SLOENI KAMATNI RAUN Igor Jemri Struktura predavanja 1

SLOŽENI KAMATNI RAČUN Igor Jemrić

Struktura predavanja: 1. Uvod u složeni kamatni račun 2. Dekurzivni složeni obračun kamata 3. Sinkronizacija asinkronih dospijeća 4. Vremensko usklađivanje osnovnih elemenata složenog kamatnog računa 5. Anticipativni složeni obračun kamata 6. Kontinuirano ukamaćivanje

Uvod u složeni kamatni račun Jednostavni kamatni račun – na kraju svakog elementarnog razdoblja ukamaćivanja, kamata se obračunava, ali ne pripisuje glavnici već se u svakom sljedećem elementarnom razdoblju ona obračunava na istu glavnicu • takva kamata naziva se jednostavna kamata (eng. simple interest) Složeni kamatni račun - na kraju svakog elementarnog razdoblja ukamaćivanja, kamata se obračunava i pripisuje glavnici pa se već u sljedećem elementarnom razdoblju ona obračunava na uvećanu glavnicu • takva kamata naziva se složena kamata (eng. compound interest)

Dekurzivni složeni kamatni račun Matematički, ideja složenog ukamaćivanja nije ništa novo u odnosu na jednostavno ukamaćivanje. Ono predstavlja niz jednostavnih ukamaćivanja kod kojeg početna vrijednost glavnice u svakom sljedećem razdoblju ukamaćivanja zapravo predstavlja konačnu vrijednost glavnice (dakle, početnu vrijednost uvećanu za kamatu) iz prethodnog razdoblja.

Primjer 1 - ideja složenog ukamaćivanja Pretpostavimo da je Luka položio 4. 000 kn u banku na 2 godine, uz 5% jednostavnih (dekurzivnih) godišnjih kamata. On će na kraju ukupnog razdoblja ukamaćivanja imati: Jednostavne kamate za to razdoblje iznose, dakle, I = M - P = 400 kuna.

Primjer 1 - ideja složenog ukamaćivanja Izračunajmo sada kolike bi bile kamate da je Luka istih 4. 000 kn položio u banku samo na 6 mjeseci: Luka je, dakle, za 6 mjeseci zaradio 100 kuna.

Primjer 1 - ideja složenog ukamaćivanja Konačno, pretpostavimo da je Luka, nakon što je prošlo prvih 6 mjeseci, kamatu koju je dobio dodao glavnici te ponovo oročio na sljedećih 6 mjeseci, da bi isti postupak ponovio svakih 6 mjeseci tijekom 2 godine. Kolika će tada biti konačna vrijednost njegova uloga nakon 2 godine i kolike su ukupne kamate koje je zaradio u te dvije godine?

Primjer 1 - ideja složenog ukamaćivanja 1. polugodište: P 1 = 4. 000 kn 2. polugodište: P 2 = 4. 100 kn 3. polugodište: P 3 = 4. 202, 50 kn 4. polugodište: P 4 = 4. 307, 56 kn

Primjer 1 - ideja složenog ukamaćivanja Ukupna kamata: I 4 = M 4 - P 1 = 4. 415, 25 - 4. 000 = 415, 25 kn. Kada bi, dakle, Luka podizao svoj novac svakih pola godine te ga, zajedno s pripadnim jednostavnim kamatama, ponovno ulagao u banku, ostvario bi kamatu od 415, 25 kn, što je za 15, 25 kn više nego da je novac ostavio netaknut u banci tijekom pune dvije godine.

Dekurzivni složeni kamatni račun Résumé: Eksperiment opisan u ovom primjeru predstavlja, dakle, niz sukcesivnih polaganja glavnice (u pravilnim vremenskim razmacima od pola godine) uz njihovo jednostavno ukamaćivanje, pri čemu se svaki novi polog uvećava za kamatu dobivenu na prethodni polog. Taj eksperiment je zapravo simulacija složenog ukamaćivanja uz polugodišnji obračun kamata.

Dekurzivni složeni kamatni račun Intuitivni izvod formule: Kod jednostavnog ukamaćivanja kamate I mogu se izračunati kao umnožak početne vrijednosti glavnice P, kamatne stope r i vremena trajanja ukamaćivanja t: a konačna (ukamaćena) vrijednost glavnice M kao:

Dekurzivni složeni kamatni račun U primjeru (za niz od 4 polugodišta): Općenito (za n elementarnih razdoblja ukamaćivanja):

Dekurzivni složeni kamatni račun Vremensko usklađivanje osnovnih elemenata kod jednostavnog kamatnog računa: • Vrijeme se mora mjeriti u jedinicama na koje se odnosi kamatna stopa. Vremensko usklađivanje kod složenog kamatnog računa: • I vrijeme se mora mjeriti i kamatna stopa se mora odnositi na elementarno razdoblje ukamaćivanja (eng. conversion period, compounding period, period)

Dekurzivni složeni kamatni račun U formuli se varijabla vremena ukamaćivanja t pojavljuje upravo (i samo) u duljini jednog elementarnog razdoblja ukamaćivanja (jer u protivnom ovaj eksperiment sukcesivnih pologa ne bi predstavljao simulaciju složenog ukamaćivanja), pa se ona može izostaviti, čime dobivamo osnovnu formulu složenog kamatnog računa:

Dekurzivni složeni kamatni račun Elementarno razdoblje ukamaćivanja je, dakle, kvalitativno bitan novi element kod složenog kamatnog računa. Ono je, međutim, i kvantitativno bitan element, jer o njegovoj duljini (tj. o ritmu ukamaćivanja) ovisi i iznos ukupnih kamata: • što je brže ukamaćivanje (tj. što je kraće elementarno razdoblje ukamaćivanja) to je (ceteris paribus) ukupna kamata veća.

Primjer 2 - utjecaj ritma ukamaćivanja na ukupnu kamatu Pretpostavimo da se Luka ponašao kao u prethodnom primjeru, osim što je svoj ulog podizao i ponovo ulagao krajem svakog mjeseca. Kolike su sada ukupne kamate na kraju druge godine?

Primjer 2 - utjecaj ritma ukamaćivanja na ukupnu kamatu a) polugodišnji obračun kamata

Primjer 2 - utjecaj ritma ukamaćivanja na ukupnu kamatu b) mjesečni obračun kamata

Složeni kamatni račun Pramen kamatnih računa različitog ritma ukamaćivanja: I 0 jednostavno ukamaćivanje složeno ukamaćivanje kontinuirano ukamaćivanje 1 t/n

Primjer 3 - dekurzivni složeni kamatni račun Koliki iznos štediša treba uložiti danas u banku da bi na kraju 12. godine imao pravo podići 8. 000 kn, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a banka odobrava 5, 1% kamata godišnje? U primjeru se zapravo traži početna vrijednost glavnice.

Primjer 3 - dekurzivni složeni kamatni račun

Sinkronizacija asinkronih dospijeća Ovaj postupak obrađuje situacije u kojima je potrebno na određeni način konvertirati neki financijski ugovor, koji u sebi sadrži neki ugovoreni ritam obavljanja financijskih transakcija, u neki drugi ugovor, koji će sadržavati neki drugi ritam transakcija. Matematički, to se svodi na pomak pojedinačnih financijskih transakcija u vremenu (ispred ili iza originalnog dospijeća). • pomak unaprijed - ukamaćivanje (množenje s pripadnom potencijom kamatnog faktora) • pomak unatrag - diskontiranje (dijeljenje s pripadnom potencijom kamatnog faktora)

Sinkronizacija asinkronih dospijeća Varijante ovakvih situacija su, naravno, nebrojene, no ovdje se ilustriraju tri osnovna slučaja: 1. 2. 3. kada određeni broj glavnica (s različitim dospijećima) treba svesti na njihovu zajedničku početnu vrijednost, kada te iste glavnice treba svesti na njihovu zajedničku konačnu vrijednost te kada te glavnice treba svesti na neku zajedničku vrijednost u određenom trenutku unutar životnog vijeka tog financijskog ugovora. Konačno, kao četvrta varijanta daje se primjer u kojem treba utvrditi vrijeme u kojem dospijeva unaprijed zadana zajednička vrijednost tih asinkronih glavnica.

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća Da bi započela poslovanje na novom tržištu, podružnica neke banke primila je od svoje matice depozit. Tom prilikom dogovoreno je da će podružnica matici taj depozit isplatiti u tri rate, i to u iznosima: 20. 000 kn nakon dvije godine 30. 000 kn nakon tri godine 25. 000 kn nakon pet godina.

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća Ako se podružnica pridržava ovako ugovorenih rokova, matica joj ne naplaćuje nikakvu kamatu. Međutim, na svako kašnjenje u odnosu na dogovoreni ritam isplata matica zaračunava 4% složenih godišnjih kamata uz godišnji i dekurzivan obračun, dok joj na svaku prijevremenu isplatu priznaje bonus u vrijednosti 2% složenih godišnjih kamata uz isti obračun.

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća Imajući u vidu ugovorene uvjete, kojim iznosom podružnica može podmiriti svoj dug prema matici: a) danas b) krajem šeste godine c) krajem treće godine.

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća a) P 0 P 2 1 P 2 / (1+r)2 P 3 / (1+r)3 P 5 / (1+r)5 2 P 3 3 P 5 4 5

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća a) P 2 = 20. 000 kn P 3 = 30. 000 kn P 5 = 25. 000 kn r = 2 % = 0, 02 P 0 = ?

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća b) P 2 1 2 P 3 3 P 5 4 5 6 M 6 P 5 (1+r) P 3 (1+r)3 P 2 (1+r)4

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća b) P 2 = 20. 000 kn P 3 = 30. 000 kn P 5 = 25. 000 kn r = 4 % = 0, 04 P 6 = ?

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća c) 1 P 2 P 3 2 3 P 5 4 P 2 (1+r 2) P 3 P 5 / (1+r 1)2 M 3 5

Primjer 4 - sinkronizacija asinkronih dospijeća c) P 2 = 20. 000 kn P 3 = 30. 000 kn P 5 = 25. 000 kn r 1 = 2% = 0, 02 r 2 = 4% = 0, 04 M 3 = ?

Primjer 5 - sinkronizacija asinkronih dospijeća Prema podacima iz prethodnog primjera odredite u kojem trenutku (mjereno od danas) će podružnica banke jednokratno isplatiti depozit matici, ako će isplata iznositi točno 100. 000 kn? NAPOMENE: • Da bi se ovaj zadatak riješio, nužno je ugovorene isplate svesti na neki zajednički datum, npr. kraj 6. godine (za taj datum postoji rješenje u prethodnom primjeru); • Obzirom da pretpostavljeni iznos isplate premašuje već izračunatu vrijednost isplate krajem 6. godine, traženi će datum biti još kasnije pa će podružnica za sve tri isplate plaćati kamatu na kašnjenje.

Primjer 5 - sinkronizacija asinkronih dospijeća P 0 = 83. 143, 09 kn r = 4% = 0, 04

Primjer 5 - sinkronizacija asinkronih dospijeća NAPOMENE: • • Ovaj rezultat treba mjeriti od trenutka na koji smo se pozicionirali prilikom sinkronizacije asinkronih dospijeća (ovdje smo odabrali kraj 6. godine) pa je odgovor 6 + 4, 7 godina, odnosno 10 godina, 8 mjeseci i 12 dana. U ovom zadatku nismo mogli kao sinkronizirane početne vrijednosti odabrati rješenja pod a) ili c) prethodnog zadatka, jer ona oba u sebi uključuju diskontiranje glavnica (zbog prijevremenog plaćanja), koje se u ovom primjeru obavlja po različitoj kamatnoj stopi (2%) od stope kašnjenja (4%) pa ne odgovaraju ekonomskoj prirodi događaja koji se odnosi na ovaj zadatak.

Vremensko usklađivanje osnovnih elemenata složenog kamatnog računa Nominalna kamatna stopa - često nije definirana točno za elementarno razdoblje ukamaćivanja • • potrebna je prilagodba osnovnih elemenata teoretski, moguće je prilagoditi ili kamatnu stopu ili ritam ukamaćivanja, no u praksi se uvijek prilagođava kamatnu stopu. Dva koncepta: • • relativna kamatna stopa konformna kamatna stopa

Relativna kamatna stopa Kao prvi način transformacije nominalne kamatne stope u termine e. r. u. moguće je vremensko razdoblje t. N na koje se odnosi nominalna kamatna stopa r. N iskazati u broju elementarnih razdoblja ukamaćivanja t, čime se dobiva faktor korekcije m: kojim se dijeli nominalna kamatna stopa te se tako dobiva relativna kamatna stopa r. R:

Primjer 6 - relativna kamatna stopa Odredite relativne kamatne stope, ako je zadano: 1. nominalna godišnja kamatna stopa r. N = 6 te godišnje ukamaćivanje: 2. nominalna godišnja kamatna stopa r. N = 6 te polugodišnje ukamaćivanje: 3. nominalna polugodišnja kamatna stopa r. N = 6 te godišnje ukamaćivanje:

Primjer 7 - relativna kamatna stopa Koliko iznosi konačna vrijednost glavnice od 20. 000 kn nakon pet godina, ako je propisana godišnja kamatna stopa jednaka 6 te ako je obračun kamata složen, dekurzivan i: a) godišnji, b) polugodišnji? Napomena: koristite relativnu kamatnu stopu. P = 20. 000 kn r. N = 6% = 0, 06

Primjer 7 - relativna kamatna stopa a) b) Vidimo da je konačna vrijednost glavnice uz relativnu kamatnu stopu veća nego uz nominalnu kamatnu stopu ako je m > 1.

Primjer 8 - relativna kamatna stopa Koliko iznosi konačna vrijednost glavnice od 20. 000 kn nakon pet godina, ako je propisana polugodišnja kamatna stopa jednaka 6 te ako je obračun kamata složen, dekurzivan i: a) polugodišnji, b) godišnji? Napomena: koristite relativnu kamatnu stopu. P = 20. 000 kn r. N = 6% = 0, 06

Primjer 8 - relativna kamatna stopa a) b) Konačna vrijednost glavnice uz primjenu relativne kamatne stope manja je nego uz primjenu nominalne kamatne stope ako je m < 1.

Konformna kamatna stopa Ovaj koncept osigurava da zamjenska kamatna stopa bude ekvivalentna, i to u smislu očuvanja tzv. principa ekvivalencije kapitala: Dva su procesa ukamaćivanja ekvivalentna ako u oba slučaja ista glavnica (tj. investirani kapital) u istom vremenskom roku generira istu ukupnu kamatu. Primjenom, dakle, tako dobivene kamatne stope, konačne vrijednosti glavnica uz njezinu primjenu bit će jednake onima uz primjenu nominalne kamatne stope, neovisno o konkretnoj vrijednosti parametra m.

Konformna kamatna stopa Formula za konformnu kamatnu stopu izvodi se upravo iz primjene principa ekvivalencije kapitala (tj. izjednačavanjem ukupnih kamata uz primjenu nominalne i konformne kamatne stope), a za zadanu nominalnu kamatnu stopu r. N i faktor vremenskog usklađivanja m, završna formula za konformnu kamatnu stopu r. K glasi:

Primjer 9 - konformna kamatna stopa Odredite konformne kamatne stope, ako je zadano: 1. nominalna godišnja kamatna stopa r. N = 8 te godišnje ukamaćivanje: 2. nominalna godišnja kamatna stopa r. N = 8 te polugodišnje ukamaćivanje: 3. nominalna polugodišnja kamatna stopa r. N = 8 te godišnje ukamaćivanje:

Primjer 10 - konformna kamatna stopa Koliko iznosi konačna vrijednost glavnice od 12. 000 kn nakon šest godina, ako je propisana godišnja kamatna stopa jednaka 8 te ako je obračun kamata složen, dekurzivan i: a) godišnji, b) tromjesečni? Napomena: koristite konformnu kamatnu stopu. P = 12. 000 kn r. N = 8% = 0, 08

Primjer 10 - konformna kamatna stopa a) b) Konačna vrijednost glavnice ista je neovisno o tome primjenjuje li se nominalna ili konformna kamatna stopa

Primjer 11 - konformna kamatna stopa Koliko iznosi konačna vrijednost glavnice od 15. 000 kn nakon pet godina, ako je propisana polugodišnja kamatna stopa jednaka 8 te ako je obračun kamata složen, dekurzivan i: a) polugodišnji, b) godišnji? Napomena: koristite konformnu kamatnu stopu. P = 15. 000 kn r. N = 8% = 0, 08

Primjer 11 - konformna kamatna stopa a) b) I u ovom slučaju konačna vrijednost glavnice nepromjenjiva je neovisno o tome koristi li se nominalna ili konformna kamatna stopa.

Primjer 12 - sadašnja vrijednost ulaganja Srećko danas posjeduje udjele u nekom investicijskom fondu u nominalnoj vrijednosti 20. 000 kn, za koje je financijski savjetnik procijenio da će u sljedećih pet godina donositi prinose koji su ekvivalentni 8% složenih godišnjih kamata (od nominalne vrijednosti) uz kvartalni dekurzivni obračun. Ako štedionice na sredstva oročena na pet godina danas plaćaju 7, 2% složenih godišnjih kamata uz mjesečni dekurzivni obračun, koja je najmanja cijena po kojoj bi Srećko trebao danas prodati svoje vlasničke udjele u investicijskom fondu te dobiveni novac položiti u štedionicu? Napomena: koristite relativnu kamatnu stopu.

Primjer 12 - sadašnja vrijednost ulaganja 1 1) 2 3 4 5 r 1 R = 2%, n 1 = 20 P 1 M 1 = ? r 2 R = 0, 6%, n 2 = 60 P 2 = ? 2) M 2 = M 1

Primjer 12 - sadašnja vrijednost ulaganja 1) Izračun konačne vrijednosti vlasničkih uloga u investicijskom fondu: P 1 = 20. 000 m 1 = 4 r 1 N = 8% r 1 R = 8% / 4 = 2% = 0, 02 n' = 5 n 1 = n'*m 1 = 5*4 = 20

Primjer 12 - sadašnja vrijednost ulaganja 2) Izračun sadašnje vrijednosti vlasničkih uloga u investicijskom fondu M 2 = M 1 = 29. 718, 948 kn m 2 = 12 r 2 N = 7, 2% r 2 R = 7, 2% / 12 = 0, 6% = 0, 006 n' = 5 n 2 = n'*m 2 = 5*12 = 60

Anticipativni složeni kamatni račun Kao i kod jednostavnog, i kod složenog kamatnog računa, moguće je propisati i anticipativni obračun, kod kojeg se kamata obračunava na početku elementarnog razdoblja ukamaćivanja, a primjenjuje se na glavnicu s kraja tog razdoblja. Same formule za anticipativni složeni kamatni račun izvode se analogno formulama za dekurzivni račun - polazeći od iste ideje da složeno ukamaćivanje ništa drugo nego pravilni niz sukcesivnih jednostavnih ukamaćivanja.

Anticipativni složeni kamatni račun Za početnu vrijednost glavnice P, njena konačna vrijednost Mn nakon n elementarnih razdoblja ukamaćivanja uz kamatnu stopu r izračunava se po formuli: Dekurzivni kamatni faktor: Anticipativni kamatni faktor: (1 + r)

Primjer 13 - anticipativni složeni kamatni račun Kolika je konačna vrijednost glavnice od 50. 000 kn na kraju osme godine uz 4% kamata godišnje, ako je obračun kamata složen te a) anticipativan i b) dekurzivan? P = 50. 000 r = 4% = 0, 04 n=8

Primjer 13 - anticipativni složeni kamatni račun a) anticipativni složeni obračun kamata: b) dekurzivni složeni obračun kamata: Usporedbom gornjih rezultata uočavamo da i kod složenog ukamaćivanja anticipativni obračun kamata generira (ceteris paribus) veće kamate nego dekurzivni obračun.

Primjer 14 - anticipativni složeni kamatni račun Za koliko će se godina upeterostručiti neka glavnica položena u banku, ako ta banka odobrava 8, 12% anticipativnih godišnjih kamata uz složen i godišnji obračun kamata?

Primjer 15 - anticipativni složeni kamatni račun Koliko danas treba uložiti u banku da bi kroz sedam godina vrijednost tog uloga narasla na 10. 000 kn, ako ta banka (uz godišnji složeni obračun) obračunava 6, 3% anticipativnih godišnjih kamata? M 7 = 10. 000 r = 6, 3% = 0, 063 n=7

Primjer 16 - relativna i konformna kamatna stopa Koliko iznosi konačna vrijednost glavnice od 15. 000 kn nakon sedam godina, ako je propisana godišnja kamatna stopa jednaka 5, 2% te ako je obračun kamata složen, anticipativan i a) godišnji, b) polugodišnji? Napomena: u drugom dijelu zadatka koristite: b 1) relativnu i b 2) konformnu kamatnu stopu.

Primjer 16 - relativna i konformna kamatna stopa P = 15. 000 kn a) b 1) r. N = 5, 2% = 0, 052

Primjer 16 - relativna i konformna kamatna stopa b 2) Formula za anticipativnu konformnu kamatnu stopu: I ovdje je konačna vrijednost glavnice ista kod nominalne i konformne kamatne stope, dok je kod relativne kamatne stope različita.

Prevođenje dekurzivnog u ekvivalentno anticipativno ukamaćivanje i obrnuto a) ako je zadana anticipativna kamatna stopa ra, tada je ekvivalentna dekurzivna kamatna stopa rd jednaka: b) ako je zadana dekurzivna kamatna stopa rd, tada je ekvivalentna anticipativna kamatna stopa ra jednaka:

Primjer 17 - promjena načina obračuna kamata Ako je danas ulog od 8. 000 kn oročen u banci na pet godina, kolika je vrijednost tog uloga po dospijeću ako su godišnje kamate 6%, a obračun kamata je godišnji, složen i: a) dekurzivan i b) anticipativan. Napomena: oba dijela zadatka izračunajte: 1) izravno i 2) pomoću ekvivalentnih kamatnjaka.

Primjer 17 - promjena načina obračuna kamata a) P = 8. 000 kn n = 5 godina rd = 6% = 0, 06 a 1) a 2)

Primjer 17 - promjena načina obračuna kamata b) P = 8. 000 kn n = 5 godina ra = 6% = 0, 06 b 1) b 2)

Kontinuirano ukamaćivanje (eng. continuous capitalization) - poseban oblik obračuna kamata, kod kojeg se kamate obračunavaju i pripisuju glavnici neprekidno (kontinuirano) • infinitezimalna (beskonačno mala) elementarna razdoblja ukamaćivanja Formula za kontinuirano ukamaćivanje - rezultat limes procesa nad formulom za diskontinuirano ukamaćivanje, pri čemu duljina elementarnog razdoblja ukamaćivanja teži nuli (odnosno njihov broj teži u beskonačnost)

Kontinuirano ukamaćivanje Formula za konačnu vrijednost glavnice u uvjetima kontinuiranog ukamaćivanja: e - baza prirodnog logaritma (e = 2, 718281. . . ), n - broj vremenskih razdoblja na koje se odnosi kamatna stopa r (radi se najčešće o godišnjim kamatnim stopama pa tada i n predstavlja broj godina).

Primjer 18 - usporedba lukrativnosti različitih procesa ukamaćivanja Glavnica od 8. 000 kn ukamaćuje se 5 godina uz 6% dekurzivnih godišnjih kamata. Kolika je konačna vrijednost te glavnice ako je obračun kamata: a) godišnji i jednostavan, b) godišnji i složen i c) kontinuiran?

Primjer 18 - usporedba lukrativnosti različitih procesa ukamaćivanja a) P = 8. 000 t=5 r = 6% = 0, 06 b) P = 8. 000 t=5 r = 6% = 0, 06 c) P = 8. 000 t=5 r = 6% = 0, 06

Primjer 19 - kontinuirano ukamaćivanje Na nekom otoku živi 20. 000 stanovnika. Ako je procijenjeni natalitet (prosječni godišnji prirast broja stanovnika) na tom otoku 2, 8%, koliko će na njemu biti stanovnika za deset godina? P = 20. 000 stanovnika r = 2, 8% = 0, 028 n = 10 godina

Primjer 20 - kontinuirano ukamaćivanje Koliki je procijenjeni prosječni godišnji prirast u stadu ovaca, ako se taj broj prema procjenama u posljednjih 7 godina upeterostručio?