Sistem Digital BAB 2 Aljabar Boolean Teknik Informatika

Sistem Digital BAB 2 Aljabar Boolean Teknik Informatika Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Jatim 1

Definisi: Ekspresi Boolean n Literal: sebuah variabel atau komplemennya n n Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi n n n X, X¢, DIN¢, TK_L X+Y P×Q×R A+B×C ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q 5) × RESET¢ Persamaan: variabel = ekspresi n P = ((DIN × Z¢) + TK_L × A × B¢ × C + Q 5) × RESET¢ 2

Tabel Kebenaran X Y X+Y X X’ 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3

2. 1 Teorema Boolean 4

Aksioma n n kumpulan definisi dasar (A 1 - A 5, A 1’ - A 5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar boolean Dapat digunakan untuk membuktikan teorema aljabar boolean lainnya. 5

Aksioma (A 1) X=0, if X 1 (A 1’) X=1, if X 0 (A 2) If X=0, then X’=1 (A 2’) If X=1, then X’=0 (A 3) 0 · 0 = 0 (A 3’) 1 + 1 = 1 (A 4) 1 · 1 = 1 (A 4’) 0 + 0 = 0 (A 5) 0 · 1 = 1 · 0 = 0 (A 5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 6

Teorema variabel tunggal Postulate 2 (P 1) X + 0 = x P 1’ X. 1 = X Postulate 5 (P 5) X + X’ = 1 P 5’ X. X’ = 0 Theorem 1 (T 1) X + X = X T 1’ X. X = X Theorem 2 (T 2) X + 1 = 1 T 2’ X. 0 = 0 Theorem 3 (T 3) (X’)’ = X 7

Contoh n Dibuktikan melalui induksi sempurna n n Karena sebuah variabel boolean hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Contoh: (P 1) X + 0 = X X=0 : 0 + 0 n X=1 : 1 + 0 n = 0 benar menurut aksioma A 4’ = 1 benar menurut aksioma A 5’ 8

Teorema dua dan tiga variabel P 3 X+Y = Y+X P 3’ X. Y = Y. X KOMUTATIF T 4 (X+Y)+Z = X+(Y+Z) T 4’ (X. Y). Z = X. (Y. Z) ASOSIATIF P 4 X. Y+X. Z=X. (Y+Z) P 4’ (X+Y). (X+Z)=X+Y. Z DISTRIBUTIF T 5 (X+Y)’=X’. Y’ T 5’ (X. Y)’=X’+Y’ DE MORGAN T 6 X+X. Y=X T 6’ X. (X+Y)=X ABSORPSI 9

Teorema P 4 (Distributif) (P 4) X · Y + X · Z = X · (Y + Z) (P 4’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z n n P 4 : penjumlahan dari perkalian (sum of products (SOP)) P 4’ : Perkalian dari penjumlahan (product of sums (POS)) 10

SOP dan POS (bentuk SOP) V·W·Y+V·W·Z+V·X·Y+V·X·Z (bentuk POS) (V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y) 11

Contoh Teorema De. Morgan: NAND (X · Y)’ = (X’ + Y’) n (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika n 12

Contoh Teorema De. Morgan: NOR (X + Y)’ = (X’ · Y’) n (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika n 13

Generalisasi Teorem De. Morgan Contoh: F(W, X, Y, Z) = (W’ · X) + (X · Y) + (W · (X’ + Z’)) [F(W, X, Y, Z)]’ = ((W’)’ + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + ((X’)’ · (Z’)’)) Gunakan (T 3) (X’)’ = X, pers. Diatas dapat disederhanakan menjadi: [F(W, X, Y, Z)]’ = (W + X’) · (X’ + Y’) · (W’ + (X · Z)) 14

2. 2 Fungsi Boolean 15

Fungsi Boolean n n Adalah sebuah ekspresi yang terbentuk dari variabel, OR, AND, NOT, tanda kurung dan tanda persamaan. Contoh : F = X. Y. Z’ Fungsi F akan bernilai 1 jika X=1, Y=1 dan Z’=0. 16

Contoh F 1 = X. Y. Z’ F 2 = X + Y’Z F 3 = X’. Y’. Z + X’. Y. Z + X. Y’ F 4 = X. Y’ + X’Z X 0 0 1 1 Y 0 0 1 1 Z F 1 F 2 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 F 3 0 1 1 1 0 0 F 4 0 1 1 1 0 0 17

Komplemen Fungsi Boolean n n X Pada tabel kebenaran, 0 tukar nilai 0 dengan 1 dan sebaliknya 0 Cara cepat: 0 komplemen fungsi dapat 0 ditemukan melalui 1 pertukaran “+” dan “. ” serta pengkomplemenan 1 seluruh variabel 1 1 Y 0 0 1 1 Z 0 1 0 1 F 1’ 1 1 1 0 1 F 2’ 1 0 1 1 0 0 F 3’ 1 0 0 0 1 1 F 4’ 1 0 0 0 1 1 18

Manipulasi ekspresi Boolean n n Bagaimana menyatakan (A · B + C) dalam bentuk lain? Gunakan teorema De. Morgan … n n n A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’ = ( ( A · B )’ · C’ )’ = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’ ð( n A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’ Sederhanakan X’Y’Z+X’YZ+XY’ ? 20

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean n Term perkalian: n n Term penjumlahan: n n Z’, (W + X + Y), (X + Y’ + Z), (W’ + Y’ + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP): n n Z’, (W · X · Y), (X · Y’ · Z), (W’ · Y’ · Z) Z’ + (W · X · Y) + (X · Y’ · Z) + (W’ · Y’ · Z) Ekspresi product-of-sums (POS) : n Z’ · (W + X + Y) · (X + Y’ + Z) · (W’ + Y’ + Z) 21

Definisi lanjut – Ekspresi Boolean n Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dalamnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali Contoh term non-normal: W·X·X·Y’ W+W+X’+Y Contoh term normal: W·X·Y’ W+X’+Y X·X’·Y 0 22

2. 3 Canonical dan Standard Forms 23

Minterm (standar product) n n Sebuah minterm n-variabel merupakan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Terdapat 2 n term perkalian dari n-literal. Contoh minterm 4 variabel: W · X’ · Y’ · Z’ W · X · Y’ · Z W’ · X’ · Y · Z’ Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada satu baris dari tabel kebenaran 24

Maxterm (standar sum) Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. n Terdapat 2 n term-2 penjumlahan yang demikian. n Contoh-2 maxterm 4 -variabel: n W’ + X’ + Y + Z’ W + X’ + Y’ + Z W’ + X’ + Y + Z 25

Minterms/Maxterms untuk sebuah fungsi 3 -variabel 26

Representasi Penjumlahan Kanonis (sum of minterms) n Minterm i : n n Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): n n Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi S: n Contoh: S X, Y, Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z n Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR dengan inverter pada masukan gerbang AND. 27

Contoh penjumlahan kanonis n Fungsi direpresentasikan dengan tabel Row X Y Z F kebenaran: 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb: Daftar Minterm menggunakan notasi S F = S X, Y, Z (0, 3, 4, 6, 7) = X’·Y’·Z’ + X’·Y·Z + X·Y’·Z’ + X·Y·Z Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar 28

Contoh n Ubah fungsi boolean F=A+(B’C) ke dalam bentuk penjumlahan kanonis n Jawab : Fungsi memiliki 3 variabel yaitu A, B, C F = A+(B’C) = A(B+B’)(C+C’) + (B’C)(A+A’) = AB(C+C’) + AB’C + A’B’C = ABC + ABC’ + AB’C’ + A’B’C = m 7 + m 6 + m 5 + m 4 + m 1 F(A, B, C) = ∑ (1, 4, 5, 6, 7) 29

Representasi perkalian kanonis (product of maxterms) n Maxterm i: n n Pekalian kanonis: n n baris i dari tabel kebenaran yang mempunyai keluaran 0 Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi P : n Contoh: P X, Y, Z (1, 2, 5) = (X + Y + Z’). (X + Y’ + Z). (X’ + Y + Z’) n Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika ORAND dengan inverter pada masukan gerbang OR 30

Contoh perkalian kanonis n Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran: Row 0 1 2 3 4 5 6 7 X 0 0 1 1 Y 0 0 1 1 Z 0 1 0 1 F 1 0 0 1 1 memiliki representasi perkalian kanonis: Daftar Maxterm notasi P F = P X, Y, Z (1, 2, 5) = (X + Y + Z’) · (X + Y’ + Z) · (X’ + Y + Z’) Perkalian maxterms kanonis secara aljabar 31

Contoh n Ubah fungsi boolean F = XY + X’Z ke dalam bentuk perkalian kanonis n Jawab : Fungsi memiliki 3 variabel yaitu X, Y, Z F = XY + X’Z = ( XY + X’ )( XY + Z) = ( X + X’ )( Y + X’ )( X + Z )( Y + Z ) = ( Y + X’ + ZZ’ )( X + Z +YY’ )( Y + Z + XX’ ) = ( X’ + Y + Z ) ( X’ + Y + Z’ )( X + Y + Z ) ( X + Y’ + Z ) ( X + Y + Z ) ( X’ + Y + Z ) = ( X’ + Y + Z ) ( X’ + Y + Z’ )( X + Y + Z ) ( X + Y’ + Z ) = M 4. M 5. M 0. M 2 F(X, Y, Z) = P (0, 2, 4, 5) 32

Konversi antara daftar Minterm/Maxterm n Dapatkan komplemen dari set … n Contoh: S X, Y, Z(0, 1, 2, 3) = P X, Y, Z(4, 5, 6, 7) S X, Y(1) = P X, Y(0, 2, 3) S W, X, Y, Z(0, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13) = P W, X, Y, Z(4, 6, 8, 9, 12, 14, 15) 33

Bentuk standar n Bentuk standar : n n Sum of products (SOP) Product of sums (POS) SOP : ekspresi boolean yang terdiri term AND. Disebut juga term perkalian. F = Y’ + XY + X’YZ’ POS : ekspresi boolean yang terdiri term OR. Disebut juga ter penjumlahan. F = X( Y’ + Z )( X’ + Y + Z’ + W ) 34

Bentuk Nonstandar n n Contoh : F = ( AB + CD )( A’B’ + C’D’ ) Dapat diubah ke dalam bentuk standar dengan menggunakan hukum distributif F = A’B’CD + ABC’D’ 35

Gerbang Logika AND OR NOT a b a a NAND NOR b a b EXCLUSIVE OR a (XOR) b EXCLUSIVE NOR a (XNOR) b a+b a' (a. b)' (a+b)' ab’ + b’a = a b ab + a’b’ = a . b 36

Tabel Kebenaran X Y 0 0 1 1 0 1 XY 0 0 0 1 X+Y X’ 0 1 1 1 0 0 (XY)’ (X+Y)’ XY’+X’Y X Y 1 1 0 0 1 1 0 XY+X’Y’ X. Y 1 0 0 1 37

Contoh TTL IC: Inverter A A' Vcc 14 13 12 11 10 9 8 Tabel kebenaran 1 2 3 4 5 6 7 Ground TTL 74 LS family 74 LS 04 Hex Inverter IC Package 38

Contoh TTL IC: Gerbang AND A A·B B Vcc 14 13 12 11 10 9 8 A 0 0 1 1 B 0 1 A·B 0 0 0 1 Tabel kebenaran 1 2 3 4 5 6 7 Ground TTL 74 LS family 74 LS 08 Quad 2 -input AND Gate IC Package 39

Contoh TTL IC: gerbang OR A B A+B Tabel kebenaran TTL 74 LS family 74 LS 08 Quad 2 -input OR Gate IC Package 40

Contoh TTL IC: Gerbang NAND A B n n (A·B)' A (A·B)' B Gerbang NAND self-sufficient: dapat membangun setiap rangk. Logika manapun, termasuk AND/OR/NOT. Contoh: implementasi NOT menggunakan NAND A 0 0 1 1 B 0 1 (A·B)' 1 1 1 0 Tabel kebenaran TTL 74 LS family 74 LS 00 Quad 2 -input NAND Gate IC Package 41

Contoh TTL IC: Gerbang NOR A B n n (A+B)' A (A+B)' B Gerbang NOR juga self-sufficient. Pertanyaan: Bagaimana membangun gerbang NOT dengan menggunakan NOR? Tabel kebenaran TTL 74 LS family 74 LS 02 Quad 2 -input NOR Gate IC Package 42

Contoh TTL IC: Gerbang XOR n A B = A B’ + A’ B A A B B Vcc 14 13 12 11 10 9 8 A 0 0 1 1 B 0 1 A B 0 1 1 0 Tabel kebenaran 1 2 3 4 5 6 7 Ground TTL 74 LS family 74 LS 86 Quad 2 -input XOR Gate IC Package 43

LATIHAN 1. Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran hukum De. Morgan’s (XYZ)’ = X’ + Y’ +Z’ 2. Sederhanakan ekspresi boolean berikut : a. x’y’ + xy + x’y b. x’yz + xz c. ( xy’ + a’d )( ab’ + cd’ ) 3. Ubahlah ekspresi berikut ke dalam bentuk sum of minterms dan product of maxterms a. F(A, B, C, D) = ∑ (0, 2, 6, 11, 13, 14) b. ( AB + C )( B + C’D ) 4. Gambarkan rangkaian logika untuk soal no. 2. 44