SOUTENANCE DE THESE Dfinition dune nouvelle grandeur prdictive

SOUTENANCE DE THESE Définition d’une nouvelle grandeur prédictive pour la durée de vie en fatigue des matériaux élastomères Andriyana Directeur de thèse : Erwan Verron le 7 novembre 2006 ECOLE CENTRALE DE NANTES

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Contexte industriel Premiers Résultats Conclusion Problématique industrielle • Étude de la durabilité des pièces en élastomères • Essais expérimentaux longs et coûteux Support d’échappement Support moteur Solution • Élaboration des outils numérique prédictifs pertinents adaptés aux élastomères 2

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Objectif de travail (1) Premiers Résultats Conclusion Objectif de la thèse : Définition d’une nouvelle grandeur prédictive pour la durée de vie en fatigue des matériaux élastomères • Grandeur prédictive : Grandeur * issue de la Mécanique des Milieux Continus (MMC) ou de la Mécanique de la Rupture (MR) permettant de relier l’état mécanique d’un corps à un nombre de cycles en fin de vie Nf • Critère de fin de vie : 0 Caractéristique du matériau considéré Grandeur prédictive ≠ Critère de fin de vie 3

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Objectif de travail (2) Premiers Résultats Conclusion Les qualités requises pour une grandeur prédictive 1. Exprimée en termes de grandeurs de la Mécanique des Milieux Continus (MMC), et non de la Mécanique de la Rupture (MR) 2. Motivée par la physique des phénomènes mis en jeu 3. Bien fondée théoriquement 4. Aisément implantable dans un code de calcul éléments finis 5. Indépendante du mode de sollicitation Courbe de Wöhler * * CS CS, TU, TEB, To … TU Nf Nf 4

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Plan de présentation Premiers Résultats Conclusion 1. Introduction générale 2. État de l’art sur la fatigue des élastomères 2. 1 Observations macroscopiques et microscopiques 2. 2 Grandeurs prédictives classiques 3. Quelques notions sur la mécanique configurationnelle 3. 1 Force et contrainte configurationnelles 3. 2 Signification physique de la contrainte configurationnelle 4. Formulation d’une nouvelle grandeur prédictive 4. 1 Formulation en élasticité et inélasticité 4. 2 Prise en compte de l’histoire de chargement 5. Premiers résultats 5. 1 Étude des cas simples 5. 2 Comparaison avec des résultats expérimentaux 6. Conclusion et perspectives 5

2. État de l’art Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion 6

Introduction État de l’art sur la fatigue des élastomères (1) M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Matériaux concernés : Élastomères naturels et synthétiques, plus particulièrement le caoutchouc naturel (NR) Prévision de la durée de vie Approche en propagation Approche en initiation • Mécanique de la rupture • Mécanique des milieux continus • Comportement d’une fissure • Distribution spatiale de durée de vie • Rivlin et Thomas [1953] • Cadwell et al. [1940] Références : Cadwell et al. [1940], Rivlin et Thomas [1953], Mars [2001], Mars et Fatemi [2002], Le Cam [2005] 7

Introduction État de l’art sur la fatigue des élastomères (2) M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Difficultés dans l’exploitation des résultats bibliographiques • Différentes représentations des résultats • • Chargements Éprouvettes non normalisées différents Uniaxial, multiaxial, proportionnel et non Cadwell et al. [1940] André et al. [1999] Roberts et Benzies [1977] Mars [2001] Abraham et al. [2005] Références : Cadwell et al. [1940], Roberts et Benzies [1977], André et al. [1999], Saintier [2000], Mars [2001], Abraham et al. [2005], Ostoja-Kuczynski [2005], Le Cam [2005] 8

Introduction État de l’art M. configurationnelle Observations macroscopiques (1) Formulation Premiers Résultats Conclusion Grandeurs prédictives classiques • Élongation principale maximale ( max) Cadwell et al. [1940], Fielding [1943], Roberts et Benzies [1977], Roach [1982], Ro [1989] Abraham et al. [2005] • Contrainte principale maximale ( max) Bathias et al. [1998], André et al. [1999], Saintier [2000], Abraham et al. [2005] • Densité d’énergie de déformation (W) Beatty [1964], Gent et al. [1964], Roberts et Benzies [1977], Roach [1982], Ro [1989] Abraham et al. [2005] Problème Ne permettent pas d’unifier les résultats expérimentaux Roberts et Benzies [1977], Roach [1982], Ro[1989], Mars [2001, 2002], Mars et Fatemi [2002] 9

Introduction État de l’art M. configurationnelle Observations macroscopiques (2) Formulation Premiers Résultats Conclusion Renforcement de la durée de vie Re=-1 Traction/compression Traction répétée Re=0 Amplitude de déformation Déformation moyenne 104 t Métaux Re=emin/emax 10 NR 5 106 4 10 Traction/traction 106 Déformation moyenne Re=1 Références : Cadwell et al. [1940], Fielding [1943], Lindley [1974], Bathias et al. [1997], André et al. [1999], Robisson [2000], Abraham et al. [2005], Ostoja-Kuczynski [2005], Le Cam [2005] 10

Introduction État de l’art M. configurationnelle Observations microscopiques Formulation Premiers Résultats Conclusion 2. 3. Défauts Amorçage à l’origine macroscopique de l’amorçage = propagation microscopique des micro-défauts 1. Existence de micro-défauts • Agglomérats de noirs de carbone, oxydes, cavités • Même ordre de grandeur, taille < 400 m 1 et 5 cycles de Rupture d’un agglomérat noirs de carbone Le Cam [2005] 25 % Naux Cavitation f pôles de l’agglomérat Le Cam [2005] Références : Gent et al. [1964], Lake et Lindley [1965], Dizon et al. [1974], Saintier [2000], Robisson [2000], Mars [2001], Le Cam [2005] 11

Introduction État de l’art Bilan sur l’observation macromicro M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion • Initiation de fissures de fatigue macroscopique est la conséquence de la croissance de défauts à l’échelle microscopique • Prise en compte de ce phénomène dans le choix d’une grandeur prédictive est primordiale Références : Gent et al. [1964], Lake et Lindley [1965], Dizon et al. [1974], Saintier [2000], Mars [2001], Le Cam [2005], Verron et al. [2006], Andriyana et Verron [2006] 12

Introduction État de l’art M. configurationnelle Densité d’énergie de fissuration Formulation Premiers Résultats Conclusion Approche de Mars [2002] • Cracking Energy Density (CED), la densité d’énergie de fissuration • Partie d’énergie disponible pour faire croître des micro défauts Vecteur contrainte Incrément du vecteur de déformation Problème • Le développement théorique est discutable • Nécessite un cadre théorique bien établi Solution Mécanique configurationnelle : capture la singularité Références : Mars [2001, 2002], Verron [2005], Le Cam [2005], Verron et al. [2006], Andriyana et Verron [2006] 13

3. Mécanique configurationnelle Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion 14

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Introductio n Premiers Résultats Conclusion Mécanique newtonienne (Mécanique dans l’espace physique) • Transformation spatiale d’un corps (lagrangienne ou eulérienne ) • Force newtonienne énergétiquement conjuguée à la variation de position spatiale • Contrainte de Piola-Kirchhoff I ou de Cauchy Mécanique eshelbienne (configurationnelle) (Mécanique dans l’espace matériau) • Transformation matérielle d’un corps • Force configurationnelle énergétiquement conjuguée à la variation de position matérielle • Contrainte configurationnelle (contrainte d’Eshelby) Références : Eshelby [1951, 1975], Maugin [1993, 1995, 2002, 2003, 2006], Kienzler et Herrmann [2000], Gurtin [2000], Steinmann et al. [2000, 2001], Gross et al. [2003] 15

Introduction État de l’art M. configurationnelle Mécanique configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion État de l’art sur la mécanique configurationnelle • Définition des forces et contrainte configurationnelles en petites déformations Eshelby [1951] • Extension aux déformations finies Eshelby [1975], Chadwick [1975] • Mise en place de la théorie générale Maugin [1993, 1995], Kienzler et Herrmann [2000], Gurtin [2000] • Étude des défauts ou d’évolutions structurelles (plasticité, changement de phase …) Epstein et Maugin [1990, 1996], Maugin et Trimarco [1992], Steinmann et al. [2000, 2001], Gross et al. [2003], Cleja-Tigoiu et Maugin [2000]… • Utilisation des grandeurs locales pour la rupture Atkinson et Aparicio [1999], Kienzler et Herrmann [2002] • Application à la fatigue des élastomères Verron [2005], Verron et al. [2006], Andriyana et Verron [2005, 2006] 16

Introduction État de l’art Description matérielle du mouvement M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Deux points de vue différents • Indépendant de la MMC Gurtin et Podio-Guidugli [1996, 1998], Gurtin [1995, 2000] • Dépendant de la MMC Maugin [1993, 1995, 2002, 2003, 2006] «pull-back complet» sur la configuration de référence Cas élasto-statique sans force volumique Eulérienne Lagrangienne Matérielle Force configurationnelle Contrainte configurationnelle 17

Introduction État de l’art M. configurationnelle Contrainte configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Propriétés • Exprimée entièrement en fonction des grandeurs de la MMC • Dimension d’une énergie • Symétrie pour des matériaux isotropes • Permet de retrouver l’intégrale J Signification physique des composantes Variation d’énergie due à une translation matérielle unitaire de la surface unitaire de normale ei dans la direction matérielle ej (Kienzler et Herrmann [1997]) Références : Eshelby [1951, 1975], Cherepanov [1967, 1968], Rice [1968], Maugin [1993, 1995], Kienzler et Herrmann [1997, 2000], Gross et al. [2003], Steinmann et al. [2000, 2001], Verron et al. [2006] 18

4. Formulation de grandeur prédictive Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion 19

Introduction État de l’art Formulation générale en élasticité (1) M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Variation de l’énergie en point matériel P due à une translation matérielle unitaire dans la direction d’une surface matérielle unitaire de normale N Objectif Pour chaque défaut potentiel, trouver le plan de défaut sur lequel le maximum d’énergie est restituée • Trouver • tel que étant symétrique, alors soit maximum pour est l’un des vecteurs propres de mais lequel. . . ? Références : Kienzler et Herrmann [1997, 2000], Verron [2005], Verron et al. [2006], Andriyana et Verron [2006] 20

Introduction État de l’art Formulation générale en élasticité (2) M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Sachant que… - Sous sollicitation, le corps tend à réduire son énergie en faisant croître le défaut - Morphologie du défaut évolue dans la direction opposée à la force configurationnelle Steinmann et al. [2001] alors… On considère la plus petite valeur propre négative de Références : Eshelby [1951, 1975], Steinmann [2000, 2002], Verron [2005], Verron et al. [2006], Andriyana et Verron [2006] 21

Introduction État de l’art M. configurationnelle Extension au cas inélastique (1) Formulation Premiers Résultats Conclusion Décomposition multiplicative Hypothèse • Croissance de micro défauts suit ou Dissipation Contrainte configurationnelle dans la configuration intermédiaire (Ci) Andriyana et Verron [2006] Références : Lee [1969], Maugin [1993, 2002, 2003], Maugin et Epstein [1998], Cleja-Tigoiu et Maugin [2000], Huber et Tsakmakis [2001], Cermelli et al. [2001], Gross et al. [2003], Andriyana et Verron [2006] 22

Introduction État de l’art M. configurationnelle Extension au cas inélastique (2) Formulation Premiers Résultats Conclusion Difficulté • n’est pas symétrique Références : Lee [1969], Maugin [1993, 2002, 2003], Maugin et Epstein [1998], Cleja-Tigoiu et Maugin [2000], Huber et Tsakmakis [2001], Cermelli et al. [2001], Gross et al. [2003], Andriyana et Verron [2006] 23

Introduction Prise en compte de l’histoire du chargement: élasticité État de l’art M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion Problème • Chargements non proportionnels • Prise en compte de l’histoire de chargement Solution Cumul des incréments de contrainte configurationnelle contribuant à la croissance de défauts au cours d’un cycle stabilisé Références : Verron [2005], Andriyana et Verron [2006] 24

Introduction Prise en compte de l’histoire du chargement: inélasticité État de l’art M. configurationnelle Problème : Cumul en inélasticité Formulation Premiers Résultats Conclusion Solution : Incréments de la contrainte configurationnelle contribuant à la croissance des micro défauts au cours d’un cycle stabilisé Références : Verron [2005], Andriyana et Verron [2006] 25

5. Premiers résultats Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion 26

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Exemple (1) Premiers Résultats Conclusion Objectif Étude de la validité de notre grandeur prédictive dans le cas de chargement multiaxial : Proposition 1 Expérience de Roberts et Benzies (1977) • Essais des tractions uniaxiale (TU) et équibiaxiale (TEB) • NR et SBR chargés et non • Durée de vie = rupture totale d’éprouvette Méthode de calcul Calcul analytique avec modèle hyperélastique Rivlin Résultat Diagramme de Wöhler : unification des résultats TU et TEB 27

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Exemple (1) Premiers Résultats Conclusion Élongation principale maximale Contrainte principale maximale Notre grandeur prédictive Élongation Énergie de déformation Contrainte principale maximale Énergie de déformation Notre grandeur prédictive 28

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Exemple (2) Premiers Résultats Conclusion Objectif Étude de la validité de la méthode de cumul en élasticité : Proposition 3(a) Expérience de Mars (2001) • Essais de traction, torsion, traction/torsion proportionnelles ou non • NR chargé • Durée de vie = 15% chute de l’effort max à sa valeur stabilisée Méthode de calcul Calcul analytique avec modèle hyperélastique Néo-Hookéen Résultat Diagramme de Wöhler et la prédiction d’angle de fissure 29

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Exemple (2) Premiers Résultats Conclusion Chargements non-proportionnels 30

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Exemple (3) Premiers Résultats Conclusion Objectif Modélisation du renforcement de la durée de vie en fatigue Étude bibliographique • Renforcement de la durée de vie est dû à la cristallisation sous contrainte Fielding [1943], Gent [1994], André et al. [1999] • Hystérésis est la traduction macroscopique de la cristallisation sous contrainte Toki et al. [2000], Trabelsi et al. [2003 a, 2003 b] Méthode de calcul • Modèle viscoélastique simple en grandes déformations • Grandeur prédictive : Propositions 2 et 3(b) Résultat Diagramme de Haigh théorique en déformation 31

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Exemple (3) Premiers Résultats Conclusion Réponse du modèle Modèle Élongation Contrainte Notre Énergie grandeur principale derhéologique déformation prédictive maximale A A: Loi de comportement de Yeoh B: Loi de comportement de Néo-Hookéen C: Fluide newtonien B C Références : Lion [1996, 1997], Abraham et al. [2005], Andriyana et Verron [2006] 32

6. Conclusion et Perspectives Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Premiers Résultats Conclusion 33

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Conclusion générale Premiers Résultats Conclusion Objectif de la thèse Définition d’une nouvelle grandeur prédictive pour la durée de vie en fatigue des matériaux élastomères : la plus petite valeur propre négative de la contrainte configurationnelle Validité de notre grandeur • Motivée par les phénomènes physiques d’endommagement microscopique : Contrainte configurationnelle permet de quantifier les changements de microstructure du matériau, donc la croissance des micro défauts • Bien fondée théoriquement : Développement dans le cadre de la mécanique configurationnelle • Indépendant du mode de sollicitation : Partiellement démontré sur quelques problèmes analytiques • Implantable numériquement : Calculable en post-traitement d’une simulation éléments finis. Mise en œuvre numérique de la méthode de cumul nécessite des travaux complémentaires 34

Introduction État de l’art M. configurationnelle Formulation Perspectives de travail Premiers Résultats Conclusion Fatigue des élastomères • Court terme : Mise en œuvre numérique dans un code de calcul éléments finis • Long terme : Construction complète d’un critère pour la durée de vie en fatigue Perspective plus large Utilisation plus systématique de la mécanique configurationnelle pour la fatigue multiaxiale des matériaux 35