Slovensk technick univerzita v Bratislave Fakulta elektrotechniky a

Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta elektrotechniky a informatiky Kvantová mechanika stručne Robert Redhammer Bratislava, 2002

Obsah • Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky • Viazané stavy - kvantová jama • Tunelovanie

Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky I • • • Kvantové vlastnosti žiarenia Vlnové vlastnosti častíc Analógia s optikou Vlnová funkcia Schrödingerova rovnica

Základné pojmy a postuláty kvantovej mechaniky II • Operátory a stredné hodnoty merateľných veličín • Bornova pravdepodobnostná interpretácia vlnovej funkcie • Vlastnosti vlnových funkcií • Princíp superpozície • Rovnica kontinuity • Heisenbergov princíp neurčitosti

Kvantové vlastnosti žiarenia Svetlo - elektromagnetické vlnenie (ω, λ) - energetických kvánt - fotónov=častíc (E, p) Planckova konštanta základná kvantita určujúca miery kvantových javov

Vlnové vlastnosti častíc • Voľná častica: –moment p = mv –kinetickou energiou E = p 2/2 m • Vlnenie: –de Broglieho vlnová dĺžka: l = h/p –kruhová frekvencia wa vlnovým vektorom k

Vlnové vlastnosti častíc De Broglieho vlnu voľnej častice možno potom opísať ako rovinnú postupujúcu vlnu Vlna nie je hmotnou - len opisuje vlastnosti správania sa častice!!!

Analógia s optikou intenzita elektrického poľa postupujúcej vlny : uhlová frekvencia w a vlnová dĺžka λ

Vlnová funkcia voľnej častice komplexná vlnová funkca y(r) napr. elektrónu: Riešením akej rovnice je táto funkcia?

Schrödingerova rovnica Vlnová rovnica komplexnej vlnovej funkcie kde

Schrödingerova rovnica II Jednoduchší zápis kde je Hamiltonián, Hamiltonov operátor.

Hamiltonián Hamiltonán je Hermitovský operátor Riešenie Schrödingerovej rovnice – vlnová funkcia je vlastná funkcia operátora.

Časovo závislá Schrödingerova rovnica Riešenie rovnice => Separácia premenných

Operátory a stredné hodnoty merateľných veličín priestorová súradnica zložka hybnosti zložka momentu hybnosti kinetická energia Hamiltonián x=x

Pravdepodobnostná interpretácia Konštrukcia pokusu s interferenčným obrazcom

Prechod častíc cez dvojštrbinu • Interferenčný obraz zodpovedá interferenčnému obrazu rovinnej vlny s vlnovou dĺžkou l=h/p. • Interferenčný obrazec nezávisí od intenzity zväzku - nie je dôsledkom vzájomnej interferencie elektrónov • Každý elektrón vyvolá jedno bodové sčernenie - obrazec je súčtom sčernení spôsobených jednotlivými elektrónmi.

Pravdepodobnostná interpretácia y(r) amplitúda pravdepodobnostnej vlny (nie amplitúda hmotnej vlny) |y(r)|2 hustota pravdepodobnosti výskytu častice v bode r a v elemente dt = d 3 r |y(r)|2 dt pravdepodobnosť výskytu častice v elemente dt

Vlastnosti vlnových funkcií 1. Kvadraticky integrovateľné 2. Normovateľné 3. Ortogonálne Spolu. . . ortonormálne.

Princíp superpozície Pre riešenia j 1, j 2, j 3, . . . rovnice je aj lineárna kombinácia riešením rovnice, pričom cn sú komplexné čísla – váhovacie koeficienty.

Ortogonálnosť znamená kde Kroneckerová delta

Rovnica kontinuity Platí pre riešenia Schrödingerovej rovnice kde je hustota pravdepodobnosti a je hustota toku (pravdepodobnosti)

Vlnový balík Superpozícia rovinných postupujúcich vĺn vyhovuje pre opis priestorovo lokalizovanej častice.

Heisenbergov princíp neurčitosti Súčin neurčitosti polohy a hybnosti kde Dx 2, Dp 2, DE 2 a Dt 2 sú stredné kvadratické odchýlky polohy, impulzu, energie a času. Dôsledok vlnovej povahy!

Viazané stavy - kvantová jama

Nekonečne hlboká pravouhlá kvantová jama Hľadáme riešenie Schrödingerovej rovnice pre potenciálový profil

Okrajové podmienky

Ponúkané riešenie Matematický problém vlastných čísiel, skúsme riešenie napr. v tvare kde m je hmotnosť, E je celková energia.

Dané okrajové podmienky Prvá je splnená ak B = 0 a dosadením do druhej okrajovej podmienky Parameter α je vlastné číslo

Vlastné stavy Dosadením za α máme vlastné energie a vlastné funkcie

Normovacia podmienka dáva vyjadrenie pre koeficient A, teda je sústava vlnových rovníc.

Tvar vlnových funkcií

Konečná pravouhlá kvantová jama Potenciálový profil

Schrödingerova rovnica pre hodnoty v rozmedzí

prepíšem rovnicu do tvaru kde (39) kde (40) a mimo jamy