Soustava stic a tuh tleso Vta o hybnosti

Soustava částic a tuhé těleso • Věta o hybnosti, střed hmotnosti => Zákon zachování hybnosti • Práce vnitřních a vnějších sil a energie soustavy • Srážky • Rotace, kinetická energie soustavy/tělesa, moment setrvačnosti • Věta o momentu hybnosti => Zákon zachování momentu hybnosti • Rovnováha tělesa HRW kap. 9 – 13 HRW 2 kap. 9 – 12

Věta o hybnosti, střed hmotnosti

Věta o hybnosti soustava n částic výsledná síla působící na i-tou částici sečteme:

Věta o hybnosti soustava n částic zatím jsme zjistili: Levá strana = “vytkneme” celkovou hmotnost soustavy definice středu hmotnosti

Věta o hybnosti soustava n částic zatím jsme zjistili: Pravá strana = součet všech sil působících na soustavu = součet všech vnitřních sil působících na soustavu podle 3. Newtonova zákona je roven nule součet všech vnějších sil působících na soustavu

Věta o hybnosti soustava n částic zatím jsme zjistili: Výsledek výpočtu: Věta o hybnosti (první impulzová věta)

Věta o hybnosti soustava n částic střed hmotnosti soustavy zrychlení středu hmotnosti soustavy celková hmotnost soustavy součet všech vnějších sil působících na soustavu

Definice středu hmotnosti (pro soustavu částic) střed hmotnosti soustavy

Střed hmotnosti vs. těžiště střed hmotnosti soustavy

Definice středu hmotnosti pro. . . soustavu n částic celková hmotnost střed hmotnosti spojité prostředí (např. tuhé těleso)

Definice středu hmotnosti - poznámky střed hmotnosti soustavy n částic střed hmotnosti tuhého tělesa Platí: střed hmotnosti symetrického tělesa (soustavy) leží v rovině, ose nebo středu symetrie.

poloha SH původní desky: poloha SH zbytku desky: (ze symetrie) poloha SH vyříznutého čtverce:

Co říká věta o hybnosti o středu hmotnosti? (věta o hybnosti) Důsledek:

[podobně HRW 2, kap. 9 úloha 120] (a) poloha středu hmotnosti se nemění (zákon zachování hybnosti) obě rychlosti vzhledem k zemi vzhledem k žebříku: (b) balon se také přestane pohybovat

Hybnost hmotného bodu (částice) definice hybnosti částice: (výsledná síla působící na částici) platí: jiné vyjádření 2. Newtonova zákona Důkaz:

Hybnost soustavy částic soustava n částic Definice: Hybnost soustavy částic = součet hybností jednotlivých částic snadno vyjádříme pomocí rychlosti SH:

Věta o hybnosti soustava n částic (z předchozí stránky) (podle věty o hybnosti) jiné vyjádření věty o hybnosti [HRW]

Zákon zachování hybnosti (věta o hybnosti) (zákon zachování hybnosti)

Vodorovná složka hybnosti se zachovává Výslednice (svisle)

[podobně HRW 2, kap. 9 úloha 113] soustava 0 (jako dokonale nepružná srážka) sáně : ) voda

Práce vnitřních a vnějších sil a energie soustavy [HRW 2, kap. 8 -7, 8 -8]

Napřed formální pohled Formální pohled – vede ke správnému výsledku, ale nevystihuje podstatu: soustavu (krasobruslařka) nahradíme hmotným bodem. Změna mechanické energie = práce nekonzervativních sil (obecně) (konkrétně pro krasobruslařku)

Lepší pohled: práce vnitřních a vnějších sil Lepší pohled (nenahrazujeme hmotným bodem): Změna mechanické energie soustavy = práce nekonzervativních interakčních (vnitřních) sil soustavy (int) + práce vnějších sil (ext) [HRW 2 (8. 27)]

Změna celkové energie a práce vnějších sil Změna celkové energie soustavy = práce vnějších sil [HRW 2 (8. 35)] Celková energie soustavy = součet všech myslitelných forem energie (mechanická = kinetická + všechny potenciální, vnitřní, ostatní) spjatých se soustavou.

Princip zachování energie Změna celkové energie soustavy = práce vnějších sil [HRW 2 (8. 35)] pro izolovanou soustavu je nula Princip zachování energie: Celková energie izolované soustavy se nemění. [HRW 2 (8. 36)]

Práce vnitřních a vnějších sil a energie soustavy (formální pohled) Změna celkové energie soustavy = práce vnějších sil [HRW 2 (8. 35)] pro izolovanou soustavu je nula Princip zachování energie: Celková energie izolované soustavy se nemění. [HRW 2 (8. 36)]

[podobně HRW 2, kap. 8 úloha 105] (a) (b) (c) (d)

Srážky Nemusí dojít k přímému kontaktu, např. průlet kosmické sondy kolem planety. Poznatky o subatomárních částicích získány ze srážkových experimentů.

Změna hybnosti a impulz síly např. pro těleso P

Srážky

Srážky Zvláštní případ - pružná srážka: Nepružná srážka: celková kinetická energie se nezachovává

Pružná přímá srážka dvou těles kinetická energie se zachovává

[podobně HRW 2, kap. 9 úloha 60] (a) (b)

Pružná přímá srážka dvou těles kinetická energie se zachovává

Nepružná přímá srážka dvou těles kinetická energie se zachovává

Dokonale nepružná srážka

[podobně HRW 2, kap. 9 úloha 58] Dva děje: - srážka (hybnost se zachovává) - stlačování (energie se zachovává) Postup: (1) (2) (1) určení rychlosti po srážce V (2) určení stlačení x

Šikmé srážky x y ? ?

Rotace, . . . , věta o momentu hybnosti, zákon zachování momentu hybnosti

Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy Jak popsat rotaci

Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy Jak popsat rotaci? úhlová poloha otočení úhlová rychlost úhlové zrychlení

[HRW 2, kap. 10 úloha 103] (a) (b)

Rotace Jsou úhlové veličiny vektorové?

Vztah mezi obvodovými a úhlovými veličinami

Kinematické veličiny (shrnutí)

(a) (b) (výpočet opět jako u auta v neklopené zatáčce)

Kinetická energie… - částice - tělesa (soustavy) = součet kinetických energií jednotlivých částic Těleso se pohybuje translačně Tuhé těleso rotuje kolem pevné osy (důkaz na další straně)

Kinetická energie rotujícího tělesa (kolem pevné osy) tuhé těleso (soustava částic) se otáčí kolem pevné osy úhlovou rychlostí i i mi

Moment setrvačnosti (soustava) (těleso)

Moment setrvačnosti (soustava) (těleso) Jak počítat? § výpočet sumy nebo integrálu § HRW 2 Tab. 10. 2 str. 264 (HRW Tab. 11. 2 str. 274) § Steinerova věta

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti Jednoduchý příklad výpočtu integrálu: Dopočítejte sami podle HRW 2

Moment setrvačnosti Jednoduchý příklad výpočtu integrálu: Zkontrolujte!

Steinerova věta Moment setrvačnosti vzhledem k ose vedené bodem P Moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose vedené SH vzdálenost obou rovnoběžných os

Steinerova věta - důkaz dm má polohu x, y poloha SH je 0, 0

Cvičení: ověřte Steinerovu větu SH SH h

(zkuste sami)

Jak závisí rychlost na dráze (nebo úhlová rychlost na otočení)? Mechanická energie soustavy kladka+závaží se zachovává

(lze vynechat) Můžeme určit zrychlení? z předchozí strany: derivujeme:

Můžeme určit všechny síly? (lze vynechat)

Valení

Valení Kombinace otáčivého a posuvného pohybu čistě otáčivý pohyb čistě posuvný pohyb valivý pohyb

Valení Kombinace otáčivého a posuvného pohybu čistě otáčivý pohyb čistě posuvný pohyb valivý pohyb Otáčivý pohyb kolem okamžité pevné osy procházející bodem dotyku s podložkou

Valení: kinetická energie Kombinace posuvného a otáčivého pohybu čistě otáčivý pohyb čistě posuvný pohyb valivý pohyb Vztahy jsou ekvivalentní. Důkaz: Otáčivý pohyb kolem okamžité pevné osy procházející bodem dotyku s podložkou

Kinetická energie (shrnutí známých vztahů) hmotný bod (libovolný pohyb) těleso se pohybuje translačně těleso rotuje kolem pevné osy rotační těleso se valí

(zkuste sami)

[HRW 2, kap. 11 úloha 11]

Moment síly (definice) (vzhledem k pevnému bodu) složka vektoru F do směru kolmého k vektoru r rameno síly F vzhledem k bodu O (zkontrolujte platnost všech vyjádření)

Moment hybnosti částice (definice) (vzhledem k pevnému bodu) (podobně jako na předchozí stránce)

Věta o momentu hybnosti pro částici Důkaz: nula (oba vektory jsou rovnoběžné) Jak to bude pro soustavu částic?

Věta o momentu hybnosti pro soustavu částic (druhá impulsová věta) definice momentu hybnosti soustavy částic (vzhledem k pevnému bodu) vektorový součet momentů všech sil působících na všechny částice Věta o momentu hybnosti (pro soustavu částic) Časová změna momentu hybnosti soustavy částic je dána vektorovým součtem všech momentů vnějších sil působících na částice této soustavy.

Moment hybnosti tělesa vzhledem k pevné ose Tuhé těleso se otáčí kolem pevné osy Počítejme složku vektoru L ve směru osy otáčení („moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose“)

Moment hybnosti tělesa vzhledem k pevné ose Tuhé těleso se otáčí kolem pevné osy (z předchozí strany) Moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose

Znovu: věta o momentu hybnosti (z předchozí strany) Tuhé těleso se otáčí kolem pevné osy (derivujeme, tuhé těleso – I je konstanta) věta o momentu hybnosti pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy

. . . průmět síly do roviny kolmé na osu otáčení (xy) (obvykle síla v této rovině již leží) vektor kolmý k ose otáčení (leží v rovině xy) Sčítáme velkosti momentů, znaménka volíme podle toho zda moment působí ve nebo proti zvolenému smyslu otáčení, velikosti určíme podle postupu na str. 80.

zvolíme smysl otáčení (podle tabulky) (ve zvoleném smyslu otáčení)

Přehled pohybových rovnic (které už známe a zapamatujeme si) Platí i v neinerciální VS spojené se SH (VS se pohubuje posuvně vzhledem k inerciálním soustavám, osa je v této VS pevná. ) Praktické využití: valení, jojo.

Připomenutí: věta o hybnosti Důsledek:

Kde působí homogenní gravitační síla? (tíhová síla) [HRW 2 kap. 12 -4] Působiště potřebujeme znát kvůli výpočtu jejího momentu, který dosazujeme do věty o momentu hybnosti. Poloha těžiště = náhradního bodu, ve kterém působí výsledná gravitační síla Závěr: pokud je pole homogenní (vektor g je všude stejný), splývá těžiště se středem hmotnosti tělesa. (V nehomogenním poli poloha středu hmotnosti není polohou těžiště. )

Ještě jednou pomocí pohybových rovnic Kladka: věta o momentu hybnosti říká smysl otáčení Závaží: věta o hybnosti říká

Odbočka: vztah mezi zrychlením závaží a úhlovým zrychlením kladky smysl otáčení ? Podle str. 51 nebo 52 platí pro tečnou složku zrychlení bodu na povrchu válce: Velikost této složky se rovná velikosti zrychlení závaží |a| => ve vztahu pro zrychlení závaží musíme vybrat vhodné znaménko: y Zde pro zvolený smysl otáčení a orientaci vektoru a (nebo orientaci osy y) vybíráme +

Zpět k řešení úlohy Výsledek ze str. 92: smysl otáčení • Postupně určíme závislost rychlosti na čase a závislost rychlosti na dráze. • Porovnáme s výsledkem na str. 69. • Můžeme také určit sílu T

(zkuste sami) Experimentální řešení: Vyzkoušejte se skutečnou špulkou (možná budete překvapeni). Teoretické řešení: Nic nepočítejte! Vyjmenujte všechny síly působící na špulku. V jakém smyslu se snaží otáčet špulkou každá ze těchto sil? Pro odpověď si představte jejich momenty vzhledem k pevné ose otáčení procházející bodem dotyku špulky s podložkou. V jakém smyslu bude působit výsledný moment? (a) ve smyslu otáčení hodinových ručiček (b) je nulový (c) proti smyslu otáčení hodinových ručiček Nepovinné teoretické řešení (pouze pro ty, kteří si chtějí započítat): Proveďte otrocký výpočet (podobný výpočtu v následujících dvou úlohách)

věta o hybnosti říká věta o momentu hybnosti říká Určení znaménka: postup stejný jako na str. 93 x-ová složka zrychlení SH (HRW 2 kap. 11 -5) tečná složka zrychlení bodu na obvodu osy (v soustavě spojené se SH)