Sincronizacin en osciladores acoplados a pulsos Albert DazGuilera

Sincronización en osciladores acoplados a pulsos Albert Díaz-Guilera Conrad J. Pérez Alex Arenas Álvaro Corral Xavier Guardiola Mateu Llas UNIVERSIDAD DE BARCELONA http: //www. ffn. ub. es/albert

2 modelos Pilas de arena, terremotos y luciérnagas Sincronización y estructuras espaciotemporales

Pilas de arena, terremotos y luciérnagas Bak Tang Wiesenfeld (PRL 59 (1987) 381) Sistemas dinámicos extendidos Ruido 1/f: superposición de escalas de tiempo Autosimilaridad espacial Terremotos: leyes potenciales de distribución AUSENCIA DE ESCALAS CARACTERÍSTICAS

Autómata celular Sistema discreto con reglas dinámicas sencillas Condición umbral que introduce la nolinearidad

Criticalidad auto-organizada Autoorganizada: El sistema evoluciona de forma natural hacia un estado estacionario de no-equilibrio Crítico: El sistema es crítico en el sentido que no hay escalas características en su evolución: ni espaciales ni temporales Sin necesidad de reglas complicadas y sin ajustar ningún parámetro externo

Terremotos: modelo de muelles y bloques

Olami, Feder y Christensen PRL 68 (1992) 1244 Ei, j ® 0 Enn ® Enn+e. Ei, j 2 time scales

Sincronización Física: uniones Josephson Química: reacciones químicas Biología: Celulas marcapasos del corazón Neuronas en el córtex visual Luciérnagas

Osciladores de fase 1 escala temporal Osciladores nolineales que se mueven en un ciclo límite Interaccion débil pero continua Modelo de Kuramoto Positivo Negativo

Integrate-and-fire oscillators 2 escalas temporales Si Ei(t)>Ec Pulso transmitido: Ej Ej+e(Ej) Reinicializado: Ei 0

Mirollo & Strogatz SIAM J. Appl. Math. 50 (1990) 1645 Sincronización Todos con todos Acoplamiento uniforme positivo Tiempo refractario f’(E)>0

CPDA (PRL 75 (1995) 3697) Generalización a acoplamiento dependiente del estado

MS en 2 d con interacciones nn y CC periódicas (CPDA)

SOC y oscilaciones de relajación TERREMOTO (FF-OFC) LUCIERNAGAS (MS) Nearest neighbors All-to-all Uniform driving rate d. E/dt=1 Open BC’s Nonuniform d. E/dt=f(E) No BC’c Enn® Enn+e (FF) Ej® Ej+e Enn® Enn+e. Ei NO refractory time Refractory time SOC SYNCHRONIZATION

Sin tiempo refractario (PRL 74 (1995) 118) Se rompe la sincronización OFC con driving no-uniforme

Efecto de la diversidad Periódico SOC Decaimiento exponencial (PRL 78 (1997) 1492)

Sincronización y estructuras espacio-temporales Representación continua Con la condición de puesta a cero Ei 1

Acoplamiento independiente del estado siendo

Descripción en términos de fase siendo

Separando las escalas de tiempo Driving: d i/dt=1 Firing PRC

Relación entre las interacciones Recibiendo n firings simultáneos

Evolución de las fases Evolución discreta

Dos tipos de interacciones Interacciones excitatorias <0 Interacciones inhibitorias >0 Ejemplo 2 osciladores

Dos osciladores Medio ciclo 1 0 1 - - 1( ) F D + 1( ) 1 Puntos fijos *=1 - *- 1( *)

Estabilidad ’ 1( )>0 Inestable -> Sincronización ’ 1( )<0 Estable -> Phase-locking

Osciladores dirigidos en un anillo (PRE 57 (1998) 3820) Driving: d i/dt=1 Firing

Firing + Driving Return map

Acoplamiento negativo

Acoplamiento positivo

Puntos fijos Analíticamente: cotas a los módulos de los valores propios <0 puntos fijos estables >0 puntos fijos inestables

Estructuras (PRE 60(1999) 3626) Degeneración del patrón C(N+1, m) Ejemplo: N+1=4 osciladores 1 4 1

Selección de los patrones Aproximación “de campo medio” Cálculo de la degeneración:

Patrón dominante N par: m=(N+1)/2 N impar: m=(N+2)/2 y m=N/2

Desaparición de patrones Desaparece !!

Desorden topológico (PRE 62 (2000) 5565) e>0 Sincronización

Medida de la sincronización: T tiempo de sincronización

Redes aleatorias ( N nodos, l conexiones) Estudiando como escala T con los parámetros de la red se obtiene la ley de escala:

Redes parcialmente desordenadas Caracterizamos el grado de desorden topológico de la red mediante un parámetro p (reconexionado) (Watts, Strogatz) p=0 p=1

Orden y desorden

Simulaciones (T vs p) Dispersión en el número de vecinos “Frustración dinámica” que impide una sincronización eficiente Normalicemos los acoplamientos para compensar la frustración

Conclusiones Diferentes comportamientos espaciotemporales, obtenidos a partir de reglas muy sencillas Criticalidad auto-organizada Sincronización Formación de estructuras Mediante simulaciones y resultados analíticos exactos y de “campo medio”