SONLU ELEMANLAR DERS 6 Global Lokal ve Doal

SONLU ELEMANLAR DERS 6

Global Lokal ve Doğal Koordinatlar Herbir düğümün konumunu göstermek, sınır şartlarını ve yüklemeleri uygulayarak düğümlerin deplasmanlarını bulmak amacı ile global koordinatlar kullanılır. Diğer yandan lokal ve doğal koordinatların kullanılması karmaşık integrallerin çözülmesinde kullanışlıdır.

Global X Lokal x Düğüm j Düğüm i Xİ l XJ Bir boyutlu elemanlarda global ve lokal koordinatlar arasındaki ilişkiyi yandaki şekliden de görülebileceği gibi dir. O halde şekil fonksiyonlarını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Doğal koordinatlar temel olarak boyutsuz haldeki lokal koordinatlardır. =-1 Lokal =1 x Düğüm j Düğüm i Xİ l XJ

Örnek olarak bir boyutlu bir kanattaki sıcaklık dağılımı:

ISOPARAMETRIC ELEMANLAR Deplasmanları doğal koordinatlar cinsinden ifade edersek: Global koordinatları doğal koordinatlar cinsinden ifade edersek: Lokal koordinatları doğal koordinatlar cinsinden ifade edersek: Yukarıdaki denklemlerden de görüldüğü gibi tek bir parametre seti ile u, T, vs. gibi değişkenlerin yanında geometrik özelliklerde tanımlanmaktadır. Sonlu elemanlar formülasyonu bu yapıyı isoparametrik formülasyon şeklinde ifade eder. Bu bağlam altındaki elemanlara ise isoparametrik elemanlar denir.

LAGRANGE POLİNOMU İLE DOĞAL KOORDİNATLARDA ŞEKİL FONKSİYONLARIN BULUNMASI =-1 i =1 j

QUADRATIC ELEMANLARDA LAGRANGE POLİNOMU İLE DOĞAL KOORDİNATLARDA ŞEKİL FONKSİYONLARIN BULUNMASI =-1 i =1 =0 k j

CUBIC ELEMANLARDA LAGRANGE POLİNOMU İLE DOĞAL KOORDİNATLARDA ŞEKİL FONKSİYONLARIN BULUNMASI =-1 i =-1/3 k =1/3 m j

NÜMERİK İNTEGRASYON Çoğu sonlu elemanlar programları Gauss-Legendre formülasyonu yardımı ile nümerik olarak integrasyon yapar. Bu yöntemin trepozoidal yöntem ve Simpson yöntemine göre üstünlüğü uniform olmayan noktalardan integral alabilmesidir. Gauss-Legendre formülü bazı seçilmiş noktalarda fonksiyon değerlerinin ve ağırlık fonksiyonlarının toplamı şeklinde görülen bir integraldir. Örnekleme noktaları Ağırlık Fonksiyonu

a dan b ye kadar olan integral sınırlarını -1 den +1 e kadar yapacağız. Burada değişkenini kullanacağız.

Gauss- Legendre 2 nokta formülü w 1 ve w 2 olmak üzere iki ağırlık fonksiyonu ile 1 ve 2 şekinde iki örnekleme noktası ister. Bunları bulabilmek için Legendre fonksiyonları kullanılır. (1, , 2, 3)