Solicitacin por Torsin Presentacin del Tema Curso de
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Solicitación por Torsión Presentación del Tema Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Planteo del Equilibrio (externo) de un sólido rígido (Estática) Hemos visto que un cuerpo en el plano posee tres grados de libertad, mientras que en el espacio seis. z G Las correspondientes ecuaciones de la estática que aseguran el equilibrio son: x y Veamos algunos Conceptos Preliminares
Planteo del PROBLEMA Plano de solicitación Una sección está solicitada por torsión cuando al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, se obtiene un par que yace en el plano de la sección En este caso las ecuaciones de equilibrio interno resultan ser (debemos considerar el equilibrio en el espacio): (Resistencia de Materiales) Veamos algunos Conceptos Preliminares Siendo en este caso las tensiones normales s. Z nulas ecuaciones 1, 5 y 6 resultan idénticamente nulas, por lo que las que resuelven el problema de la torsión son las siguientes:
Planteo del PROBLEMA Plano de solicitación Una sección está solicitada por torsión cuando al reducir a su baricentro los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, se obtiene un par que yace en el plano de la sección En este caso las ecuaciones de equilibrio interno resultan ser (debemos considerar el equilibrio en el espacio): La solución rigurosa del problema de la torsión se debe a Saint Venant, Venant quien estudió la torsión de una barra de sección rectangular mediante la Función de Tensión de Airy Veamos algunos Esta forma de encarar la resolución del problema pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad (que escapa al alcance de Conceptos Preliminares este curso)
Planteo del PROBLEMA Plano de solicitación • Sección circular llena • Sección circular hueca • Secciones tubulares de pared delgada, delgada simple y múltiplemente conexas La Hipótesis de Coulomb, Coulomb verificada experimentalmente, establece que: • Luego de la deformación las secciones mantienen su forma. • Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas luego de la deformación. Por ello, resulta que: • Las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida • Las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande. Desarrollaremos primero las soluciones en las que son válidas las Hipótesis de Coulomb
Planteo del PROBLEMA Plano de solicitación • Sección circular llena • Sección circular hueca • Secciones tubulares de pared delgada, delgada simple y múltiplemente conexas La Hipótesis de Coulomb, Coulomb verificada experimentalmente, establece que: • Luego de la deformación las secciones mantienen su forma. • Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas luego de la deformación. Por ello, resulta que: • Las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida • Las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande. … y además: • Sólo existen tensiones tangenciales • Su lo las largo del Desarrollaremos primero las distribución solucionesa en diámetro es antimétrica que son válidas las Hipótesis de Coulomb • Su dirección es normal al radio
Calculamos la relación entre MT y las tensiones tangenciales Consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria El ángulo de giro relativo entre ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión” Podemos observar que: …y análogamente: …y por lo tanto: …y siendo (por Hooke): Veamos la Sección Circular Llena
Calculamos la relación entre MT y las tensiones tangenciales De acuerdo a la ley de Hooke: Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor máximo en el borde de la sección: En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo ϕ se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza. Veamos la Sección Circular Llena El coeficiente G (kg/cm 2) se denomina módulo de elasticidad transversal
Para equilibrar este dm. T el momento torsor MT debe ser: y siendo: Para la sección circular llena resulta: Veamos la Ecuación de Deformación entonces se tiene:
Para equilibrar este dm. T el momento torsor MT debe ser: y siendo: Para la sección circular llena resulta: entonces se tiene: y para la sección circular hueca resulta: Veamos la Ecuación de entonces se tiene: Deformación
Para un determinado incremento d. Mt corresponde una variación d del ángulo específico de torsión, y el trabajo desarrollado, salvo infinitésimos de orden superior, será: …y cuando el par torsor crece de cero a Mt : …que representa el área encerrada por el diagrama (Mt , ): Veamos el tema de la Energía de deformación.
En consecuencia, como debe ser: resulta: Veamos el tema de la Energía de deformación.
Experimentalmente se ha comprobado que para secciones huecas en las cuales el espesor de pared es reducido la hipótesis enunciada por Coulomb es válida Si consideramos un corte s-s de la pared, la tensión variará a través del espesor de la pared Por lo que, siendo: Veamos ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas
Imaginemos cortada la sección por dos planos 1 -1 y 2 -2 Aislemos una de las partes de la que a su vez tomamos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas una longitud unitaria Sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales que dan origen a dos fuerzas elementales verticales de intensidad (e. . 1): 1) …y como el elemento de tubo pertenece a un sólido en equilibrio, también estará en equilibrio. Veamos las ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas 1 -1 e 1. 1 e 2. 1 2 -2
Imaginemos cortada la sección por dos planos 1 -1 y 2 -2 Aislemos una de las partes de la que a su vez tomamos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas una longitud unitaria Sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales que dan origen a dos fuerzas elementales verticales de intensidad (e. . 1): 1) …y como el elemento de tubo pertenece a un sólido en equilibrio, también estará en equilibrio. Veamos las ahora las Secciones tubulares de paredes delgadas 1 -1 e 1. 1 e 2. 1 2 -2
La determinación de la haremos igualando los trabajos interno de deformación (el trabajo desarrollado por las tensiones ) y externo de deformación (el trabajo del par torsor MT). 1 -1 e 1. 1 e 2. 1 donde: Por lo que el ángulo específico de torsión ( ) será (considerando el espesor e = cte): cte Con S = longitud del perímetro medio de la sección Otra magnitud que interesa conocer es el valor del ángulo específico de torsión ( ) 2 -2
Sea una sección de lados a y b solicitada por un par torsor MT, tal que a > b Las hipótesis de Coulomb no es aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieran de la circular. La sección rectangular no permanece plana y se alabea La solución del problema de la torsión con carácter general y aplicable a cualquier tipo de sección se debe a Saint Venant, Venant quien estudió la torsión de una barra de sección rectangular mediante la Función de Tensión de Airy Esta solución pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad (que escapa al alcance de este curso) Veamos las ahora las Secciones Rectangulares sujetas a torsión
La solución del problema de Saint Venant, Venant aplicada a la sección rectangular establece que la máxima tensión tangencial ocurre en el centro del lado mayor y su expresión es: donde a y b son los lados de la sección y un coeficiente cuyo valor en función de la relación k = a / b figura en la tabla. Según de Saint Venant, Venant el ángulo específico de torsión ( ) tiene por expresión: La tensión máxima sobre el lado menor es función de la correspondiente al lado mayor: Veamos las ahora las Secciones Rectangulares sujetas a torsión
Sección cuadrada a = b con k = 1 Sección cuadrada a >>> b con k � Las Secciones Rectangulares presentan dos casos particulares:
Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, Membrana” propuesto por Prandtl y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = cte se podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular donde a >>>b: >>>b Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente MT. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear: Veamos ahora las Secciones Abiertas de paredes delgadas
Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la Membrana”, Membrana” propuesto por Prandtl y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor constante t = cte se podrían aplicar las mismas ecuaciones que para el caso de sección rectangular donde a >>>b: >>>b Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento torsor correspondiente MT. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión, por lo que se puede plantear: Veamos ahora las Secciones Abiertas de paredes delgadas
Dado la barra cilíndrica de acero sometida a torsión simple, mostrada en la figura cuyos datos se indican, se solicita: Problema 1 • Determinar la tensión tangencial máxima ( max) • Determinar el ángulo de torsión total (ϕ) Datos: Datos adm = 9 KN/cm 2; D = 5 cm; L = 250 cm; MT = 185 KN/cm 2; G = 8 x 103 KN/cm 2 Veamos el siguiente ejemplo
Determinación de la tensión tangencial máxima ( max) y del ángulo de torsión total (ϕ) • Calculo de la tensión tangencial máxima ( max) La tensión tangencial máxima se determina mediante la siguiente expresión: Veamos el siguiente ejemplo Resolución
Determinación de la tensión tangencial máxima ( max) y del ángulo de torsión total (ϕ) • Calculo del ángulo de torsión total ( ) El ángulo de torsión total (ϕ) para una longitud L de la barra será: Veamos el siguiente ejemplo Resolución
De acuerdo con los datos indicados en la figura y para la relación K establecida, se desea reemplazar un árbol de sección circular maciza por otro de sección anular (anillo circular) del mismo material, que sea capaz de transmitir el mismo momento torsor MT. Se solicita determinar : • La relación entre ambos diámetro exteriores (De/D) • La economía de material (peso) que se logra Veamos el siguiente ejemplo Problema 2
Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D) • Para la sección circular maciza será • Para la sección circular hueca (anular) será Veamos el siguiente ejemplo Resolución
Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D) • Para poder reemplazar una sección por otra, debe cumplirse que ambas secciones tengan las mismas tensiones tangenciales máximas …y reemplazando valores: Veamos el siguiente ejemplo Resolución
Cálculo de la economía del material (peso) • La economía en peso, a igualdad de material y longitud de la pieza, va a estar dada por la relación entre áreas de ambas secciones Lo que nos dice que: Veamos el siguiente ejemplo Resolución
Dadas dos barras de acero que poseen igual área, siendo una de ellas de sección circular y la otra de sección rectangular, rectangular las cuales soportan pares torsores equivalentes y cuyos datos se indican en la figura, se solicita determinar: • Las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Los ángulos de rotaciones específicos y las relaciones entre los mismos • Las tensiones tangenciales máximas que ocurren en el lado menor de la sección rectangular Datos: Datos D = 4 cm; MT = 60 KN. cm; G = 8 x 103 KN/cm 2 Veamos ahora el siguiente ejemplo Problema 3
Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será • Para la barra de sección rectangular, rectangular siendo ambas barras de igual área será: Veamos ahora el siguiente ejemplo Resolución
Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será • Para la barra de sección rectangular, rectangular siendo ambas barras de igual área será: Veamos ahora el siguiente ejemplo Resolución
Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el lado menor la mayor tensión será: • La relaciones entre las máximas tensiones para ambas secciones será: Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) la tensión tangencial máxima en la sección rectangular es aproximadamente un 64% superior a la correspondiente a la sección circular Resolución
Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para la barra de sección circular maciza será • Para la barra de sección rectangular será: Resolución
Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relaciones entre los ángulos de torsión específicos para ambas secciones será: Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas, para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico en la sección rectangular es aprox. un 41% superior al correspondiente a la sección circular Resolución
Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, espesor siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, abierta se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos: • Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas • Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones Datos: Datos Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN. cm; G = 8 x 103 KN/cm 2 Veamos el siguiente ejemplo Problema 4
Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno cerrado será • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno abierto será: Veamos el siguiente ejemplo Resolución
Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relación entre ambas tensiones tangenciales será: Veamos el siguiente ejemplo Resolución
Cálculo de los ángulos específicos de torsión en ambas secciones y las relaciones entre las mismas Resolución • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno cerrado será • Para el anillo circular de pequeño espesor de contorno abierto será: Veamos el siguiente ejemplo
Cálculo de los ángulos específicos de torsión en ambas secciones y las relaciones entre las mismas • La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será: Resolución
Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias
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