Sm barn ska vl nd inte kunna algebra

Små barn ska väl ändå inte kunna algebra? � Viktig förberedelse för mer avancerad problemlösning � Verktyg för att underlätta beräkningar � Och jo, man har nytta av algebra, men ofta arbetar vi med retorisk algebra utan symboler!

Innehåll � Barn och algebra � Lite historia � Vad är skolalgebra? � Olika uttrycksformer � Likhetstecknet � Uttryck/Formel/Ekvation/Funktion � Aritmetisk och geometrisk talföljd

Små barn ska väl ändå inte kunna algebra? Lgr 11, år 1 -3 om algebra: � Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse � Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Problemlösning Generaliserad aritmetik Lgr 11, år 4 -6 om algebra: � Obekanta tal och deras egenskaper … � Enkla algebraiska uttryck och ekvationer … � Metoder för enkel ekvationslösning � Hur mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas Problemlösning Studera relationer Generaliserad aritmetik

Vi börjar med Babylonierna � De hade en ”retorisk algebra”, algebra uttryckt med ord – på sin höjd med ordförkortningar � Algebran hade en väldigt stark praktisk koppling: ◦ Om det fanns två obekanta kallades de för ”längd” och ”bredd”, produkten för ”area”. ◦ Fanns det tre obekanta kallades de för ”längd”, ”bredd” och ”höjd”, produkten för ”volym”. � Retorisk algebra användes sedan av såväl kineser som egyptier.

Historia - fortsättning � Algebran utvecklas av grekerna till ”synkoperad algebra”, där man använde ord för att lösa uppgiften, men med speciella symboler för att minska ned på antalet ord.

700 -1400 e. Kr dominerade araberna inom såväl kultur som vetenskap �

Den symboliska algebran � ◦ ◦ � Den persiske matematikern (och poeten) Omar Khayyam (ca 1048 -1122) definierade till slut en klar gräns mellan aritmetik och algebra: ”bruket av ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av polynom” (polynom = bokstavsbeteckning för variabel som kan ha potenser) Därigenom skapades den symboliska algebran

Vi i Europa då? � Under renässansen (1300 -1600) lyckades italienska matematiker lösa ännu flera typer av ekvationer och började ersätta retoriska lösningar med förkortningar. � Francois Viete (1540 -1603) använde vokaler för att beteckna okända tal och konsonanter för kända storheter. � Descartes (1596 -1650) använde bokstäver i början av alfabetet för kända storheter och bokstäver i slutet för okända tal.

Vad är skolalgebra? � Fyra aspekter: ◦ Verktyg för problemlösning �Symbolen betecknar ett obekant tal eller en konstant �Handlar om att lösa och förenkla ◦ Generaliserad aritmetik �Symbolen används för att beskriva mönster �Handlar om att översätta och generalisera ◦ Studera relationer �Symbolen betecknar en variabel eller parameter �Handlar om att relatera (t. ex. genom en graf) ◦ Studera strukturer (kommer vi inte att behandla)

Problemlösningsverktyg �

Generaliserad aritmetik �

Studium av relationer �

Ekvationer

Vad är en ekvation? matematisk utsaga som innehåller en likhet. � En ekvation innehåller ofta en eller flera obekanta som vanligtvis betecknas med x, y, eller z. � En lösning till en ekvation är ett eller flera tal som gör att det vänstra ledet (VL) är lika med högra ledet (HL). � En

Exempel på ekvationer � 2 + 3 = 5 (variabeln syns inte och kan anta vilket värde som helst) �a +b=b+a � 8 x – 13 = 3 � 7 x – y = 14 � x 2 – 3 x + 2 = 0 � Obs! Antalet lösningar kan vara noll, en, två eller flera!

Likhet är ett mycket viktigt begrepp! � Symbolen ”=” markerar att VL och HL är exakt lika. � Detta är den enda korrekta innebörden! � En vanlig metafor är balansvågen. Här är ett exempel ur en lärobok för åk 3.

Felaktig innebörd hos ”=” � Det är vanligt att likhetstecknet (helt felaktigt) får symbolisera andra saker, exempelvis: � 2 + 3 = (blir) 5, någonting ”händer” = är en ”operator” 100 % = 300 kr 50 % = 150 kr Använd istället ordet ”motsvarar” eller : 25 % = 75 kr � Olika steg i en uträkning 20 + 7 = 27 + 10 = 37 + 3 = 40 + 5 Så här får du som lärare aldrig redovisa lösningar. Var noga med hur du använder likhetstecknet. Tänk igenom dina redovisningar i förväg.

Ekvationer i skolan: Fk även vilka uttrycksformer som förekommer. (här är det handen som symboliserar det obekanta) � Notera

Ekvationer i skolan: Åk 1

Ekvationer i skolan: Åk 3

Ekvationer i skolan: Åk 5

Ett etiopiskt uttryck för algebra: Att lasta en kamel med elefanter � Många av er har säkert lärt er ekvationslösning genom att: ”flytta på andra sidan likamed och byt tecken”. � Skapar det en förståelse för vad man egentligen gör? � Balansvågsmetaforen skapar förståelse, sedan när man förstått, då är man redo att lära sig genvägarna och förenklingarna. � Alltså: Lyckas ni få eleven att förstå vad likhetstecknet verkligen betyder, blir ekvationslösning rätt enkelt!

Ett praktiskt exempel �

Min lösning � Tänk på prioriteringsreglerna och att vi räknar baklänges ◦ Vi ska ju hitta vilket tal som ger oss ”rätt” beräkning � Förenkla � Manipulera båda sidor � Förenkla igen � Manipulera båda sidor � O. s. v.

Min lösning �

Uttrycksformer � Framhäver olika aspekter och beror på abstraktionsförmåga ◦ Fysiskt (arbeta med konkreta objekt) �Fördela 14 kulor i tre lika stora högar ◦ Bilder (antingen bilder av föremål eller tänkta bilder) ◦ Verbalt (retoriskt) �Beskriv med ord hur du tänker ◦ Numeriskt �Gör sifferexempel (kvantitativt) ◦ Symboliskt �Med algebraiska symboler (manipulativt) � OBS! Detta är ett exempel på hur man kan se på det! Det finns andra indelningar av aspekter.

Översättning mellan uttrycksformer � Behöver absolut inte vara identisk information! ◦ Ibland tappar vi information ◦ Ibland får vi mer information � Den som är flexibel mellan olika uttrycksformer kan lättare lösa sammansatta matematiska problem!

Nu går vi vidare med funktioner!

Funktioner �

Funktioner forts. � Sambandet mellan mängderna X och Y i Exempel 2 definieras av formeln Y = X 2. � X brukar kallas för definitionsmängd och Y målmängd. � Exempel 2

Är alla samband funktioner? � För att ett samband ska vara en funktion får ett tal i definitionsmängden (X) kopplas till ett och endast ett tal i målmängden (Y). � X=1 ger två olika Y. ◦ Ej en funktion!

Olika sorts uttryck för funktioner och samband mellan tal � � Ekvationer och formler ◦ y = 2 x + 1 ◦ y = x 2 Retorisk form ◦ Tag ett tal. Multiplicera med 2. Addera 1. ◦ Tag ett tal. Multiplicera det med sig självt.

Olika sorts uttryck för funktioner och samband mellan tal Tabeller x y -1 -1 -1 1 0 0 1 3 1 1 2 5 2 4 3 7 3 9

Olika sorts uttryck för funktioner och samband mellan tal � Punkter och grafer i koordinatsystem 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6

Talföljder

Talmönster och talföljder � Mönster: regelbundenhet, återkommande drag � Talföljd: en mängd med tal som följer på varandra Exempelvis: 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 2, 4, 6, 8, 10 3, 8, 7, 23, 19, 4, 2 � Talföljder kan vara ändliga som i exemplen ovan. Talföljder kan också vara oändliga, vilket markeras med … Exempelvis 0, 2, 4, 6, 8, 10, …

Några talföljder � Två intressanta typer av talföljder som är relevanta för skolan är aritmetiska och geometriska talföljder. � Här kan vi relativt enkelt urskilja mönster.

Aritmetisk talföljd � En följd av tal där differensen mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. Exempel 1 Exempel 2 0, 1, 2, 3, 4, 5 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

Geometrisk talföljd � En följd av tal där kvoten mellan ett tal i följden och det närmast föregående alltid är lika stor. ◦ Exempel 1 ◦ Exempel 2 1, 2, 4, 8, 16, 32 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81

Att beskriva en talföljd � En bra början är ofta att beskriva talföljden retoriskt (dvs med ord) för sig själv. � Talföljder kan beskrivas på två sätt: rekursivt respektive allmänt. � Rekursivt beskriver sambandet mellan ett tal och de föregående talen. Det kan vara flera föregående tal, men oftast är det talet innan. (Minnestips: ”re-” betyder tillbaka, åter. Jfr ”retur” ”recycling” ”reverse”) � En allmän beskrivning (även kallat generellt) beskriver samtliga n stycken tal i en talföljd.

Ett exempel på aritmetisk talföljd � 2, 7, 12, 17, 22, … � Retoriskt (rekursivt): ◦ Talföljden börjar med 2. för varje nytt tal lägger vi till 5.

Ett exempel på geometrisk talföljd � 3, 9, 27, 81, 243 … � Retoriskt: ◦ Börja med talet 3. För varje nytt tal multiplicera det föregående med 3.

Vad är detta för talföljder?

Frågor om talföljder � Är alla talföljder aritmetiska eller geometriska? ◦ Nej, många av de talföljder vi stöter på i t ex läroböcker är varken eller. � Kan alla talföljder beskrivas med en allmän formel eller en rekursiv formel? ◦ Nej, ibland går det inte och ibland är det svårt att bestämma dem. � Det måste du komma ihåg när du konstruerar egna uppgifter.

Översikt �

I algebran betecknar en symbol � Ett tal i en ekvation av första graden � Flera tal, till exempel i en andragradsekvation � Oändligt många tal i en olikhet � Vilket tal som helst vid omskrivning av ett uttryck � Vilket tal som helst i funktionsuttryck (det ena beror på det andra) � Men i geometrin kan AB vara sträckan AB och inte produkten AB som i algebran.

Våra (i viss mån) inkonsekventa matematikregler �

Centralt innehåll � Suggate kap 9 � Symbolisk/Retorisk � Vad är skolalgebra? algebra ◦ Algebra som problemlösningsverktyg ◦ Algebra för att studera relationer ◦ Algebra som generaliserad aritmetik � Olika uttrycksformer � Likhetstecknets betydelse � Uttryck/Formel/Ekvation/Funktion � Aritmetisk och geometrisk talföljd