SLO PROJEKTU CZ 1 071 5 0034 0423

ČÍSLO PROJEKTU CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0423 ČÍSLO DUM 5 -Permutace bez opakování–výklad, příklady. MATERIÁLU NÁZEV ŠKOLY AUTOR TÉMATICKÝ CELEK ROČNÍK DATUM TVORBY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 Paed. Dr. Alena Chalupová Kombinatorika 2. -nástavbové studium, 4. -HŠ Prosinec 2013 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Ø Anotace: Prezentace seznámí žáky s pojmem permutace bez opakování seznámí žáky s pojmem faktoriál obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení daného učiva Metodické pokyny: výukový materiál

Kombinatorika Permutace (bez opakování).

Permutace (bez opakování). Permutací z n prvků bez opakování je každá variace n-té třídy z těchto n prvků (k = n). (tj. taková uspořádaná n-tice z n prvků, v nichž se každý prvek může vyskytovat nejvýše jednou), Permutace obsahují všechny prvky, liší se pouze jejich uspořádáním, značíme: P(n)

Odvození vzorce: Počet takových permutací počítáme ze vzorce P(n) = V(n, n) = n. (n-1). (n-2)… 3. 2. 1 = n! Pozn. : součin všech přirozených čísel od 1 do n značíme symbolem n!, čteme „en faktoriál“, pro n = 0 definujeme: 0! = 1

Poznámka: Díky této znalosti lze upravit vzorec pro počet V(k, n) :

Příklad 1 -zadání: Kolika způsoby se mohou na lavici posadit vedle sebe žáci Petr, Jirka a Karel? Vypište všechny možnosti.

Příklad 1 -řešení: 3 žáci mají obsadit 3 místa, nemohou se opakovat P(3) = 3! = 3. 2. 1 = 6 možnosti: PJK PKJ KJP KPJ JPK JKP

Příklad 2 -zadání: Určete počet všech 5 -ciferných čísel, vytvořených z číslic 1, 3, 5, 7 a 9 tak, že se číslice neopakují.

Příklad 2 -řešení: n = 5, k = n = 5 číslice se nemohou opakovat na jejich pořadí záleží P(5) = 5. 4. 3. 2. 1 = 120

Příklad 3 -zadání: Určete počet všech přirozených 6 -ciferných čísel vytvořených z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, v nichž se číslice neopakují. Kolik je takových čísel větších než 300 000?

Příklad 3 -řešení: počet číslic…. . n = 6 tvoříme šesticiferná čísla (k=6), číslice se neopakují, ale musíme odečíst čísla začínající 0 P(6) – P(5) = 6! – 5! = 5!(6 -1) = 120. 5 = 600 Taková čísla mají na 1. místě 3, 4 nebo 5, k nim přidáme pětici zbývajících číslic 3. P(5) = 3. 5! = 3. 120 = 360

Příklad 4 -zadání: Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova „KLADIVO“ tak, aby v tomto přeskupení skupina po sobě jdoucích písmen tvořila slovo a) „VODA“ b) „ VKLAD“

Příklad 4 -řešení: a) Slovo KLADIVO má 7 písmen, ve slově „VODA“ se pořadí nemění, celé slovo se chová jako 1 písmeno, tzn. že se zbývajícími 3 písmeny máme 4 písmena na 4 místa P(4) = 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 přeskupení b) Analogicky: VKLAD + 2 písmena P(3)= 3! = 3. 2. 1 = 6 přeskupení

Příklad 5 -zadání: a)Určete počet způsobů, kterými se 6 dívek a pět chlapců může postavit do zástupu. b) Kolik takových způsobů bude, mají-li všechny dívky stát na začátku?

Příklad 5 -řešení: a) Celkem 11 lidí má vytvořit zástup P(11) = 11! = 39 916 800 možností b) Na prvních 6 místech se může 6 dívek postavit P(6) =6! způsoby, za nimi 5 chlapců P(5) = 5! způsoby, celkový počet: P(6). P(5) = 6!. 5! = 720. 120 = 86 400

Příklad 6 -zadání: Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet z nich utvořených permutací 72 krát. Určete počet prvků n.

Příklad 6 -řešení: n prvků n+2 prvků P(n) = n! permutací P(n+2) = (n+2)! permutací…. 72 x víc n!. 72 = (n+2)! n!. 72 = (n+2). (n+1). n! / : n! 72 = (n+2). (n+1) 72 = n 2 +2 n +n+ 2 n 2+3 n - 70 = 0 (n-7). (n+10)=0 n 1 = 7 n 2 = -10 N

Příklad 7 -zadání: Řešte v R rovnici: log(x+1)! – log x! = 1

Příklad 7 -řešení:

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 251 s. ISBN 80 -719 -6109 -4. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80 -042 -1341 -3.

Děkuji za pozornost.