Sistema Formal n Um Sistema Formal para a

Sistema Formal n Um Sistema Formal para a lógica proposicional é uma 2 -tupla < L, R >, onde: L: linguagem proposicional R: conjunto de regras de inferências

Derivação de uma fórmula n n Representação: ├ Uma derivação (ou prova, ou demonstração) de uma fórmula a partir de um conjunto de fórmulas (premissas), é uma seqüência < 1, 2, 3, . . . , n> de fórmulas, tal que: n 1. = n n 2. Cada , 1 i n, pode ser: i n Uma premissa, n Uma hipótese ou n Obtida de fórmulas anteriores da seqüência pela aplicação de uma regra de inferência.

Derivação de uma fórmula n Se é derivada no Sistema Formal a partir de 0(zero) premissas, então, é dito ser um Teorema do Sistema. ├ n Um teorema é uma fórmula para a qual existe uma prova.

Exemplos: n n 1) ├ P (P v Q) 1. | P 2. | P v Q 3. P (P v Q) H p/ PC 1 v. I 1 -2 PC

Exemplos: n n n 2) ├ P ((P Q) 1. | P 2. | | P Q 3. | | Q 4. | (P Q) Q 5. P ((P Q) H p/ PC 1, 2 MP 2 - 3 PC 1 - 4 PC

Exemplos: n n n n n 3) ├ P ↔ ~~ P 1. | P 2. | | ~P 3. | | P ^ ~P 4. | ~~P 5. P ~~P 6. | ~~P 7. | P 8. ~~P P 9. P ↔ ~~P H (p/ PC) H (p/ RAA) 1, 2 ^I 2, 3 RAA 1 -4 PC H (p/ PC) 6 ~E 6 -7 PC 5, 8 ↔ I

Exemplos: n n n 4) ├ P P 1. | P 2. P P H (p/ PC) 1 -1 PC

Exemplos: n n n 5) ├ (P Q) (~Q ~P) 1. | P Q 2. | | ~Q 3. | | ~P 4. | ~Q ~P 5. (P Q) (~Q ~P) H (p/ PC) 1, 2 MT 2 -3 PC 1 -4 PC

Um Outro Sistema Formal: n Existem infinitos Sistemas Formais. Vamos chamar o que estamos vendo de S 1 = <L, R> L: linguagem proposicional R: conjunto das regras de inferência

Um Outro Sistema Formal: n n Superficialmente veremos um outro sistema formal para a lógica proposicional (vamos chama-lo S 2). Esse é o Sistema de Hilbert O nosso objetivo será, através de S 2 observar uma outra formulação da Lógica Proposicional.

Sistema Hilbert n Características de S 2: n n Usa apenas dois conectivos lógicos ~ e → Ex: Para escrever P ^ Q escreve-se ~(P→~Q) Usa apenas uma regra de inferência – Modus Ponens (MP)

Sistema Hilbert n (Características) É formado pela 3 -tupla {L, A, R} S 2 = < L, A, R >, onde: L: Linguagem Proposicional R: { MP } A: Conjunto de todas as fórmulas obtidas dos três seguintes esquemas de axiomas:

Sistema Hilbert (Axiomas) A 1: ( ) A 2: ( ( )) (( ) ( )) A 3: (~ ~ ) ((~ ) )

Sistema Hilbert n A derivação (ou prova) de uma fórmula em S 2 é feita da mesma forma que em S 1, onde usa-se apenas os três axiomas, e uma regra de inferência, MP (Modus Ponens).

Exemplos n n 1 - Mostre nos dois sistemas a derivação do teorema: ├ α α para qualquer fórmula α No S 1: 1. | α 2. α α ├α α H p/ PC 1 -1 PC

Exemplos n Padrões que foram usados na derivação ├ α α no S 2 : n Em 1 e 2 os axiomas A 2 e A 1, com o padrão: =α =α n Em 4 usamos o axioma A 1 com o padrão: =α =α

Exemplos 2 - Prove ├ (~ ) para qualquer No S 1: 1. | ~ 2. | | ~ 3. | | 4. | | ~ ^ 5. | ~~ 6. | 7. (~ ) H (p/ PC) H (p/ RAA) 1, 2 MP 2, 3 ^I 1 -4 RAA 5 ~E 1 -6 PC

Exemplos n Padrões que foram usados na derivação ├ (~ ) no S 2 : Em Em n 1. 2. 4. 6. Axioma A 2 Axioma A 1 Axioma A 3 ( = ~ ; = (~ ~ ); = ~ ) ( = ~ ; = (~ ~ ) ( = ~ ; = ~ ) ( = ; = ) Observar que S 1 e S 2 são “equivalentes”.

Teoremas da Coerência e Completude n Um Sistema Formal S é coerente (sound) e completo se: ├ Derivação se e somente se |═ ↔ implicação lógica

Teoremas da Coerência e Completude n Teorema 1: (Sondness ou coerência) Se |-- então |= Ou seja, todo teorema (derivação) é uma tautologia (fórmula válida) n Teorema 2: (completude) Se |= então |-- Ou seja, toda tautologia (formúla válida) é um teorema (derivação)

Teoremas da Coerência e Completude n Esses teoremas mostram que temos duas maneiras independentes, mas mutuamente consistentes de definir a noção de verdade lógica: n n Através da noção de teorema (sintaticamente) Através da noção de tautologia (semânticamente)

Semântica da Lógica Proposicional n Vimos até agora uma formulação sintática (noções puramente sintáticas) da lógica proposicional: n n n Linguagem Regras, teoremas, provas Vamos ver agora uma formulação funcional da Lógica Proposicional (semântica): n n Linguagem Função/atribuição de valores-verdade (Verdadeiro ou Falso)