SORAZMERJE IN PODOBNOST 9 razred 1 RAZMERJE KOLIIN

SORAZMERJE IN PODOBNOST 9. razred

1 RAZMERJE KOLIČIN � Razmerje je količnik dveh števil. Zapišemo ga na dva načina: 1. z znakom za deljenje a : b; b � 0 (preberemo a proti b) 2. z znakom za ulomek a/b; b � 0 � Razmerje je poenostavljeno, kadar ga lahko zapišemo z okrajšanim ulomkom. � Z razmerjem računamo kot z ulomkom – oba člena smemo množiti ali deliti z istim številom. a : b = ak : bk; b � 0, k � 0

� Kateri zapisi predstavljajo razmerje, ki je enako 1 : 2? a) 2 : 1 X b) 2 : 3 X c) 5 : 10 � d) 8 : 4 � 1/ : 1 � e) 2 30/ f) X 60

2 SORAZMERJE � Sorazmerje je enakost dveh razmerij. zunanja člena sorazmerja a : b = c : d; b � 0, d � 0 notranja člena sorazmerja Vrednost produkta zunanjih členov je enaka vrednosti produkta notranjih členov. a �d = b �c � Križni produkt: kadar sta dva ulomka enaka, je produkt prvega števca z drugim imenovalcem enak produktu drugega števca s a c prvim imenovalcem. b = d �ad = bc

3 PREMO SORAZMERJE � Količini sta premo sorazmerni, kadar sta v takšni odvisnosti, da tolikokrat kot se poveča (zmanjša) prva količina, tolikokrat se poveča (zmanjša) Če kupimo dvakrat več bonbonov, bo cena dvakrat druga količina. večja. � Enačba premega sorazmerja y = k �x Količnik k je konstanten. � Premo sorazmerje lahko zapišemo tudi v obliki sorazmerja: 1. 2. z razmerjem med istovrstnima količinamay : a = x : b z razmerjem med raznovrstnima količinamay : x = a : b Pri tem sta a in y vrednosti ene količine, b in x pa vrednosti druge količine.

4 OBRATNO SORAZMERJE � Količini sta obratno sorazmerni, kadar sta v takšni odvisnosti, da tolikokrat kot se poveča (zmanjša) prva količina, tolikokrat se zmanjša Če delo opravlja več ljudi, bo potrebnega manj časa za isto (poveča) druga količina. delo. � Enačba obratnega sorazmerja y �x = c ali y = c/ x � Obratno Produkt y �x je konstanten. sorazmerje lahko zapišemo tudi v obliki sorazmerja tako, da sta spremenljivki x in y: 1. notranja člena a : x = y : b 2. zunanja člena x : a = b : y Pri tem sta a in y vrednosti ene količine, b in x pa vrednosti druge količine.

� Ugotovi, ali je dano sorazmerje premo ali obratno sorazmerje. a) a: y=2: x 2 �y = 4 �x y = 2 x b) y: 5=2: x x �y = 5 � 2 x �y = 10 Ker je y dvakratnik x, je zapisano sorazmerje premo sorazmerje, njegov količnik k = 2. Zapisano sorazmerje je obratno sorazmerje, ker je produkt obeh spremenljivk konstanten.

5 BESEDILNE NALOGE IZ RAZMERJA IN SORAZMERJA � Besedilne naloge iz razmerja in sorazmerja rešujemo v več korakih: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Pozorno preberemo nalogo. Rok in oče sta kupila mami za rojstni dan skupno darilo Izpišemo podatke tako, da uvedemo novo v vrednosti 96 spremenljivko. €. Znesek sta si razdelila v razmerju 1 : je prispeval 196 del: 1 d Zapišemo enačbo in jo rešimo. Rok 1 dplačal + 3 d =manj). 3 (Rok je Oče je prispeval 3 d 4 dprispeval = 96 3 dele: Koliko je Rok in Izračunamo vse neznane količine. Skupaj d so=to 964 : enaki deli. 4 koliko oče? d = 24 Preverimo rešitev. Izračunali smo, da je en del d = 24. Rok je torej prispeval 1� Preizkusimo rešitev: 24 +d =721 =� 24 96. = Zapišemo odgovor. 24, oče pa 3 �d = 3 � 24 = 72. ODGOVOR: Za mamino darilo je Rok Rešitev je pravilna. prispeval 24 €, oče pa 72 €.

6 RAZMERJE DOLŽIN DALJIC � Razmerje daljic je enako razmerju njunih dolžin. a : b = |AB| : |CD| � Dana je daljica z dolžino |AB|. Nariši daljico CD, da bo |CD| : |AB| = 5 : 1. Kakšna bo daljica CD glede na daljico AB? 5 -krat daljša.

7 PODOBNOST � Podobnost geometrijskih likov Geometrijska lika sta si podobna, če imata enake kote in enako razmerje dolžin vseh ustrezno prirejenih enakoležnih stranic. Razmerje dolžin enakoležnih stranic imenujemo podobnostni koeficient. �je znak za podobnost

� Ugotovi, ali sta si štirikotnika podobna. |AB| = 2, |BC| = 4, |A’B’| = 3, |B’C’| = 6 |A’B’| : |AB|= 1, 5 |B’C’| : |BC|= 1, 5 Oba para prirejenih enakoležnih stranic sta v enakem razmerju ter oba lika imata vse kote prave, torej sta si podobna. Štirikotnik ABCD �štirikotnik A’B’C’D’

8 PODOBNI TRIKOTNIKI � Trikotnika 1. 2. sta podobna: Če imata skladna dva kota (potem se ujemata tudi v tretjem � kotu). �� ’, ��� ’ Če imata dolžine istoležnih stranic v enakem razmerju. � ABC �� A’B’C’: a’ : a = b’ : b = c’ : c = k a’ = k �a b’ = k �b c’ = k �c k je koeficient podobnosti

� Če podobna trikotnika prestavimo tako, da imata skupno oglišče (A = A’) in eno stranico na skupni nosilki (c in c’ sta na skupni nosilki), imata tudi drugo stranico (b in b’) na skupni nosilki, tretji stranici pa sta med seboj vzporedni (a �a’).

� Talesov izrek nam pove razmerje stranic v podobnih trikotnikih. � ABC �� A’B’C’ zapis s pomočjo stranic: oglišč: a : a’ = b : b’ = c : c’ |BC| : |B’C’| = |AC| : |AC’| = |AB| : |AB’| a : c = a’ : c’ |BC| : |AB| = |B’C’| : |AB’| a : b = a’ : b’ |BC| : |AC| = |B’C’| : |AC’| b : c = b’ : c’ |AC| : |AB| = |AC’| : |AB’| c’ : (c – c’) = b’ : (b – |AB’| : |BB’|= |AC’| : |CC’| b’)

� Delitev daljice na enake dele Kako razdelimo daljico AB na enake dele: 1. korak: Daljici AB 2. korak: S šestilom 3. korak: Končno narišemo pomožni na poltrak nanesemo točko na poltraku povežemo s končno enake dele. poltrak. točko daljice. 4. korak: Skozi vmesne točke narišemo vzporednice k premici skozi končni točki.

� Obseg in ploščina podobnih trikotnikov Če so istoležne stranice podobnih trikotnikov v razmerju 1 : k, sta tudi obsega trikotnikov v tem razmerju. Ploščini teh trikotnikov pa sta v razmerju 1 : k 2. � ABC �� A’B’C’: a’ = k �a o’ = k �o b’ = k � � p’ = k 2 � b p c’ = k �c