Solicitacin por Torsin Ejercicio N 26 de la

Solicitación por Torsión Ejercicio N° 26 de la Guía de Problemas Propuestos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Experimentalmente se ha comprobado que, para aquellas secciones huecas en las cuales el espesor de pared es reducido, reducido la hipótesis enunciada por Coulomb es válida (conservación de las secciones planas y el mantenimiento de su forma). Introducción Supongamos una sección tubular de forma arbitraria pero de paredes muy delgadas sujeta a los efectos de un par Mt. Mt Si consideramos un corte s-s de la pared del tubo, si A s-s es un punto de la superficie interior y B otro de la exterior… … al encontrarse este último más alejado del centro de rotación de la sección, su distorsión será mayor y en consecuencia resultará: s e A s t. B B Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. s

En consecuencia, a lo largo de AB la tensión variará según una ley que desconocemos, pero dado el reducido espesor e, y la poca diferencia entre las direcciones de t. A y t. B, podemos establecer lo siguiente: a. que la tensión tangencial t. M se mantiene constante en intensidad y dirección a lo largo del espesor de la pared; y b. que la dirección de t. M coincide con la de la tangente al contorno medio de la sección, en el corte considerado. Introducción Mt s e A s t. A t. M t. B s B Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. s

Introducción Sea ahora la sección de la figura. Sobre un elemento de su superficie de espesor e, longitud ds y área: …actuará una fuerza elemental cuya dirección coincide con la tangente al contorno medio en el punto considerado. Mt En consecuencia, si elegimos un punto cualquiera O del plano de la sección y llamamos r a la distancia al mismo de d. T, d. T la ecuación que establece la equivalencia del par torsor con el momento de las fuerzas internas adquiere la forma: ds O r Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. d. T e

Imaginemos cortada la sección por dos planos verticales 1 -1 y 1 -1 2 -2 normales cada uno de ellos al contorno medio, y consideraremos sólo el trozo delimitado por dos secciones separadas de una longitud unitaria. Introducción 1 Sobre cada una de las caras verticales actuarán tensiones tangenciales uniformemente repartidas que, de acuerdo con el teorema de Cauchy darán origen a dos fuerzas elementales, de intensidad (T 1 = e 1. t. M 1. 1) y (T 2 = e 2. t. M 2. 1) que, como pertenece a un sólido en equilibrio, debe también estar también en equilibrio. En consecuencia: …y como los cortes fueron elegidos arbitrariamente, concluimos que: …y en consecuencia: Mt 1 d. T ds O 2 e r 2 T 1 T 2 1 e 1 Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. e 2

…. pero de la figura se observa que: Introducción …donde dw es el área del triángulo elemental de base ds y cuyo vértice coincide con el centro O de momentos, En consecuencia: 1 Mt 1 …en donde representa el área de la superficie delimitada por el contorno medio de la sección. Por lo tanto: ds O 2 Otra magnitud que interesa conocer es el valor del ángulo específico de torsión y para ello igualamos los trabajos interno y externo de deformación: 1. el primero corresponde al trabajo del par torsor Mt. 2. el segundo es el desarrollado por las tensiones t. M d. T e r 2 T 1 T 2 1 e 1 Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. e 2

Trabajo interno de deformación: si sobre un par de ejes coordenados llevamos como ordenadas los valores crecientes del par torsor (Mt) y en abscisas los correspondientes ángulos específicos de torsión ( ), el diagrama resultante, es una recta que pasa por el origen, dado que existe una relación lineal entre Mt y . Introducción Mt Mt Para un determinado incremento d. Mt corresponde una variación d del ángulo específico de torsión, y el trabajo desarrollado, salvo infinitésimos de orden superior, será: …y cuando el par torsor crece de cero a Mt : …que representa el área encerrada por el diagrama (Mt , ): d Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa. Mt + d. Mt

Por su parte, el trabajo interno de deformación es, el trabajo desarrollado por las tensiones t, de modo que tenemos: En consecuencia, como debe ser: Pero en el caso que nos ocupa: Reemplazando t 2 resulta: Introducción resulta: de donde: Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa.

El valor de la integral puede calcularse con suficiente aproximación reemplazándola por una sumatoria, ya que, en general no se conoce la ley de variación e en función de s: Introducción …para cuya evaluación bastará dividir el perímetro medio en elementos Ds y considerar para cada uno de ellos su espesor medio em. Si hacemos Ds = cte, la expresión se transforma en: cte Finalmente, cuando se trata de una sección de paredes de espesor e constante, resulta: …donde s es la longitud del perímetro medio de la sección y resulta válida cuando el radio de curvatura r es mayor que el espesor e en el punto considerado. Veamos los principales conceptos de torsión en secciones tubulares de pared delgada simplemente conexa.

En construcciones mecánicas es muy común el cálculo de la torsión de secciones de formas varias, pero en general de reducido espesor y abiertas. Introducción Por su parte, la analogía de la membrana determina, para tales secciones, con suficiente aproximación una distribución lineal de tensiones a través de su espesor y muestra que dichas tensiones varían muy poco si se suponen enderezados los perfiles de modo de transformarse en rectángulos muy alargados. La solución exacta del problema de la torsión con carácter general y aplicable a cualquier tipo de sección, se debe a Saint Venant y pertenece al dominio de la Teoría Matemática de la Elasticidad (fuera del alcance de este curso). La solución de Saint Venant, Venant aplicada al caso de la sección rectangular, establece que la máxima tensión tangencial ocurre en el centro del lado mayor y su expresión es: Veamos ahora los principales conceptos de torsión en secciones abiertas de pared delgada.

Introducción Donde a y b son los lados de la sección y un coeficiente cuyo valor en función de la relación k = a/b mientras que, el ángulo específico de torsión tiene por expresión: o bien: donde κ = / La sección rectangular presenta dos casos particulares: cuadrada y rectangular muy alargada. Para la segunda, cuando a>>b, a>>b 3; 3 y podemos escribir: 3 Veamos ahora los principales conceptos de torsión en secciones abiertas de pared delgada.

Introducción Estas ecuaciones serán de aplicación, tanto para determinar la tensión tangencial máxima como para establecer el valor del ángulo específico de torsión, y por lo tanto podremos reescribirlas de la forma siguiente: Veamos ahora los principales conceptos de torsión en secciones abiertas de pared delgada.

Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos casos: Enunciado 1. Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas. 2. Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones. Veamos ahora el siguiente problema de aplicación: Datos: Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN. cm; G = 8 x 103 KN/cm 2

Cálculo de las tensiones tangenciales Resolución Barra de contorno abierto La tensión tangencial máxima será: y siendo: Veamos ahora el siguiente problema de aplicación:

Cálculo de las tensiones tangenciales Resolución Barra de contorno cerrado Siendo el área encerrada por el contorno medio; la tensión tangencial máxima será: y siendo: Veamos ahora el siguiente problema de aplicación:

Cálculo de los ángulos específicos de torsión Resolución Barra de contorno abierto Siendo S la longitud del contorno medio de la sección; el ángulo específico de torsión será: y siendo: Veamos ahora el siguiente problema de aplicación:

Resolución Cálculo de los ángulos específicos de torsión Barra de contorno cerrado Siendo el área encerrada por el contorno medio; ángulos específicos de torsión será: y siendo: y Veamos ahora el siguiente problema de aplicación:

Resolución Relaciones Tensiones tangenciales máximas La relación entre ambas tensiones tangenciales será: Ángulos específicos de torsión La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será: Como conclusión, a igualdad de condiciones, la rigidez a la torsión de un anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto. Veamos ahora el siguiente problema de aplicación:

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias