SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONE S Alejandro Camblor Fernndez

SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONE S Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís

ÍNDICE ü Inecuaciones lineales de dos incógnitas. . . . ü Sistemas de inecuaciones lineales. . . . . ü Problemas textuales ü de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato). . . ü de programación lineal (2º bachillerato). . . .

1/4 La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano. Los pasos a seguir para resolverla son:

2/4 Resuelve inecuación: Represento la recta: la Despejo la variable y: Tabla de valores: x y 1 -1 3 -6 Elijo el punto (0, 0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0, 0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución.

3/4 Algunas sencillas: inecuaciones son Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes. d b Asocia cada solución e inecuación c con su a

4/4 Resuelve inecuaciones: las Asocia cada inecuación con su solución d c b a

1/5 La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe). Los pasos a seguir para resolverla son:

2/5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1 er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: x y 1 4 -2 -5 Elijo el punto (2, 2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (2, 2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

3/5 Resuelve el inecuaciones: sistema de 1 er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: x y 2 1 -2 3 Elijo el punto (0, 0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0, 0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

4/5 Resuelve el inecuaciones: sistema de 1 er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación 3 er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores

5/5 Resuelve los sistemas de inecuaciones: Asocia cada sistema con su solución d a c b

1/9 Problemas de texto con inecuaciones Los pasos a seguir para resolverlo son:

2/9 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar? 1 er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones Tarta Cantida d Azúcar (kg) Huevos (u. ) Chocolate x 0’ 5 x 5 x Manzana y 1 y 6 y 9 60 Disponible 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: x y Elijo el punto (0, 0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 2 8 6 6 Como el punto (0, 0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

3/9 3 er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: x y Elijo el punto (0, 0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 6 5 12 0 Como el punto (0, 0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

4/9 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)

5/9 Resuelve los problemas: a)Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? b)Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? d)ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? Asocia cada problema con su solución d a b c

6/9 Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos inecuaciones: las Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

7/9 Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? Definimos las incógnitas: Planteamos inecuaciones: las Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

8/9 Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos inecuaciones: las Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

9/9 ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? Definimos las incógnitas: Planteamos inecuaciones: las Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

1/6 Problemas de programación lineal Los pasos a seguir para resolverlo son:

2/6 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima? 1 er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones Tarta Cantida d Azúcar (kg) Huevos (u. ) Chocolate x 0’ 5 x 5 x Manzana y 1 y 6 y 9 60 Disponible La función objetivo es la queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible:

3/6 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: x y Elijo el punto (0, 0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 2 8 6 6 Como el punto (0, 0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 3 er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: x y Elijo el punto (0, 0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 6 5 12 0 Como el punto (0, 0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

4/6 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas). 6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo El vector de la función objetivo es: Se dibuja desde el origen (0, 0) hasta el punto (-5, 4).

5/6 7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado. Los puntos (x, y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo. Se observa que el punto (6, 5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema. SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €.

6/6 Resuelve los problemas: a)Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio? b)Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’ 19 € el tipo A y a 0’ 89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta? c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo? d)ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar? a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8. 400 €. b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’ 40 €. c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5. 100 €. d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2. 000 €.