slayt 6 Teorem f a b R g

slayt 6 Teorem: f: [a, b] R , g: [a, b] R fonksiyonları [a, b] aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. c [a, b] ve k R olmak üzere:

slayt 7 Örnek: a-) b-) c-)

slayt 8 Çözüm: a-) b-) c-)

Alan Hesabı Dönel Cisimlerin Hacimleri

slayt 1 Alan Hesabı Eğrilerle sınırlı düzlemsel bölgelerin alan hesabını yaparken, aşağıdaki teoremi kullanacağız. Teorem: f: [a, b] R , f(x) fonksiyonu pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. y=f(x) eğrisi, x=a , x=b ve y=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

slayt 2 1. Sonuç: y=f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında negatif değer alıyorsa,

slayt 3 2. Sonuç: f: [a, b] R , y=f(x) fonksiyonu, aralığın bir parçasında negatif değerli, bir parçasında pozitif değerli ise,

slayt 4 Örnek 1: f(x)=3 x 2+6 x eğrisi ve Ox ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanını hesaplayalım.

slayt 5 Çözüm 1: Şekilden görülebileceği gibi, f(x)=3 x 2 +6 x=0 denkleminin kökleri 3 x(x+2)=0 x 1=-2 ve x 2=0 dır. Kökler arasında f(x)<0 olduğundan; aranan alan;

Slayt 6 Örnek 2: Aşağıdaki grafik, f(x)=lnx fonksiyonuna aittir. Buna göre, taralı alanlar toplamı S ise, S değeri nedir?

Slayt 7 Çözüm 2: Fonksiyon [1/e, 1] arasında negatif, [1, e 2] arasında pozitif değerler aldığı dikkate alınırsa, aranan alan;

Slayt 8 3. Sonuç: f: [a, b] R , g: [a, b] R integranellenebilen iki fonksiyon olsun.

Slayt 9 Bu durumda, iki eğri arasında kalan taralı alan;

Slayt 10 4. Sonuç:

slayt 11 Örnek 1: f(x)=sinx ve g(x)=cosx fonksiyonları veriliyor: a. İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan ve x=0 , x= /6 doğruları ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz. b. İki eğri arasındaki kapalı bölgelerinden birisinin alanını hesaplayınız.

slayt 12 Çözüm 1: a. f(x)=sinx , g(x)=cos(x) fonksiyonlarının grafikleri şekildeki görülmektedir. x [0, /6] aralığında cosx>sinx olduğundan;

slayt 13 b. f(x) = g(x) sinx = cosx cos ( /2 -x) = cosx x 1= /4 , x 2= 5 /4. O halde, f(x)=sinx , g(x)=cosx eğrileri arasındaki sınırlı bölgelerden birinin alanı,

slayt 14 Teorem: g: [c, d] R , x=g(y) fonksiyonu [c, d] aralığında pozitif ve integrallenebilen bir fonksiyon olsun. x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanı,

slayt 15 Örnek: Aşağıdaki şekilde, x = y 2+1 eğrisinin x=1 ile x=5 aralığındaki parçası çizilmiştir. Buna göre, taralı alan kaç br 2 dir? Çözüm: Önce integralin sınırlarını bulalım. x=1 için, 1=y 2+1 y=0 x=5 için, 5=y 2+1 y 0 olduğundan, y=2 bulunur.

slayt 16 5. Sonuç: x=g(y) fonksiyonu [c, d] aralığında negatif değerler alan integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Bu durumda; x=g(y) eğrisi, y=c , y=d , ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı;

slayt 17 Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen parabolün denklemi , x=y 22 y dir. Taralı bölgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulalım. Çözüm: y 2 -2 y=0 y 1=0 y 2=2 bulunur. Buna göre taralı alan;

slayt 18 6. Sonuç: Eğer x=g(y) fonksiyonu [c, d] aralığında hem negatif hem de pozitif değerler alıyorsa, x=g(y) eğrisi, y=c , y=d ve x=0 doğruları ile sınırlı bölgenin alanı,

slayt 19 Örnek: Aşağıdaki şekilde görülen eğrinin denklemi , x= -y. (y+1). (y-2) dir. Buna göre, taralı alanların toplamı kaç birim karedir? Çözüm: x= -y. (y+1). (y-2)=0 y 1=-1 , y 2=0 , y 3=2 bulunur. Verilen bağıntı denkleminde; -1<y<0 için, f(y)>0 olduğundan aranan alanlar toplamı;

slayt 20 7. Sonuç: x=g(y) , x=f(y) eğrileri arasında kalan y=c , y=d doğruları ile sınırlı alan;

slayt 21 Örnek: x=y 2 parabolü ile x+y=6 doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanını bulunuz. Çözüm: y 2=6 -y y 2+y-6=0 y 1 =-3 y 2 =2 bulunur.

slayt 22 Dönel Cisimlerin Hacimleri Teorem: y=f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, y=f(x) eğrisi etrafında, x=a , x=b ve Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi;

slayt 23 1. Sonuç: [a, b] aralığında integrallenebilen iki fonksiyon, y=f(x) ve y=g(x)olsun. x [a, b] için f(x) g(x) 0 ise; y=f(x) ve y=f(x) eğrileri, x=a ve x=b doğruları arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi; Örnek: f(x)=x 2 eğrisi, x=0 , x=2 doğruları ve Ox ekseni etrafından sınırlanan kapalı bölgenin Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulunuz.

slayt 24 Çözüm: Elde edilen cisim, yukarıdaki şekilde görülmektedir.

slayt 25 2. Sonuç: x=f(y) fonksiyonunun eğrisi, y=c , y=d doğruları ve Oy ekseni ile sınırlanan düzlemsel bölgenin Oy etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi;

slayt 26 3. Sonuç: y [c, d] için f(y) g(y) 0 ise; x=f(y) ve x=g(y) eğrileri ile y=a ve y=b doğruları arasında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle oluşan yeni cismin hacmi;

slayt 27 Örnek 1: y=x 2 parabolü, x=0 , y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz. Çözüm 1: y=x 2 x= y (x 0= dır. Oluşan cismin hacmi;

slayt 28 Örnek 2: x=y 2 eğrisi ve y=x 2 eğrisi arasında kalan düzlemsel bölgenin Oy ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

slayt 29 Çözüm 2: y=x 2 y=(y 2)2 y=y 4 y-y 4 =0 y=0 ve y=1 bulunur. O halde, oluşan dönel cismin hacmi; y [0, 1] da y=x 2 parabolünün oluşturduğu hacimden, x=y 2 parabolünün oluşturduğu hacim çıkartılarak bulunur.

slayt 30 Örnek 3: x+ y=1 eğrisinin koordinat eksenleri arasında kalan bölgenin, Ox ekseni etrafında 360 o döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini bulunuz.

slayt 31 Çözüm 3: y=1 - x y=1 -2 x+x dir. Eğri, eksenleri x=1 ve y=1 de keser.

Bitir