Sistemi di riferimento Dal De Rerum Natura di

Sistemi di riferimento Dal “De Rerum Natura” di Lucrezio: La nave da cui siamo trasportati, si muove, mentre sembra star ferma; Qua vehimur navi, fertur, cum stare videtur; quella che rimane immobile all'ormeggio, si crede che proceda oltre. quae manet in statione, ea praeter creditur ire. E sembra che a poppa fuggano colline e pianure et fugere ad puppim colles campique videntur, oltre le quali conduciamo la nave e con le vele voliamo. quos agimus praeter navem velisque volamus. Gli astri sembrano tutti restare immobili, fissi Sidera cessare aetheriis adfixa cavernis alle eteree cavità, e tuttavia son tutti in assiduo movimento, cuncta videntur, et adsiduo sunt omnia motu, giacché, dopo esser sorti, rivedono i lontani tramonti, quandoquidem longos obitus exorta revisunt, quando hanno percorso il cielo col loro corpo lucente. cum permensa suo sunt caelum corpore claro. E il sole e la luna parimenti sembra che rimangano solque pari ratione manere et luna videtur immobili, essi che il fatto stesso mostra in movimento. in statione, ea quae ferri res indicat ipsa. La descrizione del moto dipende dal sistema di riferimento scelto !!! Un sistema di riferimento è costituito da un insieme di corpi posti a distanze relative fisse Una descrizione matematica del sistema di riferimento si ottiene introducendo un sistema di coordinate che permettono di esprimere la posizione dei punti dello spazio rispetto agli oggetti di riferimento

Coordinate cartesiane nel piano y P 2 P O P 1 y x x Ø Si fissa un’origine e si introduce una coppia di assi cartesiani ortogonali x e y Ø Le coordinate (x, y) del punto P sono date dai segmenti OP 1 e OP 2

Coordinate polari nel piano P r φ 0 asse polare Ø Si fissano un’origine e un asse polare Ø Le coordinate (r, φ) di un punto sono la distanza r del punto dall’origine e l’angolo φ che la retta OP forma con l’asse polare Ø le coordinate polari variano nei range 0 ≤ r <+∞ e 0≤φ<2π Ø l’origine ha coordinata r=0 e coordinata φ non definita

Relazioni fra coordinate polari e cartesiane y P r y φ 0 x x ≡ asse polare Assumendo le origini coincidenti e che l’asse polare coincida con l’asse x si hanno le relazioni seguenti:

Coordinate cartesiane nello spazio z P 3 P z y P 1 x x O P 2 y P’ Ø Si fissano un’origine O ed una terna destrorsa di assi ortogonali x, y, z Ø Le coordinate (x, y, z) del punto P sono date dai segmenti OP 1 , OP 2 e OP 3

Coordinate polari nello spazio (sferiche) asse polare P piano polare θ O φ r Ø Si fissano un’origine, un asse polare ed un semipiano polare, delimitato dall’asse polare Ø Le coordinate polari (r, θ, φ) di un punto P sono il modulo r del raggio vettore OP, l’angolo θ che OP forma con l’asse polare (zenith) e l’angolo φ che il semipiano contenente P e l’asse polare forma con il semipiano polare (azimuth) Ø le coordinate polari hanno range 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ θ ≤π e 0 ≤ φ < 2π Ø i punti dell’asse polare hanno coordinata θ=0 (semiasse positivo) o θ=π (semiasse negativo) e coordinata φ non definita Ø L’origine ha coordinata r=0, mentre θ e φ non sono definite

Coordinate polari e coordinate cartesiane z P z θ x x O φ y Assumendo che l’asse z coincida con l’asse polare ed il piano xz sia il piano polare si hanno le relazioni seguenti: r θ z K y y

Coordinate cilindriche asse polare P’ r P piano polare z O φ r Ø Si fissano un’origine, un asse polare ed un semipiano polare, delimitato dall’asse polare Ø Le coordinate cilindriche (r, φ, z) di un punto P sono la distanza r di P dal piano polare (PP’), l’angolo φ che il semipiano contenente P e l’asse polare forma col semipiano polare e la distanza z dall’origine della proiezione P’ di P sull’asse polare Ø Le coordinate cilindriche variano nei range 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ φ < 2π , -∞ < z < +∞ Ø I punti dell’asse polare hanno coordinata r=0 e coordinata φ non definita Ø L’origine ha coordinata r=0, φ non definita e z=0

Coordinate cilindriche e coordinate cartesiane z z x x O φ r y P z y y Assumendo che l’asse z coincida con l’asse polare ed il piano xz sia il piano polare, la coordinata z è la stessa. Per le altre coordinate si hanno le relazioni seguenti: