Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo LTI Representacin

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI) Representación de señales mediante impulsos Suma de convolución Integral de convolución

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Sistemas LTI Discretos: La suma de convolución Representación de señales discretas con impulsos La idea fundamental de visualizar cómo el impulso unitario discreto se puede usar para construir cualquier señal discreta consiste en pensar en una señal discreta como una secuencia de impulsos individuales. Para ver la forma en que esta idea intuitiva puede transformarse en una representación matemática, considere la señal x[n] mostrada en la figura 2. 1(a). En las partes restantes de esta figura hemos dibujado cinco secuencias de impulso unitario desplazadas en el tiempo y escaladas, donde el escalamiento de cada impulso es igual al valor de x[n] en el instante particular en que ocurre la muestra unitaria. Por ejemplo,

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Por tanto, la suma de las cinco secuencias en la figura es igual a x[n] para -2 ≤ n ≤ 2. De manera más general, si incluimos impulsos adicionales desplazados y escalados, podemos escribir Para cualquier valor de n, sólo uno de los términos del miembro derecho de la ecuación (2. 1) es diferente de cero, y el escalamiento asociado con ese término es precisamente x[n]. Al escribir esta sumatoria en una forma más compacta, tenemos Esto corresponde a la representación de una secuencia arbitraria como una combinación lineal de impulsos unitarios desplazados δ[n – k], donde los pesos en esta combinación lineal son x[n]. La ecuación (2, 2) se llama propiedad de selección del impulso unitario discreto. Puesto que la secuencia δ[n - k] es diferente de cero sólo cuando k = n, la sumatoria del lado derecho de la ecuación (2. 2) "selecciona" a través de la secuencia de valores de x[k] y mantiene únicamente el valor que corresponde a k = n.

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Note que la ecuación (2. 6) expresa la respuesta de un sistema LTI a una entrada arbitraria en términos de la respuesta del sistema al impulso unitario. De aquí se desprende que un sistema LTI se caracteriza completamente por su respuesta a una sola señal, es decir, su respuesta al impulso unitario. La interpretación de la ecuación (2. 6) es similar a la que dimos para la ecuación (2. 3), donde, en el caso de un sistema LTI, la respuesta debida a la entrada x[k] aplicada en el tiempo k es x[k]h[n - k]; es decir, es una versión desplazada y escalada (un "eco") de h[n]. AI igual que antes, la salida real es la superposición de todas estas respuestas.

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo La interpretación de la ecuación (2. 29) es similar a aquella de la ecuación (2. 3) para el caso discreto. En particular, considere la figura 2. 15, la cual es la contraparte continua de la figura 2. 2.

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Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo La interprelación gráfica de la convolución continua y la discreta es de un valor considerable para visualizar la evaluación de las integrales y sumas de convolución.

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