SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur Pendidikan Matematika

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 17/12/2021 design by budi murtiyasa 2008 1

Sistem persamaan linear 3 x 1 – 7 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 – x 2 + 2 x 3 = 7 x 1 + 3 x 2 – 5 x 3 = 0 - x 1 + x 3 = 4 -2 x 1 + 3 x 2 – 4 x 3 = 0 Dng notasi matriks = = A X = G Matriks augmented : matriks koefisien A ditambah matriks konstanta G. (A | G) = A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta

SISTEM PERSAMAAN LINEAR AX=G G=0? tidak Sistem persamaan linear nonhomogen A X = G, dng G ≠ 0 Contoh : ya Sistem persamaan linear homogen AX=0 Contoh : 2 x + y – 7 z = 0 3 x – 5 y + 3 z = 0 3 x + 2 y + z = 5 x + 2 y – z = 0 x – 6 y + 2 z = 0 2 x + y + 2 z = 0

SPL Nonhomogen A X = G, G ≠ 0 Mempunyai jawab / konsisten r(A) = r(A G) Tidak mempunyai jawab / inkonsisten r(A) ≠ r(A G) Jawab tunggal Banyak Jawab r(A) = r(A G) = n r(A) = r(A G) < n Metode penyelesaian : • Gauss-Jordan • matriks invers • Aturan cramer Metode penyelesaian : • dng OBE, bawa (A G) ke bentuk echelon. banyaknya variabel bebas = n – r. Keterangan : banyaknya variabel r : rank (A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien & matriks konstanta

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = -5 3 x 1 + x 2 – 2 x 3 = 11 -2 x 1 + x 2 + x 3 = -2 Persamaan baru menjadi : x 1 – 2 x 2 + x 3 = -5 x 2 – x 3 = 4 2 x 3 = -2 Metode Gauss : 2. lakukan subtitusi balik : 1. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon 2 x 3 = -2 x 2 – x 3 = 4 (A G) = ~ x 3 = -1 x 2 – (-1) = 4 x 2 = 3 x 1 – 2 x 2 + x 3 = -5 ~ ~ x 1 – 2(3) + (- 1) = -5 x 1 = 2 ~ r(A) = 3 r(A G) = 3 n=3 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = -5 3 x 1 + x 2 – 2 x 3 = 11 -2 x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Gauss-Jordan : ~ r(A) = 3 r(A G) = 3 n=3 ~ lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon baris tereduksi. (A G) = ~ ~ Persamaan terakhir menjadi: x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = -1 ~ Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. ~ ~

Sistem persamaan linear 3 x 1 – 7 x 2 + x 3 = 0 2 x 1 – x 2 + 2 x 3 = 7 x 1 + 3 x 2 – 5 x 3 = 0 - x 1 + x 3 = 4 -2 x 1 + 3 x 2 – 4 x 3 = 0 Dng notasi matriks = = A X = G A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = -5 3 x 1 + x 2 – 2 x 3 = 11 -2 x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Matriks A-1 = adj A = Invers : AX=G A-1 A X = A-1 G 2. Selesaikan X = A-1 G 1. Cari invers dari A (bisa dng OBE, atau bisa dng matriks adjoint). A= det(A) = 6 , maka X= = Jadi : x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = -1 adj A = Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = -5 3 x 1 + x 2 – 2 x 3 = 11 -2 x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Cramer : | A 3 | = 1. Cari det(A), dan det(Ai) , yaitu determinan dr A dng terlebih dahulu mengganti kolom ke i dengan matriks konstanta G |A| = | A 1 | = | A 2 | = 2. Selesaikan = 18 =-6 Xi = |Ai | / | A | =6 = 12 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Persamaan baru menjadi : x 1 – 2 x 2 + x 3 = 2 – x 2 – 2 x 3 = 5 Selesaikan sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = 2 -2 x 1 + 3 x 2 – 4 x 3 = 1 -5 x 1 + 8 x 2 – 9 x 3 = 0 1. lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon (A G) = ~ 2. Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru. Misalkan x 3 = α, dng α bil Real – x 2 – 2α = 5 – x 2 – 2 x 3 = 5 ~ x 2 = - 2α – 5 r(A) = 2 r(A G) = 2 n=3 Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 x 1 – 2 x 2 + x 3 = 2 x 1 – 2(- 2α – 5) + α = 2 x 1 = -5α – 8 Jadi penyelesaian umum : {(-5α – 8, -2α – 5, α)}. Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = - 2 -x 1 + x 2 – 3 x 3 + x 4 = 1 2 x 1 – 2 x 2 + 3 x 3 – 8 x 4= - 5 Solusi : (A G) = ~ Misalkan x 2 = α, dan x 4 = β dng α, β bil Real – x 3 – 2 x 4 = - 1 – x 3 – 2β = - 1 x 3 = - 2β + 1 x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = - 2 x 1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = - ~ r(A) = 2 r(A G) = 2 n=4 x 1 = α + 7β – 4 Jadi penyelesiaan umum : {(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 2 dan x 4 misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah Persamaan baru menjadi : satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}. x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = - 2 – x 3 – 2 x 4 = - 1

SPL Nonhomogen yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian. Selesaikan sistem : Apakah ada nilai x yang memenuhi ? x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = - 2 -x 1 + x 2 – 3 x 3 + x 4 = 1 2 x 1 – 2 x 2 + 3 x 3 – 8 x 4= - 3 Solusi : (A G) = ~ ~ r(A) = 2 r(A G) = 3 n=4 r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ? Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca : 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = 2 Sistem tidak punya penyelesaian.

SPL Homogen AX=0 Selalu mempunyai jawab / konsisten Sebab pasti r(A) = r(A 0) Jawab tunggal / hanya jawab trivial / jawab nol r(A) = n Banyak Jawab. Selain jawab trivial, ada jawab non trivial r(A) < n banyaknya var. bebas = n – r Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon.

SPL Homogen dangan Jawab Tunggal /hanya jawab trivial / hanya jawab nol Selesaikan sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = 0 -x 1 + 3 x 2 – 2 x 3 = 0 2 x 1 + x 2 – 4 x 3 = 0 Sistem hanya mempunyai jawab nol, Dari persamaan baru dapat dibaca : x 1 – 2 x 2 + x 3 = 0 x 2 – x 3 = 0 Solusi : (A 0) = ~ ~ Dengan subtitusi balik diperoleh : r(A) = 3 r(A 0) = 3 n=3 x 3 = 0, x 2 = 0, dan x 1 = 0 Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : x 1 – 2 x 2 + x 3 = 0 -x 1 + 3 x 2 – 2 x 3 = 0 2 x 1 + x 2 – 3 x 3 = 0 Dari persamaan baru dapat dibaca : x 1 – 2 x 2 + x 3 = 0 x 2 – x 3 = 0 Misalkan x 3 = α, dng α bil Real Solusi : A = Dengan subtitusi balik diperoleh : ~ x 2 – x 3 = 0 ~ r(A) = 2 n=3 x 2 = α x 1 – 2 x 2 + x 3 = 0 x 1 = α Jadi penyelesaian umum : {(α, α , α)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 misal diambil nilai α = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.

SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : Misalkan x 2 = α, dan x 4 = β -x 1 + x 2 – 3 x 3 + x 4 = 0 x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = 0 2 x 1 – 2 x 2 + 3 x 3 – 8 x 4= 0 dng α, β bil Real – x 3 – 2 x 4 = 0 – x 3 – 2β = 0 x 3 = - 2β Solusi : A= -x 1 + x 2 – 3 x 3 + x 4 = 0 ~ -x 1 + α – 3(-2β) + β = 0 ~ r(A) = 2 n=4 x 1 = α + 7β Jadi penyelesaian umum : {(α + 7β, α, - 2β, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 2 dan x 4 Persamaan baru menjadi : misal diambil nilai α = 0, dan β = 1, maka salah - x 1 + x 2 – 3 x 3 + x 4 = 0 satu penyelesaian khusus adalah {(7, 0, -2, 1)}. – x 3 – 2 x 4 = 0

Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x 1 – 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0 Misalkan x 3 = α, dan x 4 = β 2 x 1 – 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 0 3 x 1 – 8 x 2 + 4 x 3 + 6 x 4 = 0 dng α, β bil Real -4 x 1 + 11 x 2 – 5 x 3 – 8 x 4 = 0 x 2 + x 3 = 0 Solusi : x 2 + α = 0 x 2 = - α A= ~ x 1 – 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0 x 1 – 3(-α) + α + 2β = 0 ~ r(A) = 2 n=4 x 1 = - 4α – 2β Jadi penyelesaian umum : {(- 4α – 2β, -α, α, β)}. Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 dan x 4 misal diambil nilai α = 1, dan β = 1, maka salah Persamaan baru menjadi : satu penyelesaian khusus adalah {(-6, -1, 1, 1)}. x 1 – 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0 x 2 + x 3 =0

Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 = 0 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 0 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 0 Solusi : Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol). Jadi x 1 = x 2 = x 3 = 0.