Soutenance de thse de doctorat Etude de deux

Soutenance de thèse de doctorat Etude de deux estimateurs a posteriori pour la méthode

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs

Slides: 51

Download presentation

Soutenance de thèse de doctorat Etude de deux estimateurs a posteriori pour la méthode X-FEM Soutenue par : Raphaël ALLAIS 9 novembre 2012 Directeur de thèse : P. Catraud Encadrant : G. Legrain 1

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Introduction • Conception des produits : Performances Attendues (besoin) Ecarts Nécessité de prévoir le comportement Ecarts entre les différentes étapes de conception Différentes sources d’écarts. Performances simulées (prédictions) Ecarts Performances Réelles (résultat) Sources des écarts Incertitudes sur les grandeurs Erreurs de modélisation Vendredi 9 novembre 2012 Erreurs d’approximation Raphaël ALLAIS Erreurs de mise en œuvre 2

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Mise en place du problème • Formulation forte : Equation de la chaleur : Loi de Fourier : Conditions de Neumann : Conditions de Dirichlet : • Formulation faible : Trouver tel que : Modélisation d’un solide Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 3

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Approximation de la solution • Méthode des éléments finis : Espace d’approximation Maillage Géométrie • Méthode des éléments finis étendus (X-FEM) [Belytschko et al. , 1999][Moës et al. , 1999] • Méthode des Level-set [Osher et al. , 1988][Stolarska et al. , 2001] Indépendance (partielle) de la géométrie et du maillage. Solution X-FEM : Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 4

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Problématique Erreur d’approximation. Nécessité d’estimer et de maîtriser cet écart. De nombreuses méthodes en éléments finis classiques. Quelques méthodes adaptées dans le cadre X-FEM. Problématique : Proposer des estimateurs d’erreur dans le cadre X-FEM. Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 5

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion I) Sommaire Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III) Maillages adaptatifs quadtree IV) Conclusion générale Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 6

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Estimation d’erreur • Objectif : - la solution exacte : - la solution approchée : Estimer l’écart entre (Norme en énergie) • Erreur globale : Sur l’ensemble du domaine. • Erreur locale : Sur un sous-domaine (élément). Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 8

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Famille d’estimateurs • Estimateurs sur la régularité de la solution : [Zienkiewicz et al. , 1987] � Substitution de l’erreur exacte par une solution lissée. • Estimateurs sur la relation de comportement : [Ladevèze, 1975] Familles d’équation � Calcul de deux solutions « CA » et « SA » et mesure de l’écart sur la relation de comportement. • Estimateurs sur le résidu d’équilibre : Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 9

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Famille d’estimateurs • Estimateurs sur la régularité de la solution • Estimateurs sur la relation de comportement • Estimateurs sur le résidu d’équilibre : [Babuska et al. , 1978] En posant : , alors est solution du problème : Trouver tel que : Familles d’équation recherché dans un espace d’approximation plus riche que Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS . 10

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Familles d’estimateurs … … en régularité de la solution MEF X-FEM • ZZ [Zienkiewicz et al, 1987] • XGR [Duflot et al. , 2008] • SPR/SPR-C [Zienkiewicz et al, 1992] • SPR-X/SPR-CX [Rodénas et al. , 2010] [Rodénas et al. , 2007] • MSL [Belytschko et al. , 1994] • XMLS [Bordas et al. , 2008] [Tabbara et al. , 1994] … en relation de comportement … en résidus d’équilibre Récapitulatif sur les estimateurs d’erreur [Panetier et al. , 2010] [Ladevèze, 1975] [Coorevits et al. , 1998] • Explicites [Babuska et al, 1978] • Explicites • Implicites [Demkowicz et al. , 1984] [Huerta et al. , 2000] [Babuska et al. , 1978] [Parés et al. , 2006] • Implicites Vendredi 9 novembre 2012 [Lleras et al. , 2007] [Hild et al. , 2009] [Gerasimov et al. , 2012] [Pannachet, 2006] [Strouboulis et al. , 2006] Raphaël ALLAIS 11

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion I) Sommaire Généralité sur les estimateurs II) Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III) Maillages adaptatifs quadtree IV) Conclusion générale Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 12

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Deux estimateurs d’erreur pour X-FEM Estimateur d’erreur sur les bases hiérarchiques Estimateur d’erreur « flux-free » Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 13

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion • Principe : Estimateur d’erreur sur bases hiérarchiques [Bank et al. , 1992][Cavin, 2006] Déterminer tel que : Méthode 1 Vendredi 9 novembre 2012 Méthode 2 Raphaël ALLAIS 14

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Estimateur d’erreur Flux-Free [Parés et al. , 2006] • Décomposition du résidu : Patch ωI : Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 15

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion • Calculs par patch : Estimateur d’erreur Flux-Free [Parés et al. , 2006] • Reconstruction du champ d’erreur : … Reconstruction d’un champ d’erreur flux-free Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 16

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Projection du second membre [Parés et al. , 2006] • Projection du champ-test : linéaire = 1 × 2 × n × … Vendredi 9 novembre 2012 Projection nodale sur Raphaël ALLAIS 17

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Cas d’applications Cas éléments finis Cas X-FEM Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 18

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Application au cas éléments-finis « classiques » Etude globale : Indice d’efficacité : Problème de conduction thermique T 0 y Sous-estimation 1 Sur-estimation +∞ Etude locale : Indice d’efficacité déviée : [Babuska et al. , 1994][Rodénas et al. , 2007] x -∞ • Propriété sur l’erreur en résidu : [Huerta et al. , 2000] Vendredi 9 novembre 2012 Sous-estimation 0 Sur-estimation +∞ • Propriété sur l’erreur flux-free : [Parés et al. , 2006] Raphaël ALLAIS 19

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Eléments finis : résultats globaux 1/H Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 20

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Eléments finis : résultats locaux Carte d’efficacité - hiérarchique Carte d’erreur absolue Carte d’efficacité – flux-free Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 21

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Domaine troué • Solution exacte : • Aspect théorique : Intégration limitée au domaine Gestion des patches en flux-free • Problème des patches à faible fraction de matière Augmentation du degré d’interpolation = Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 23

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Carte d’erreur Vendredi 9 novembre 2012 Domaine troué : résultats locaux Carte d’efficacité (Hiérarchique) Raphaël ALLAIS 25

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Carte d’efficacité (Flux-free – Degré 1) Vendredi 9 novembre 2012 Domaine troué : résultats locaux Carte d’efficacité (Flux-free – Degré 2) Raphaël ALLAIS 26

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Interface entre matériaux X-FEM Solution exacte Fonction d’enrichissement à gradient discontinu Fonction de Ridge [Moës et al. , 2003] Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 28

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Carte d’erreur Vendredi 9 novembre 2012 Interfaces matériaux : résultats locaux Carte d’efficacité (Hiérarchique) Raphaël ALLAIS 30

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Interfaces matériaux : résultats locaux 2 nd membre Non-projeté Projeté Non-projeté Degré 1 1 1 2 Support Ridge Fin Grossier Fin ∈[-0. 8 ; 0. 0] ∈[-1. 0 ; 0. 0] ∈[-0. 8 ; 0. 0] ∈[-0. 2 ; 0. 2] Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 32

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Interfaces matériaux : résultats locaux X-FEM • Enrichissement de la discontinuité : [Moës et al. , 1999] Solution exacte Blocage de 2 DDL • Enrichissement en pointe de fissure : [Fleming et al. , 1997][Moës et al. , 1999] Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 34

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Enrichissement topologique [Moës et al. , 1999] Vendredi 9 novembre 2012 Enrichissement en pointe de fissure Enrichissement géométrique [Béchet et al. , 2005] Raphaël ALLAIS 35

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Sans enrichissement Vendredi 9 novembre 2012 Fissures : Résultats globaux Enrichissement géométrique Enrichissement topologique Raphaël ALLAIS Enrichissement géométrique 36

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion • Non-enrichi : Hiérarchique Fissures : Résultats locaux Flux-free (Projeté) Flux-free • Enrichissement topologique : Hiérarchique Vendredi 9 novembre 2012 Flux-free (Projeté) Raphaël ALLAIS 37

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Fissures : Résultats pour l’enrichissement géométrique Flux-free Hiérarchique Sur-estimation Flux-free (Projeté) Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 38

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Fissures : Résultats pour l’enrichissement géométrique Flux-free (Projeté) 1) avec : ≈ Carte des conditionnement des patches 2) Carte d’erreur absolue 3) Erreur faible (~10 -7) Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 39

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Fissures : Orthogonalisation de la base d’enrichissement • Condition de Dirichlet sur un DDL éléments finis classique ET un DDL enrichis. • Utilisation d’un préconditionneur [Béchet et al. , 2005]. • Orthogonalisation de la base d’enrichissement par rapport à la base éléments finis. [Babuska et al. , 2011] Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 40

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion sur les deux estimateurs Domaines troués : • Flux-free : Raffinement h-p pour les patches à faible fraction de matière. Interfaces entre matériaux: • légère sous-estimation sur l’interface, • Pas d’influence du support d’enrichissement, • Interpolation quadratique plus efficace. Fissures : • Enrichissement topologique : Efficacité supérieure à la théorie • Flux-free : - Mauvais conditionnement des patches sur l’enrichissement géométrique - Orthogonalisation de la base d’enrichissement Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 41

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion I) Sommaire Généralité sur les estimateurs II) Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III) Maillages adaptatifs quadtree IV) Conclusion générale Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 42

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Maillage adaptatif • Estimateur d’erreur optimiser le maillage • Modélisation X-FEM utilisation de maillage structuré Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 43

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Maillage octree/quadtree Exemple de maillage quadtree Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 44

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Nœuds orphelins (hanging nodes) • Cellules voisines de niveaux différents : Fonctions de formes : • Modification des fonctions de forme : [Legrain et al. , 2011] [Fries et al. , 2000] Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 45

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Avec nœuds orphelins Vendredi 9 novembre 2012 Cas d’une fissure Sans nœud orphelin Raphaël ALLAIS 46

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion I) Sommaire Généralité sur les estimateurs II) Deux estimateurs sur les résidus d’équilibre III) Maillages adaptatifs quadtree IV) Conclusion générale Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 47

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Récapitulatif Deux estimateurs d’erreur a posteriori • Estimateur sur les bases hiérarchiques : Résultats cohérents Robuste Simple à mettre en œuvre Coût en temps de calcul important • Estimateur flux-free Estimation locale de l’erreur Résidu simple à calculer (projection) Performance dépendant de la nature de l’enrichissement Maillage adaptatif • Utilisation de maillage quadtree. • Gestion des nœuds orphelins : Conditions imposées pour assurer la continuité du champ X-FEM. • Cohérence avec les maillages dépourvus de nœuds orphelins. Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 48

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Vendredi 9 novembre 2012 Application au maillage adaptatif Raphaël ALLAIS 49

Etude de deux estimateurs d’erreur pour la méthode X-FEM I) Généralités sur les estimateurs II) Deux estimateurs d’erreurs III) Maillage adaptatif IV) Conclusion Perspectives Etude des blending-elements. Application au cas 3 D - Identique sur le plan théorique, mise en œuvre à étudier Etude des erreurs en quantité d’intérêt Application à la mécanique - Problèmes d’unicité de la solution Vendredi 9 novembre 2012 Raphaël ALLAIS 50

Merci de votre attention