Sistemi di Numerazione Numero e Numerale 5 V

Sistemi di Numerazione

Numero e Numerale 5 V Numerale: E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli. Numero: Entità astratta; idea che si ha della quantità.

Che cos'è un Sistema di Numerazione ? Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e principi, che si usano per rappresentare correttamente i numeri. Fra i principi elenchiamo: 1. Principio dell' Ordine 2. Principio della Base 3. Principio posizionale

1. Principio dell' Ordine Tutte le cifre in un numerale, hanno un ordine, per convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra. Esempio: 568 1° Ordine 2° Ordine 3° Ordine Osservazione: Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra, il posto è contato da sinistra a destra

2. Principio della Base Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo di come si devono raggruppare le unità. Esempio: Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6: 23(6) = 15 Gruppi Unità che avanzano

Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario ( Base 5 ) ? Nel sistema “Quinario”, dobbiamo raggruppare di 5 in 5. 40(5) = 20 Gruppi Unità che avanzano

Come rappresentare un numero in un'altra base ? Per rappresentare un numero in un sistema differente dal decimale, si usa il metodo delle: “Divisioni Successive” Esempio: Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 ) 243 5 Allora: 7 34 6 7 4 243 = 465(7)

La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante cifre si possono usare nel sistema: Base Sistema Cifras que emplea 2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Quaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Eptale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Ottale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Endecimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A 12 Duodecimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B A = 10 B = 11

3. Principio posizionale: In un numerale tutte le cifre hanno un ”valore posizionale”, vediamo un esempio: 457 Unità = 7. 1 = 7 Decine = 5. 10 = 50 Centinaia = 4. 100 = 400 Osservazione: La somma dei valori posizionali, ci dà il numero. 400 + 50 + 7 = 457

Scrittura polinomiale nel sistema decimale Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori posizionali delle sue cifre. Esempi:

Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un altro sistema di numerazione Esempio: 4357 (9) = 4. 9 3 + 3. 9 2 + 5. 9 + 7. 1 (cioè 7. 9 0) 9 1 3 9 2 9

Altri esempi: 3 2 2143 (5) = 2. 5 + 1. 5 + 4. 5 + 3 2 124 (6) = 1. 6 + 2. 6 + 4 2 346 (8) = 3. 8 + 4. 8 + 6 3 2 23 A 5(11) = 2. 11 + 3. 11 + 10. 11 + 5 54 (8) = 5. 8 + 4

Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un numerale qualsiasi a quello equivalente nel Sistema Decimale Ejemplos: 3 2 4521 (7) = 4. 7 + 5. 7 + 2. 7 + 1 = 4. 343 + 5. 49 + 14 + 1 = 1632 2 124 (5) = 1. 5 + 2. 5 + 4 = 1. 25 + 10 + 4 = 39 64 (8) = 6. 8 + 4 = 52

In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei numerali con base incognita Esempi: Se 2 x 3 y (5) 3 2 = 2. 5 + x. 5 + 3. 5 + y = 2. 125 + x. 25 + 15 + y = 265 + 25 x + y Allora 352 xyz (n) = 3. n 2 + 5. n + 2 (a) = x. a 2 + y. a + z 2 abc (x) = 2. x 3 + a. x 2 + b. x + c

Alcuni Concetti conclusivi Numerale Palindromo (Bifronte) Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra, se legge come da sinistra a destra. Esempi: 44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321 In generale, con simboli letterali, si rappresentano così: aa ; abba ; abccba ; ……. Cifra Significativa Si chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema decimale le cifre significative sono: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9

Esercitazion i

Esercizio 1: Se: ab + ba = 132 , calcolare (a+b). Scomponiamo polinomialmente: (10 a + b) + (10 b + a) = 132 Sommiamo i termini simili: 11 a + 11 b = 132 Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11: a + b = 12 Risposta.

Esercizio 2: Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma delle sue cifre? . Se il numerale è di due cifre, allora sarà: ab Dalle informazioni: ab = 4 ( a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: 10 a + b = 4 a + 4 b 6 a = 3 b 2 a = b 1 2 2 4 ab = 12 3 4 6 8 ab = 36 ab = 24 ab = 48 Risposta: Ci sono 4 numerali di due cifre che soddisfano le condizioni date

Esercizio 3: Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre. Se il numerale inizia con 6, allora sarà: 6 ab Per i dati: 6 ab = 55 ( 6+a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: 600 + 10 a + b = 330 + 55 a + 55 b Sommiamo i termini simili e semplifichiamo: 270 = 45 a + 54 b 30 = 5 a + 6 b 0 6 5 0 6 ab = 605 6 ab = 660 2 Risposte.

Esercizio 4: Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a destra, il numerale aumenta di 2871. Trovate il numerale. Se è un numerale di due cifre: ab Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo: Però: ab 00 = ab. 100 = 100. ab Perciò l'aumento è: Allora: 100 ab – ab = 99. ab = 2871 ab = 29 Risposta. ab 00

Esercizio 5: Se: abcd = 37. ab + 62. cd , calcolare (a+b+c+d) abcd = ab 00 + cd = 100. ab + cd Sostituendo, abbiamo: 100. ab + cd = 37. ab + 62. cd 63. ab = 61. cd ab cd = 61 63 Allora: ab = 61 y cd = 63 Di conseguenza: a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16 Risposta.

Esercizio 6: 13 a 0 (4) = 120 Calcolare il valore di “a”, in: Convertiamo 120 nel sistema quaternario 120 0 4 30 2 4 7 4 3 1 120 = 1320(4) Sostituendo ad a il 2 abbiamo: 13 a 0 (4) = 1320 (4) a = 2 Risposta.

Esercizio 7: Calcolare il valore di “a”, in: 2 a 2 a (7) = 1000 Scomponiamo polinomialmente 3 2 2. 7 + a. 7 + 2. 7 + a = 1000 2. 343 + a. 49 + 14 + a = 1000 686 + 49 a + 14 + a = 1000 700 + 50 a = 1000 50 a = 300 a = 6 Risposta

Esercizio 8: Se i numerali: n 23(m) ; p 21 (n) ; n 3 m(6) y 1211(p) Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p. Sicuramente: BASE > CIFRA n 23(m) m > n y m > 3 p 21(n) n > p y n > 2 n 3 m(6) 6 > n y 6 > m 1211(p) p > 2 Ordinando, si ha: 6 > m > n > p> 2 5 4 3 Risposte.

Esercizio 9: Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di base 6. Il maggior numero di tre cifre di base 6 è: 555(6) Trasformandolo in base 10: 2 555(6) = 5. 6 + 5 = 180 + 30 + 5 = 215 Adesso nel sistema ottale (base 8): 215 7 8 26 2 8 3 555 (6) = 215 = 327(8) La cifra di ordine minore è 7