Sistem Tunggu Sejarah Teori Antrian Sejarah dari antrian

Sistem Tunggu

Sejarah Teori Antrian Sejarah dari antrian kembali ke jaman primitif

Komponen-komponen Sistem Antrian Service System Servers Queue Arrivals Departures Buffer

Contoh Sistem Antrian System Bank Hospital Servers Tellers Doctors, nurses, beds Computer System CPU, I/O devices Manufacturing Machines, workers System Runways, gates, Airport security check-in stations Communications Nodes, links network Customers Patients Jobs Parts Airplanes, travelers Messages, packets

5 Sistem Tunggu (Antrian) Permintaan panggilan yang datang pada saat peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan melainkan akan menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian diduduki Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi antara sistem tunggu dan sistem rugi Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi batas akan dihilangkan Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan

6 Diagram Sistem Tunggu (Sistem Antrian) Panggilan meninggalkan sistem Panggilan datang Tempat menunggu Server/pelayan Notasi D. G. Kendall: A/B/C A: pola kedatangan panggilan B: pola waktu pelayanan C: Jumlah pelayan (peralatan) Masih dapat ditambahkan keterangan : Kapasitas sistem/jumlah panggilan yang dapat diantrikan/kapasitas buffer/panjang antrian maksimum (tak termasuk yang sedang dalam pelayanan) Jumlah populasi yang ada di dalam sistem

7 Notasi Model Antrian (Kendall) Ada yang menggunakan notasi : A/B/C/D/E Bisa memberikan pengertian yang salah, karena D bisa memasukkan panggilan yang sedang dalam pelayanan Lebih baik menggunakan notasi A/B/C ditambah keterangan yang diperlukan Bila tidak ada keterangan, maka D dan E berarti tak terhingga Notasi untuk pola kedatangan dan waktu pendudukan M: Distribusi Poisson (M=Markovian) D: Distribusi tetap (Deterministik) G: Distribusi umum (General)

Notasi Model Antrian (Kendall) • A/B/n/p/k – A menyatakan proses kedatangan • Interarrival time distribution: – M= exponential (memoryless) – D= deterministic – G= general – B menyatakan waktu pelayanan • Service time distribution: – M= exponential (memoryless) – D= deterministic – G= general – n = jumlah server – p = jumlah tempat dalam sistem = jumlah server + ukuran tempat menunggu – k = populasi pelanggan David G. Kendall 8

Notasi Model Antrian (Kendall) (cont. ) – Nilai-nilai default (biasanya tidak dimunculkan) : • p = , k = – Contoh: • • • M/M/1 M/D/1 M/G/1 G/G/1 M/M/n/n+m M/M/ (Poisson model) M/M/n/n (Erlang model) M/M/k/k/k (Binomial model) M/M/n/n/k (Engset model, n < k) 9

Rumus J. D. Little Mari kita perhatikan suatu sistem yang didatangi oleh customer dengan laju sebesar Bila diasumsikan suatu kondisi yang stabil maka customer tidak akan terakumulasi di dalam sistem sehingga sistem akan kosong Konsekuensinya customer meninggalkan sistem dengan rate sebesar juga Bila Prof. John D. C. Little Maka rumus Little menyatakan : 10

11 Rumus J. D. Little (2) Penurunan Misalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan dan panggilan meninggalkan sistem Jumlah kedatangan g(to) a(to) d(to) t

12 Rumus J. D. Little (3) a(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang waktu (0, t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu) d(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan sistem yang berakhir di dalam selang waktu (0, t) (fungsi jumlah terhadap waktu) g(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t (merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada di dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan pelanggan-detik) lt : harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam selang waktu (0, t)

13 Rumus J. D. Little (4) Maka : Bila Tt = harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan berada di dalam sistem dalam selang waktu (0, t), maka : pelanggan-detik/detik Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian selama waktu (0, t) adalah :

14 Rumus J. D. Little (5) Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu t , maka t , Tt T dan Nt N, sehingga : Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam sistem antrian = harga rata-rata laju kedatangan panggilan x harga rata-rata lamanya waktu pelanggan berada dalam sistem

15 Rumus J. D. Little (6) Catatan untuk rumus J. D Little Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah sembarang Jumlah pelayan adalah sembarang Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanya Lq=l. Wq Lq = harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian Wq = harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian Lp=l. Wp Lp = harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayanan Wq = harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan

16 Rumus Tunggu Erlang Sistem M/M/N Asumsi 1. Laju kedatangan panggilan : random (acak) dengan rate rata-rata tetap sebesar : a 2. Pola waktu pendudukan : Distribusi eksponensial (negatif) dengan harga waktu pendudukan rata-rata h=1/ Disiplin operasi : Jumlah pelayan : N Panjang antrian tak terhingga FIFO (First In First Out)

17 Rumus Tunggu Erlang Diagram Kondisi a 0 a 1 a 2 2 a a N+1 N 3 N a N N Koefisien Kelahiran : tetap a Koefisien Kematian : Untuk n>N hanya ada N pendudukan

18 Rumus Tunggu Erlang Persamaan Kesetimbangan a. P(n) = (n+1) . P (n+1) a. P(n) = N σ P(n+1) untuk n = 0, 1, 2, . . , N-1 untuk n = N, N+1, . . . . Bila kedua persamaan di atas diturunkan (seperti cara pada distribusi poisson terdahulu), maka didapat :

19 Rumus Tunggu Erlang . . Mencari P(0) :

20 Rumus Tunggu Erlang Untuk mencari digunakan TRICK sebagai berikut :

21 Rumus Tunggu Erlang Probabilitas suatu panggilan menunggu adalah bagian waktu dimana semua saluran (pelayan) sibuk :

22 Rumus Tunggu Erlang Pada sistem rugi : Masukan pada persamaan E 2, N(A) = DN(A) Maka :

23 Rumus Tunggu Erlang

24 Rumus Tunggu Erlang Dari persamaan sebelumnya didapatkan : persamaan menjadi : , masukan pada

25 Rumus Tunggu Erlang Hasil-hasil lain yang dapat diturunkan dari persamaan diatas : 1. Jumlah panggilan rata-rata yang antri

26 Rumus Tunggu Erlang Penurunannya: ? ?

27 Rumus Tunggu Erlang Misalkan :

28 Rumus Tunggu Erlang Sehingga :

Rumus Tunggu Erlang 2. Waktu rata-rata pelanggan/panggilan yang datang menunggu sebelum dilayani (termasuk panggilan yang tak menunggu) 29

Rumus Tunggu Erlang 3. Waktu rata-rata lamanya pelanggan/panggilan berada dalam sistem ( ) 4. Jumlah rata-rata pelanggan/panggilan berada di sistem ( ) 30

Rumus Tunggu Erlang 5. Probabilitas pelanggan/panggilan mempunyai waktu tunggu T melebihi harga t tertentu 6. Waktu rata-rata pelanggan/panggilan menunggu (hanya untuk panggilan yang memang menunggu) Pasti menunggu 31

Contoh soal 1. Suatu berkas saluran : N saluran = 8 saluran berkas sempurna. Trafik yang ditawarkan : A = 4, 5 Erlang, waktu pendudukan rata-rata = h = 120 detik, Panggilan yang dilayani sesuai dengan urutan kedatangannya (FIFO) ditanyakan : a. P (t > 0) = ? b. Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang menunggu c. Waktu tunggu rata-rata dari semua panggilan d. P (t > 60 detik) =? 32

Contoh Soal Penyelesaian a. P ( t > 0) Menggunakan Grafik: P (t > 0) 0, 10 x 100% = 10% Menggunakan Rumus : 33

Contoh Soal Penyelesaian Mencari R dari tabel Menggunakan Tabel Erlang B: A = 4, 54 N=8 B = 5% Menggunakan Rumus : A = 4, 54 N=8 B = 4, 8 % 34

Contoh Soal Penyelesaian Mencari R dari tabel Menggunakan Tabel Erlang 2 (R) : A = 4, 54 N=8 R = 0, 217 35

Contoh Soal Penyelesaian b. Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang harus menunggu : c. Waktu tunggu rata-rata dari semua panggilan : d. Waktu tunggu melebihi 60 detik 36

Contoh Soal Penyelesaian Mencari P (T>t) dari grafik N = 8 Saluran A = 4, 5 Erlang 37

Contoh soal 2. Suatu tingkat GS akan mengolah trafik pembicaraan sebesar 360 Erl. Dalam proses penyambungan hanya dilayani oleh 1 buah marker. Waktu pembicaraan rata-rata dari pelanggan = 3 menit Waktu kerja marker 1 panggilan = 100 mdet. hitung : a. b. c. Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang harus menunggu Waktu tunggu rata-rata dari semua panggilan Probabilitas waktu tunggu > 300 mdet 38

Contoh soal Penyelesaian Panggilan akan antri bila marker sedang dipakai Jumlah marker (N) = 1 Jadi waktu tunggunya merupakan waktu tunggu menanti marker bebas A = 360 Erl. (intensitas trafik) tr = 3 menit = 0, 05 jam Jumlah Panggilan = 39

Contoh soal Intensitas trafik pada marker ( A’ ) a. Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang harus menunggu h = waktu pelayanan rata-rata = t rata-rata pendudukan marker = tr’ 40

Contoh soal b. Waktu tunggu rata-rata dari “ semua panggilan yang datang” A’ = 0, 2 erl. R = 0, 33 erl. N=1 tabel Dari Grafik : A = 0, 2 N=1 0, 2 = 20 % 41

Contoh soal c. Probabilitas menunggu lebih dari 300 mdet : P(t>300 mdet) Dari Grafik : t/h = 300/100 =3 A = 0, 2 0, 018 = 1, 8 % 42

Contoh soal A’ = 0, 2 erl. R = 0, 33 erl. N=1 43

Contoh soal A’ = 0, 2 erl. P(t>0) = 0, 2 N=1 44

Contoh soal A’ = 0, 2 erl. P(T>t) = 0, 18 N=1 45

Contoh Soal 3. Gambarkan diagram kondisi system sebagai berikut : M/M/2 M/M/m/m M/M/m/K 46

Contoh Soal M/M/2 M/M/ 47

Contoh Soal M/M/m/m M/M/m/K 48

Terima kasih …. .

Tugas 1. Untuk M/M/1/6, bila laju panggilan sebesar , laju pelayanan sebesar dan utilitas = /. Gambarkan diagram kondisinya dan Berapa harga p(i) dimana i adalah kondisi pada saat i saluran diduduki 2. Dalam sebuah perusahaan terdapat 8 karyawan yang bekerja selama 8 jam. Dalam perusahaan tersebut terdapat 2 line telepon. Tiap-tiap karyawan rata-rata menggunakan sebanyak 3 kali dengan lamanya 10 menit. Berapa besarnya probabilitas 2 saluran telepon tersebut sibuk? 3. Sebuah bank mempunyai 2 orang teller, teller 1 bekerja, jika pelanggan yang ingin dilayani hanya maksimum 3 orang. Jika pelanggan bertambah menjadi 4 orang atau lebih, teller 2 buka dan tutup kembali jika pelanggan menjadi 3 orang atau kurang. Bila laju datangnya pelanggan sebesar λ dan laju pelayanan sebesar μ , gambar diagram transisi kondisinya. 50