de manière algébrique Définir des méta-ensembles constitués d’éléments finis et infinis. 89
Perspectives : Autres utilisations des outils et de la méthodologie Décomposition canonique (Kalman) – Exprimer l’observabilité et la commandabilité de manière algébrique ( opérateurs m, M) – Formuler un algorithme de décomposition (critère de couplage) Flux de données corrélées – Les opérateurs m, M quantifient l’information dans un flux de données – Déterminer la propagation d’une donnée dans le flux 90
Perspectives : Méthode de FDI à base de modèles événementiels • Déterminer le treillis qui décrit la structure du modèle événementiel • Exprimer les critères de couplage et le découplage par rapport à ce treillis • Comparer la sortie du système avec les partitions qui forment les nœuds du treillis • Obtenir des indicateurs de défaillances directionnels 91
Tous au pot salle 2 A 25 Merci pour votre attention 92
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