Sistem digital ALJABAR BOOLEAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO
Sistem digital ALJABAR BOOLEAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS TRUNOJOYO Slamet Dodik Eko Setyawan, S. Kom Oktober 2010 Universitas Trunojoyo
Pendahuluan n Konsep dasar aljabar Boole (Boolean Algebra) telah diletakkan oleh seorang matematisi Inggris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu membutuhkan waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang teknik. Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 2
n Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan dan menyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, aljabar Boole memegang peranan yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga di bidang lain seperti teori peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori himpun andan lain. Teori ini juga dipakai dalam merancang komputer elektronik dengan menerjemahkannya ke dalam rangkaian saklar (switching circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka, mengalirkan arus listrik atau tidak. Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 3
Teorema dan Hukum Dasar Aljabar Boole Seperti telah diterangkan di bagian depan, setiap peubah Boole hanya dapat berkeadaan satu dari dua keadaan, 0 atau 1. Jadi, kalau satu peubah di OR kan dengan 0 maka hasilnya akan tidak berubah sedangkan bila satu peubah di OR kan dengan 1, maka apapun keadaan peubah itu sebelumnya akan menjadi 1. Tetapi, bila satu peubah di AND kan dengan 1, maka hasilnya tidak akan berubah sedangkan bila di AND kan dengan 0, apapun keadaan peubah itu sebelumnya akan berubah menjadi 0. Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 4
Ini dapat disim pulkandalam bentuk teorema dasar: X+0=X X. 0 = 0 X+1=1 X. 1 = X Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 5
Ø Kalau suatu peubah di OR kan dengan dirinya sendiri, maka hasilnya akan 0 bila keadaan variabel itu adalah 0 dan hasilnya akan 1 bila keadaan variabel itu adalah 1. Ø Jadi, peng OR an satu variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan keadaan yang sama dengan keadaan variabel itu. Keadaan serupa berlaku untuk operasi AND. Ini disebut hukum idempoten: X+X=X Oktober 2010 X. X = X Universitas Trunojoyo 6
n n Sesuai dengan logika, maka kalau tidak benar disangkal (di NOT kan), hasil nya menjadi benar dan kalau tidak salah di NOT kan, hasilnya menjadi salah. Dengan kata lain, penidakan/penyangkalan (komplementasi) dua kali akan meng hasilkan keadaan aslinya. Ini dikenal dengan nama hukum involusi yang dituliskan sebagai: X=X Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 7
n Hasil dari keadaan benar ATAU tidak benar pasti selalu benar dan keadaan salah ATAU tidak salah juga akan selalu benar (terpenuhi). Tetapi keadaan salah DAN tidak salah dan benar DAN tidak benar akan selalu salah. Jadi, dalam aljabar Boole dapat dinyatakan dengan hukum komplemen sebagai berikut: X + X = 1 (selalu benar) X. X = 0 (selalu salah) Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 8
Untuk fungsi Boole dengan dua peubah atau lebih, dikenal juga hukum kumulatif, assosiatif dan distributif yang berlaku dalam alja bar biasa, yaitu: Hukum Kumulatif : XY = YX X+Y=Y+X Hukum Assosiatif: (X Y) Z = X (Y Z) = XYZ (X+Y) + Z = X + (Y+Z) = X + Y + Z Hukum Distributif: X (Y + Z) = X Y + X Z X + Y Z = (X + Y)(X + Z) Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 9
Hukum yang terakhir ini, yang tidak ada dalam hukum distributif aljabar biasa, dapat dibuktikan sebagai berikut: (X+Y)(X+Z) = XX + XZ + YX + YZ (distributif I) = X + XZ + XY + YZ (idempoten) = X. 1 + XZ + XY + YZ = X(1+Z+Y) + YZ (substitusi p= Z+Y = X + YZ dan 1 + p = 1 ) Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 10
Teorema Dasar Boole Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 11
Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 12
Teorema Tambahan Boole Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 13
Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 14
Penyajian Fungsi Boole n suku min(singkatan dari "suku minimum" minterm, minimum term) Sum Of Product, nilai 1 Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 15
n n sukumax (singkatan dari "suku maksimum" maxterm, maximum term) Product of sum, nilai 0 Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 16
contoh Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 17
Fungsi Tidak Lengkap n n ‘d’ (dont care), dapat dianggap 1 ataupun 0 tergantung pertimbangan desain Contoh : y = m (0, 3, 7) + d (1, 6), Oktober 2010 A B C y 0 0 1 1 0 1 0 1 1 x 0 1 0 0 x 1 Universitas Trunojoyo 18
TUGAS n Buktikanlah Rumus rumus penyederhanaan dan teorema konsensus Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 19
Daftar Pustaka n n n Digital Principles and Applications, Leach Malvino, Mc. Graw Hill Sistem Diugital konsep dan aplikasi, freddy kurniawan, ST. Elektronika Digiltal konsep dasar dan aplikasinya, Sumarna, GRAHA ILMU Oktober 2010 Universitas Trunojoyo 20
- Slides: 20