Sistema de equaes lineares Caracterizao w Um sistema

Sistema de equações lineares

Caracterização w Um sistema de m equações a n variáveis é é chamado sistema de equações lineares. Ele tem a forma genérica seguinte:

Solução w Um conjunto de n valores (x 1, . . . , xn) verificando as equações do sistema é uma solução do sistema. w Um sistema cujo os valores dos coeficientes bn são iguais a 0 é um sistema homogêneo:

Caracterização matricial w O sistema pode ser escrita sobre a forma de um produto de matrizes: onde as matrizes são definidas por:

Combinação linear w A combinação linear de equações é a soma dessas equações multiplicado por coeficientes reais: n a 1 eq 1+a 2 eq 2+. . . +aneqn onde ai¹ 0, iÎ{1, . . . , n} é uma combinação linear de eq 1, eq 2, . . . , eqn. w Em relação com as variáveis envolvidas nas equações, uma equação linear, combinação linear entre as outras equações não introduz novas relações entre as variáveis.

Sistemas equivalentes w Num sistema de equações lineares independentes, se uma equação é trocada por uma combinação linear dela mesma e outras equações do sistema, o novo sistema é equivalente o primeiro. Os dois sistemas têm a mesma solução.

Sistemas equivalentes w Num sistema, se uma equação é combinação linear das outras, ele é equivalente ao sistema sem essa equação:

Equações e variáveis w Um sistema de m equações a n variaveis: n n Tem uma solução unica se ele pode ser reduzido a um sistema de n equações independentes a n variáveis. Tem uma infinidade de soluções, se ele é equivalente a um sistema de m’ equações independentes com m’<n

Determinante w Um determinante é um número associado a um matriz quadrada (mesmo número de linha e coluna). w A definição do determinação envolve a noção de permutação. O determinante de uma matriz A (aij é o coeficiente da i-ésima linha e j-ésima coluna) é, onde an são elementos distintos de (1, . . . , n) e k é o número de permutações para passar de (1, . . . , n) para (a 1, . . . , an):

Calculo do determinante, caso 2 x 2 e 3 x 3 w O calculo do determinante 2 x 2: w O calculo do determinante 3 x 3 é feito da forma seguinte: w Det A= =

Determinante, caso nxn w O desenvolvimento de Laplace permite o calculo do determinante da forma seguinte: Onde Dij é o determinante da submatriz obtido de A retidandose a i-ésima linha e j-ésima coluna e multiplicado por (-1)i+j. O número i pode ser qualquer número de {1, . . . , n}. Esse princípio funciona para qualquer linha ou coluna.

Determinante, caso nxn w O calculo do determinante pode ser implementado com um procedimento recursivo. O calculo de um determinante nxn é determinado a partir de determinantes (n-1)x(n-1). w O preço do cálculo de um determinante é elevado. Considerando a formula da definição, são necessárias n!(n-1)+(n!-1) ou seja n!n-1 operações para um determinante de dimensão n: (n!-1) somas de n!(n-1) produtos, sem considerar os elementos anexos necessários (posição de memoria, sinal, etc).

Determinante, um algoritmo w O calculo é feito usando os coeficientes da primeira linha. Determinante(m) // m: matriz se dim(m)=2 resultado=m[0][0]. m[1][1]-m[1][0]. m[0][1] se dim(m)=1 resultado=m[0][0] Se dim(m)>2 resultado=0 i de 1 a dim(m) construír a submatriz de m sem a primeira linha e a i-ésima coluna (subm) resultado=resultado+(-1)i. m[0][i]. Determinante(subm)

Determinante e sistema w Se um sistema de n equações lineares a n variáveis tem um determinante diferente de 0: det A¹ 0, as equações do sistema são independentes. w Nesse caso, o sistema tem uma solução única. Em caracterização matricial, essa solução escreve-se: onde A-1 é a matriz inversa da matriz A.

Determinante e matriz inversa w Se o determinante de uma matriz é não nulo, a matriz inversa pode ser calculada. Onde Dij é o determinante da matriz formada a partir da matriz A retirando a i-ésima linha e j -ésima coluna.

Formula de Cramer w Pela formula de Cramer, se o determinante do sistema é não nulo, o valor solução da variável xi é dado pela formula seguinte: w O numerator da fração é o determinante da matriz formada da matriz A do sistema onde a coluna dos coeficientes de xi são subsituídos pelos termos constantes bi.

Exemplo

Custo da formula de Cramer w Para resolver um sistema de n equações a n variáveis, pela formula de Cramer precisam ser calculados n+1 determinante de ordem n (n linhas, n colunas). w O custo da resolução desse sistema é de: (n!n-1)(n+1) operações. Para 10 variaveis: 399167989

Eliminação Gaussiana w A eliminação Gaussiana usa a propriedade de equivalência de sistema para eliminar progressivamente as variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.

Sistema triangular w No novo sistema, podemos determinar: w O sistema é chamado sistema triangular e a matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos coeficientes não nulos.

Eliminação Gaussiana e determinante w O determinante de um sistema triangular é o produto dos termos da diagonal. w Em um determinante, adicionar os termos (ou os termos multiplicado por um fator) de qualquer linha (resp. coluna) a qualquer outra linha (resp. coluna) não muda o valor do determinante.

Método w Escolhe uma das equações (i-ésima) com o coeficiente (ai 1) de x 1 não nulo. Esse coeficiente é chamado de pivot (ou pivot de Gauss). w Adicionar a cada uma das equações restantes (j, j¹i), a primeira equação multiplicada por: -aj 1/ai 1 w Aplicar de novo o algoritmo com o sub-sistema de n -1 variáveis ate chegar a uma equação de uma variável.

Exemplo

Matriz w O processo pode ser aplicado com matrizes. Nesse caso, se considera a matriz aumentada com as constantes da matriz do sistema: w E as combinações lineares entre as equações são feitas entre as linhas de coeficientes.

Exemplo com matriz

Exercício Solução: x 1=-1, x 2=0, x 3=1 e x 4=2

Custo da eliminação Gaussiana w Para eliminar o primeiro termo das n-1 equações de um sistema a n equação, precisamos de n-1 divisões, (n-1)(n+1) multiplicações e (n-1)(n+1) adições: 2 n 2+n-3. Para eliminar os termos ate a ultima equação precisamos de operações, da ordem de 2 n 3/2. w A resolução do sistema triangular necessita: n divisões, n(n-1)/2 multiplicações e n(n-1)/2 adições.

Velocidade da resolução w Uma das razões de escolher uma algoritmo no lugar de um outro é em geral baseado sobre a relação entre velocidade e precisão. w No caso da resolução de sistemas lineares, a formula de Cramer precisa de muito mais operações que a eliminação Gaussiana.

Estratégia de pivoteamento w Resolução do sistema seguinte usando sucessivamente 0. 004 e 0. 423 como pivot e calculando usando somente 4 algarismos significativos: w A solução do sistema e (10, 1). Com 0. 004 como pivot achamos (12. 5, 0. 9994) e com 0. 423 achamos (10, 1).

Estratégia de pivoteamento w No caso geral, para diminuir os erros de arredondamento, é preferível usar como pivot o maior coeficiente em valor absoluto da variável a eliminar nas equações do sistema.

Eliminação Gaussiana, algoritmo w n: numero de variáveis, m: matriz aumentada w Eliminacao_gauss(n, m) n para i de 1 a n para j de i a n, procure o coeficiente maior em valor absolute: linha max l troca a linha max com a linha i de m l para j de i+1 a n, para k de i a n+1, subtrai m[j][i]/m[i][i] de m[j][k] l

Soluções particulares w Certas situações precisam de determinar as soluções de sistemas onde somente os termos constantes (bi) mudam: n solução de: n e solução de:

Soluções particulares w Nesses casos, é mais eficiente de triangular o sistema uma vez e resolve-lo com os diversos valores dos termos constantes (bi). Nesse caso uma segunda matriz é necessária para calcular os termos constantes do sistema triangular em fonções dos coeficientes de origem.

Soluções particulares w Nesse caso, a matriz coluna dos termos constantes é considerada como o produto da matriz identidade como essa matriz coluna. As transformações operadas pela triangularização serão aplicadas à matriz identidade e não à matriz coluna dos termos constantes.

Matriz Inversa w Se o processo de transformação do sistema continua ate obter um sistema cuja matriz é a matriz identidade, a matriz de transformação dos termos constantes é a matriz inversa da matriz do sistema inicial:

Exemplo

Erros de aproximação w Os erros de arredondamento têm um papel importante na solução de sistemas de equações lineares, principalmente por conto do grande número de calculo a ser efetuados. w A um efeito de “condensação pivotal” no caso da eliminação gaussiana. Cada calculo depende dos resultados anteriores.

Avaliação dos erros w Uma forma de avaliar o erro é trocar as variáveis nas equações pelos valores determinados e comparar os resultados com os termos constantes: Sistema: Trocando nas equações: soluções:

Avaliação dos erros w Um pequeno erro sobre os resultados conduz a considerar que os valores das variáveis determinados são boas aproximações dos resultados exatos. w Existem casos nos quais não podemos afirmar isso.

Sistema mal condicionado w Considerando o sistema seguinte: w Uma solução como x 1=100, x 2=-98 é uma solução aceitável do ponto de vista do critério precedente, porém ela é longe da solução exata (70, -68).

Sistema mal condicionado w Um sistema de equações que pode ser satisfeito por soluções erradas é um sistema mal condicionado. w. Do ponto de vista gráfico, no caso da dimensão 2, o sistema é mal condicionado quando as duas retas representando as equações são próximas:

Sistema mal condicionado w Um sistema é mal condicionado quando seu determinante é próximo de zero. w O que significa, um determinante próximo de zero ? Como multiplicando qualquer equação por um fator não muda a solução do sistema, enquanto multiplica o determinante por esse fator, falar de um valor pequeno do determinante não significa nada.

Sistema mal condicionado w Para determinar se um sistema é mal condicionado, existem duas possibilidades: n n O determinante normalizado é próximo de 0: cada linha é dividida por um fator de proporcionalidade, raiz quadrada da soma dos quadrados coeficientes da linha. Se uma pequena mudança de um termo constante do sistema provoca uma mudança importante no resultado, o sistema é mal condicionado.

Método iterativo de Gauss-Seidel w O sistema é transformado de tal forma que cada equação pode dar o valor de uma variável (no caso que um dos aii é nulo, o sistema pode ser reordenado para ter a condição: aii, i={1, . . . , n}):

Método iterativo de Gauss-Seidel w Em seguida, a cada passo e a partir de valor iniciais de (x 2, . . . , xn), novos valores de (x 1, . . . , xn) são calculados. w Quando converge, esse processo pode exigir muitas iterações para chegar a um resultado razoável. Ele é aconselhado somente quando o sistema é mal condicionado ou quando muitos coeficientes do sistema são nulos (convergência rápida)

Método iterativo de Gauss-Seidel w O algoritmo pode ser parado quando: n n É atingido um número de iteração dado. A diferencia entre dois valores sucessivas dos xi é menor que um valor limito: e. Critério particularmente delicado a manipular (convergência muito lenta).

Método iterativo de Gauss-Seidel w Se o método não converge, ele pode ser aplicado mudando a ordem das equações (ou seja mudando as equações determinando cada xn). w. Existe um teorema que garante a convergência: Se o termo da diagonal principal é maior em valor absoluta que a soma dos valores absolutos dos outros termos da linha do coeficiente e que a soma dos valores absolutos dos outros termos da coluna do coeficiente, a convergência é garantida.