Skaitoana Procesors atmia 1 laicg atmia ievada atmia

Skaitļošana Procesors atmiņa 1

laicīgā atmiņa ievada atmiņa Procesors izvada atmiņa Programmas atmiņa 2

Piemērs: laicīgā atmiņa ievada atmiņa Procesors Programmas atmiņa izvada atmiņa aprēķināt 3

laicīgā atmiņa ievada atmiņa Procesors Programmas atmiņa izvada atmiņa aprēķināt 4

laicīgā atmiņa ievada atmiņa Procesors Programmas atmiņa izvada atmiņa aprēķināt 5

laicīgā atmiņa ievada atmiņa Procesors Programmas atmiņa izvada atmiņa aprēķināt 6

Automāts laicīgā atmiņa Automāts ievada atmiņa Procesors izvada atmiņa Programmas atmiņa 7

Dažādi automātu veidi Automātus izšķir pēc laicīgās atmiņas veida • Galīgi automāti: nav laicīgās atmiņas • Magazīnautomāti (Pushdown automata): steks • Tjūringa mašīnas: gadījuma piekļuves atmiņa 8

Galīgs automāts laicīgā atmiņa Galīgs automāts ievada atmiņa izvada atmiņa Piemērs: Vienkāršs tirdzniecības automāts (zema skaitļošanas jauda) 9

Magazīnautomāts Steks Magazīnautomāts Ielikt, izņemt ievada atmiņa izvada atmiņa Piemērs: Programmēšanas valodu kompilatori (vidēja skaitļošanas jauda) 10

Tjūringa mašīna Gadījuma piekļuves atmiņa Tjūringa mašīna ievada atmiņa izvada atmiņa Piemērs: Jebkurš algoritms (visaugstākā skaitļošanas jauda) 11

Automātu jauda Galīgs automāts Vājāki Magazīnautomāts Tjūringa mašīna Stiprāki Spēj risināt vairāk problēmu 12

Matemātiskie pamati • Kopas • Funkcijas • Relācijas • Grafi • Pierādījumu pamatprincipi • Dirihlē princips 13

Kopas Kopa ir elementu kolekcija Elements pieder/nepieder kopai 14

Kopu pieraksta veidi C = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k } C = { a, b, …, k } Galīga kopa S = { 2, 4, 6, … } Bezgalīga kopa S = { j : j > 0, un j = 2 k kādam k>0} S = { j : j ir nenegatīvs pāru skaitlis } 15

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } U A 6 2 1 7 4 10 8 3 5 9 Universālā kopa: visi iespējamie elementi U = { 1 , … , 10 } 16

Kopu operācijas A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3, 4, 5} A • Apvienošana B A U B = { 1, 2, 3, 4, 5 } • Šķēlums U A B = { 2, 3 } • Starpība A-B={1} B - A = { 4, 5 } A-B 17

• Papildinājums Universālā kopa = {1, …, 7} A = { 1, 2, 3 } 4 A 1 A = { 4, 5, 6, 7} A 2 5 6 3 7 A=A 18

{ pāra skaitļi } = { nepāra skaitļi } Naturālie skaitļi 1 nepāra 2 3 pāra 4 5 6 7 19

De Morgana likumi AUB= U A B= 20

De Morgana likumi U AUB=A B B=AUB 21

Tukšā kopa: ={} SU =S S = U S- = Universālā kopa =S -S= 22

Apakškopa A = { 1, 2, 3} U A B = { 1, 2, 3, 4, 5 } U Īsta apakškopa: A B B B A 23

Nešķeļošās kopas A = { 1, 2, 3 } A U A B = { 5, 6} B= B 24

Kopu apjoms • Galīgām kopām A = { 2, 5, 7 } |A| = 3 25

Visu apakškopu kopa (Power Set) Kopas S = { a, b, c } visu apakškopu kopa ir 2 S = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Novērojums: | 2 S | = 2|S| ( 8 = 23 ) 26

Dekarta reizinājums A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 } A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) } |A X B| = |A| |B| Vispārinot uz vairāk kā divām kopām: AXBX…XZ 27

FUNKCIJAS A definīcijas apgabals 1 2 3 B a f(1) = a b c vērtību apgabals f : A -> B 28

Attiecības R = {(x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), …} x i R yi piem. , ja R = ‘>’: 2 > 1, 3 > 2, 3 > 1 Attiecībās xi var atkārtoties 29

Ekvivalences attiecība • Refleksīva: x. Rx • Simetriska: x. Ry • Tranzitīva: x R y un Piemērs: R = ‘#‘ y. Rx y. Rz x. Rz Kas var būt # ? • x#x • x#y • x # y un y # z y#x x#z 30

Ekvivalences attiecība • Refleksīva: x. Rx • Simetriska: x. Ry • Tranzitīva: x R y un y. Rx y. Rz x. Rz Piemērs: R = ‘#‘ (vienāda pārība) • x#x • x#y • x # y un y # z y#x x#z 31

Ekvivalences klases Ekvivalences attiecībai R x ekvivalences klase ir {y : x R y} Piemērs: R = { (1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4), (3, 4), (4, 3) } 1 ekvivalences klase ir {1, 2} 3 ekvivalences klase ir {3, 4} 32

GRAFI Orientēts grafs e b Virsotne d a Šķau tne c • Virsotnes V = { a, b, c, d, e } • Šķautnes E = { (a, b), (b, c), (b, e), (c, a), (c, e), (d, c), (e, b), (e, d) } 33

Grafs ar iezīmētām šķautnēm 2 6 b 1 a 5 3 e 6 2 d c 34

Maršruts e b d a c Maršruts ir kaimiņu šķautņu virkne (e, d), (d, c), (c, a) 35

Ceļš e b d a c Ceļš ir maršruts, kurā neviena šķautne neatkārtojas Vienkāršs ceļš: ceļš, kurā neviena virsotne neatkārtojas 36

Cikls bāze 3 a 2 e b 1 d c Cikls: maršruts no kādas virsotnes (bāzes) līdz šai pašai virsotnei Vienkāršs cikls: cikls, kurā atkārtojas tikai bāze 37

Eilera cikls bāze e b d a c Cikls, kas katru šķautni satur tieši vienreiz (visas grafa šķautnes ietilpst šajā ciklā). 38

Eilera cikls 8 7 b 4 a 6 5 3 bāze e 1 2 d c Cikls, kas katru šķautni satur tieši vienreiz (visas grafa šķautnes ietilpst šajā ciklā). 39

Hamiltona cikls bāze e b d a c Vienkāršs cikls, kas satur visas virsotnes. 40

Hamiltona cikls 5 b 4 a 3 bāze e 1 2 d c Vienkāršs cikls, kas satur visas virsotnes. 41

Visu vienkāršo ceļu atrašana e b d a c sākums 42

1. solis e b d a c sākums (c, a) (c, e) 43

2. solis e b d a (c, a), (a, b) c sākums (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) 44

3. solis e b d a (c, a), (a, b) c sākums (c, a), (a, b), (b, e) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) 45

4. solis e b (c, a) d a (c, a), (a, b), (b, e) c sākums (c, a), (a, b), (b, e), (e, d) (c, e), (e, b) (c, e), (e, d) 46

sakne Koki vecāks lapa bērns Kokiem nav ciklu 47

sakne 0. līmenis 1. līmenis lapa Augstums 3 2. līmenis 3. līmenis 48

Binārais koks 49

Pierādījuma tehnikas • Pierādījums ar matemātisko indukciju • Pierādījums no pretējā 50

Matemātiskā indukcija Ir apgalvojumi P 1, P 2, P 3, … Ja zināms • ka kādam b P 1, P 2, …, Pb ir patiesi • katram k ≥ b no P 1, P 2, …, Pk patiesuma seko Pk+1 patiesums tad visi Pi ir patiesi 51

Pierādījums ar matemātisko indukciju • Indukcijas bāze Atrodam P 1, P 2, …, Pb kas ir patiesi • Indukcijas hipotēze Pieņemsim, ka P 1, P 2, …, Pk ir patiesi visiem k, kas lielāki vai vienādi ar b • Indukcijas pāreja Parādīsim, ka Pk+1 ir patiess 52

Piemērs Teorēma: Binārajam kokam ar augstumu n ir ne vairāk kā 2 n lapas. Pierādījums ar matemātisko indukciju: ar L(i) apzīmēsim lapu skaitu i-tajā līmenī L(0) = 1 L(1) = 2 L(2) = 4 L(3) = 8 53

Vēlamies pierādīt: L(i) ≤ 2 i • Indukcijas bāze L(0) = 1 (koka sakne) • Indukcijas hipotēze Pieņemsim, ka L(i) ≤ 2 i visiem i = 0, 1, …, k • Induktīvā pāreja jāparāda, ka L(k + 1) ≤ 2 k+1 54

Induktīvā pāreja k k+1 No indukcijas hipotēzes: L(k) ≤ 2 k 55

Induktīvā pāreja k L(k) ≤ 2 k k+1 L(k+1) ≤ 2 * L(k) ≤ 2 * 2 k = 2 k+1 56

Pierādījums no pretējā Vēlamies pierādīt, ka apgalvojums P ir patiess • pieņemam, ka P ir aplams • nonākam pie pretrunas • tādējādi, apgalvojumam P jābūt patiesam 57

Piemērs Teorēma: nav racionāls skaitlis Pierādījums: Pieņemam pretējo, ka ir racionāls skaitlis = n/m n un m nav kopīgi dalītāji, kas lielāki par 1. Parādīsim, ka tas nav iespējams. 58

= n/m 2 = n 2 Tādējādi, n 2 ir pāra skaitlis 2 m 2 = 4 k 2 m 2 = 2 k 2 n ir pāra skaitlis n=2 k m ir pāra skaitlis m=2 p Tādējādi, m un n ir kopīgs dalītājs 2. Pretruna! 59

Dirihlē princips 60

dūjas būri 61

Kādā būrī būs vismaz divas dūjas 62

dūjas. . . būri. . . 63

Dirihlē princips dūjas būri Vienmēr atradīsies būris ar vismaz divām dūjām . . . 64

Piemērs: Pierādīt, ka no patvaļīgiem trim veseliem skaitļiem var izvēlēties divus tā, ka to summa dalās ar 2. Divi “būri” – pāra un nepāra skaitļi 2 n+2 m = 2(n+m) (2 n+1)+(2 m+1)=2(n +m+1) 65

Dirihlē princips (variācija) dūjas būri Vienmēr atradīsies būris ar vismaz k+1 dūju . . . 66

Piemērs: Pierādīt, ka no patvaļīgiem pieciem veseliem skaitļiem var izvēlēties trīs tā, ka to summa dalās ar 3. 67

Trīs grupas (“būri”) – skaitļi pēc to atlikuma dalot ar 3. 1. variants – kāda no grupām ir tukša. No tā seko, ka kādā no atlikušajām grupām ir trīs skaitļi. Tie arī der, jo 3 m+3 n+3 k = 3 p (3 m+1)+(3 n+1)+(3 k+1) = 3(p+1) (3 m+2)+(3 n+2)+(3 k+2) = 3(p+2) 68

2. variants – katrā no grupām ir vismaz viens skaitlis. Izvēlamies pa vienam skaitlim no katras grupas: 3 m+(3 n+1)+(3 k+2) = 3(p+1) QED. 69

1. mājas darbs 70