Sistem SDOF dengan getaran bebas a TANPA REDAMAN

Sistem SDOF dengan getaran bebas a. TANPA REDAMAN

GETARAN BEBAS TANPA REDAMAN n STRUKTUR HANYA MENGALAMI GETARAN KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA BEBAN LUAR n TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN

Penguraian Persamaan Umum Gerak Sistem Getaran Bebas tak teredam n Persamaan Umum ; m. a + k. x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m. a + k. x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos ft Sehingga : dx/dt = - f. E sin ft dx 2/dt 2 = - f 2 E cos ft Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0 - mf 2 E cos ft + k E cos ft = K cos ft - mf 2 E + k E = K / (k - mf 2) Maka Jawab Umum x = K cos ft K – mf 2

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK n Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah : x = A cos wt + B sin wt x. = -Aw sin wt + Bw cos wt dimana w = √ k/m (frekwensi alami) n Pada gerak ini : C = 0 karena tidak ada faktor peredam F(T) = 0 karena getarnya bebas

FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE n Pada getaran bebas tak teredam frekwensi yg terjadi adalah frekwensi natural (alami) dimana : w = √ (k/m) f = w / 2 p n Kebalikan dari frekwensi natural adalah Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus T = 1/f = 2 p / w

PERPINDAHAN YANG TERJADI n Y= C sin (wt + a ) atau n Y = C cos (wt - b ) n Dimana : C ={ yo 2 + (V 0/w)2}1/2 Tan a = yo/ (vo/w) Tan b = vo/w yo

Sistem SDOF dengan getaran bebas b. DENGAN REDAMAN

SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN PADA STRUKTUR SINGLE DOF n Persamaan Umum ; m. a + c. v +k. x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m. a + c. v + k. x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C ept Sehingga : ma + cv +kx = 0 m Cp 2 ept + c Cp ept +k C ept = 0 Dgn menghilangkan faktor yang sama akan muncul persamaan kareakteristik : m p 2 + c p + k = 0 Dan akar 2 persamaan kuadratnya adalah : p 1, p 2 = -c/2 m + √ {(c/2 m)2 – k/m}

Sehingga Solusi Umum persamaan Gerak yang terjadi y(t) = C 1 ep 1 t + C 2 ep 2 t Dimana : C 1 dan C 2 adalah konstanta integrasi yang ditetapkan sebagai kondisi awal.

REDAMAN YANG TERJADI n REDAMAN SUB KRITIS n REDAMAN SUPERKRITIS

PENYELESAIAN PERSAMAAN n AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT p 1, p 2 = -c/2 m + √ (c/2 m)2 – k/m Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah : y(t) = C 1 ept + C 2 ept Dimana C 1 dan C 2 adalah konstanta integrasi

SISTEM REDAMAN n ADA TIGA JENIS REDAMAN : 1. Sistem redaman kritis (Critical Damped System) 2. Sistem redaman superkritis (Overdamped System) 3. Sistem redaman subkritis (Underdamped System)

Redaman kritis n Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0 ( ccr/2 m)2 – k/m = 0 ccr = 2 √km n Dimana Ccr = harga redaman kritis karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m maka koefisien redaman kritis ccr = 2 m ω = 2 k / ω

Redaman Kritis n Harga akar persamaan adalah sama yaitu p 1 = p 2 = - ccr /2 m n Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah : y 1(t) = C 1 e-(ccr/2 m)t dan y 2(t) = C 2 t e-(ccr/2 m)t Superposisi dari keduanya : y(t) = (C 1 + C 2 t) e-(ccr/2 m)t

Dimana : n m = masa beban / sistem n k = kekakuan struktur n Y = perpindahan yang terjadi n Ccr = redaman kritis n P 12 = akar persamaan yang terbentuk n C 12 = konstanta yang terbentuk akibat penyelesaian persamaan diferensial n W = frekuensi natural

REDAMAN SUB KRITIS n Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil dari harga kritis (C<Ccr) n Dan nilai akar persamaan kuadratnya adalah bilangan kompleks (mengandung bilangan imaginer) n p 1, p 2 = -c/2 m + √ (c/2 m)2 – k/m (complex value) n Dimana persamaan euler utk menghubungkan PD dgn pers trigonometrik adalah eix = cos x + i sin x e-ix = cos x – i sin x

Solusi Persamaan Gerak Redaman Subkritis n Dengan mensunstitusikan akar p 1 dan p 2 maka y(t)= e-(c/2 m)t (A cos w. Dt + B sin w. Dt) n Dimana Frekwensi System: atau Dengan w. D =√ { k/m – (c/2 m)2} w. D = w √(1 -ξ 2) w = √ k/m ( frekwensi Natural) ξ = c / cr ( Ratio Redaman) Dan c = adalah redaman yang terjadi (kondisi subkritis)

Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal n Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal) y(t) = e-ξwt (yo cos w. Dt + vo+wyoξw sin w. Dt) Atau y(t) = C e-ξwt cos (w. Dt –a) Dimana : C = √(yo 2 + (vo+yoξw)2/w. D 2) tan a = (vo+yoξw)/w. Dyo) w. D adalah frekwensi sistem dengan redaman

Periode Redaman Getaran n Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang dengan interval yang sama yang disebut periode getaran n TD = 2 p / w. D = w √(1 -ξ 2) n Harga koefisien redaman untuk struktur lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari redaman kritis atau n Nilai ξ = 0, 2 dan w. D = 0, 98 w

PENGURANGAN LOGARITMIS n Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio antara dua puncak amplitudo yang berturutan dari suatu getaran bebas n d = ln y 1/y 2 n Sehingga untuk y(t) = C e-ξwt cos (w. Dt –a) dan y 1 = C e-ξwt 1 y 2 = C e-ξwt(t 1+Td) Maka d = ln y 1/y 2 = ξwt. D atau d = 2 pξ / √ (1 - ξ 2) utk ξ yg sangat kecil maka d = 2 pξ

REDAMAN SUPERKRITIS n Koefisien redaman yang terjadi lebih besar dari redaman kritis c > ccr Sehingga nilai akar persamaan ( P 1, 2) bernilai real dan berbeda Maka perpindahan yang terjadi adalah y(t) = C 1 e p 1 t + C 2 e p 2 t

CONTOH n Sebuah Struktur memiliki W = 10 N, kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan y 1=1, 0 dan y 2=0, 85 n Hitung a. Frekwensi Natural b. Pengurangan Logaritmis c. Ratio Redaman d. Koefisien Redaman e. Frekwensi teredam

Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan) n Frekwensi Natural W = 10 N, kekakuan 20 N/m w = √ (k/m) = √ 20 x 10 /10 ccr = 2 √km d = 2 p n Pengurangan Logaritmis d = 2 pξ d = ln y 1/y 2 = y 1= ln (1, 0/0, 85) y 1=1, 0 dan y 2=0, 85 n d = ln y 1/y 2 n Ratio Redaman ξ = c / cr d = 2 pξ shg ξ = d /2 p n Koefisien Redaman ccr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ x. Ccr n Frekwensi Teredam w. D = w √(1 -ξ 2)