Signaux et Systmes Points de repre Taalabi M

Signaux et Systèmes Points de repère Taalabi M. 12/17/2021 signaux et systèmes 1

Contenu • Systèmes Continus…………. 3 • Signaux, continus et discrets • Systèmes discrets 12/17/2021 signaux et systèmes 2

Systèmes Continus 12/17/2021 signaux et systèmes 3

Systèmes Continus Contenu • Introduction • Analyse temporelle • Analyse fréquentielle • Représentation d’état 12/17/2021 signaux et systèmes 4

Introduction Contenu • Système ? • Définition d’un système LTI • Exemples 12/17/2021 signaux et systèmes 5

Introduction Système ? • Système ? Un système est constitué d’éléments, régis par des lois physiques, et destiné à réaliser une certaine fonction. • Exemples Un pont métallique Une résistance électrique Une chaudière Un robot Un réservoir d’eau Un satellite sur orbite … 12/17/2021 signaux et systèmes 6

Introduction Système ? À propos des Entrées / sorties • Selon ce qu’on attend d’un système, on définit la ou les sorties d’un système. • L’entrée du système est alors définie comme la grandeur qui permet d’agir, d’une manière volontaire sur la sortie de ce système. 12/17/2021 signaux et systèmes 7

Introduction Définitions • • Système continu Système linéaire Système invariant Système mono variable / multivariable Système non linéaire Système causal / non causal Système à retard • La réalité industrielle 12/17/2021 signaux et systèmes 8

Analyse temporelle Contenu • • • Équations différentielles Exemples Signaux d’analyse Convolution Exemples Caractéristiques temporelles 12/17/2021 signaux et systèmes 9

Analyse temporelle Equations différentielles • Système LTI…Equations différentielles: Un système continu, linéaire, invariant est régit par une équation différentielle à coefficients constants. • Exemple circuit électrique Considérer un circuit RLC, et trouver l’équation qui régit l’évolution de la tension de sortie (aux bornes de C), en fonction de la tension d’entrée. 12/17/2021 signaux et systèmes 10

Analyse temporelle Equations différentielles • Exemple mécanique On fait glisser un cube, sur une surface plane, par application d’une force F. On suppose des frottements linéaires. Trouver l’équation qui régit le mouvement du cube • Exercice 12/17/2021 signaux et systèmes 11

Analyse temporelle Signaux d’analyse • Impulsion de Dirac • Echelon • Rampe • sinusoïde 12/17/2021 signaux et systèmes 12

Analyse temporelle Convolution Trouver la sortie d’un système LTI, en réponse à une entrée • cas d’une entrée en Dirac • cas d’une entrée quelconque • exemple 12/17/2021 signaux et systèmes 13

Analyse temporelle Caractéristiques temporelles Caractériser la réponse d’un système LTI en réponse indicielle • Caractéristiques statiques • Caractéristiques dynamiques: dépassement, temps de réponse. . 12/17/2021 signaux et systèmes 14

Analyse fréquentielle Contenu • • • Transformée de Laplace (Rappel) Fonction de transfert Exemples Pôles, zéros et stabilité Analyse fréquentielle en régime permanent Diagrammes fréquentiels Performances fréquentiels: cas d’un second ordre Schema-blocs, interconnexions Simulation analogique 12/17/2021 signaux et systèmes 15

Analyse fréquentielle Transformée de Laplace (rappel) • Outil pour l’analyse fréquentielle • Propriétés: dérivée, retard, théorème de la valeur finale… 12/17/2021 signaux et systèmes 16

Analyse Fréquentielle Fonction de transfert ( ou Transmittance ) • Équations différentielles Transmittance • Conditions initiales ? 12/17/2021 signaux et systèmes 17

Analyse fréquentielle Exemples • Électrique • Mécanique 12/17/2021 signaux et systèmes 18

Analyse fréquentielle Pôles, zéros et stabilité • • • Caractériser une transmittance Gain statique Pôles et zéro Domaine de stabilité Systèmes à non minimum de phase 12/17/2021 signaux et systèmes 19

Analyse fréquentielle Analyse Harmonique (Ou Analyse fréquentielle en régime permanent) • Considérer un système LTI : G(p) • Entrée: signal sinusoïdal • Calculer la sortie en régime permanent G(jw) 12/17/2021 signaux et systèmes 20

Analyse fréquentielle Diagrammes fréquentiels Représenter G(jw) • Diagramme de Bode: module en décibel en fonction de w et phase en degré en fonction de w Échelle logarithmique pour w • Étude de cas • Exercices 12/17/2021 signaux et systèmes 21

Analyse fréquentielle Diagrammes fréquentiels Représenter G(jw) • Diagramme de Nyquist: Partie imaginaire en fonction de la partie réelle. • Étude de cas • Exercices 12/17/2021 signaux et systèmes 22

Analyse fréquentielle Diagrammes fréquentiels Représenter G(jw) • Diagramme de Black: Module en décibel en fonction de la phase en degré • Étude de cas • Exercices 12/17/2021 signaux et systèmes 23

Analyse fréquentielle Performances fréquentiels • Gain et pulsation de résonance • Bande passante 12/17/2021 signaux et systèmes 24

Analyse fréquentielle Performances fréquentiels • Cas d’un second ordre Gain de résonance pulsation de résonance Bande passante 12/17/2021 signaux et systèmes 25

Analyse fréquentielle Schema-blocs, Interconnexions • Cascade • Feed-back • Feed-forward 12/17/2021 signaux et systèmes 26

Analyse fréquentielle Simulation analogique Objectif: Réaliser une fonction de transfert, à partir • d’Integrateurs, • de multiplicateurs par une constante et • de sommateurs 12/17/2021 signaux et systèmes 27

Analyse Fréquentielle Simulation analogique • • Réalisation d’un premier ordre Réalisation d’un second ordre Réalisation d’un ordre quelconque … autre approche 12/17/2021 signaux et systèmes 28

Représentation d’Etat Motivations • Conditions initiales • Cas multivariable • Exemples 12/17/2021 signaux et systèmes 29

Représentation d’Etat Matrice de transition d’état ( State transition Matrix ) • • Définition Calcul … deux approches Propriétés Exemple 12/17/2021 signaux et systèmes 30

Représentation d’Etat Résoudre l’équation d’état • • • Solution de l’équation homogène Solution particulière Solution globale 12/17/2021 signaux et systèmes 31

Représentation d’Etat Passage d’une transmittance à une représentation d’état • Approches • Exemples 12/17/2021 signaux et systèmes 32

Représentation d’Etat Passage d’une représentation d’état à une transmittance • Approche • Exemples 12/17/2021 signaux et systèmes 33

Représentation d’Etat Réalisation d’un système à partir de sa représentation d’état • Exemples 12/17/2021 signaux et systèmes 34

Représentation d’État Commandabilité • • • Définition Condition de Commandabilité exemple 12/17/2021 signaux et systèmes 35

Représentation d’Etat Observabilité • • • Définition Condition d’Observabilité Exemple 12/17/2021 signaux et systèmes 36

Signaux: continus et discrets 12/17/2021 signaux et systèmes 37

Contenu 1 - Introduction: 2 - Séries de Fourier 3 - Transformée de Fourier 4 - Echantillonnage et reconstitution du signal 5 - Transformée de Fourier discrète (DFT) 12/17/2021 signaux et systèmes 38

Introduction Contenu • • Classification Energy normes Operations: shift & scale 12/17/2021 signaux et systèmes 39

Introduction Classification • causal 12/17/2021 signaux et systèmes 40

Introduction • Energie 12/17/2021 signaux et systèmes 41

Introduction • Normes 12/17/2021 signaux et systèmes 42

Introduction • Operations: shift & scale 12/17/2021 signaux et systèmes 43

Séries de Fourier spectre discret • Signal périodique 12/17/2021 signaux et systèmes 44

Séries de Fourier • exemple: 12/17/2021 signaux et systèmes 45

Transformée de Fourier • Cas d’un signal non périodique 12/17/2021 signaux et systèmes 46

Transformée de Fourier • exemple: 12/17/2021 signaux et systèmes 47

Transformée de Fourier • Propriétés: 12/17/2021 signaux et systèmes 48

Echantillonnage et reconstitution du signal • • • Motivations Spectre discret forme 1 Spectre discret forme 2 Théorème de Shannon Reconstitution du signal 12/17/2021 signaux et systèmes 49

Echantillonnage et reconstitution du signal • Motivations 12/17/2021 signaux et systèmes 50

Echantillonnage et reconstitution du signal • Spectre discret forme 1 12/17/2021 signaux et systèmes 51

Echantillonnage et reconstitution du signal • Spectre discret forme 2 12/17/2021 signaux et systèmes 52

Echantillonnage et reconstitution du signal • Théorème de Shannon 12/17/2021 signaux et systèmes 53

Echantillonnage et reconstitution du signal • Reconstitution du signal 12/17/2021 signaux et systèmes 54

Systèmes discrets 12/17/2021 signaux et systèmes 55

Systèmes discrets contenu • • Motivations Rappel: spectre discret d’un signal Transformée en z Transmittance discrète Réalisation d’une transmittance discrète Représentation d’état discrète Équivalence analogique numérique Transformée en z modifiée 12/17/2021 signaux et systèmes 56

Systèmes discrets Motivations • Contrôle de procédés par calculateur: Industries chimiques: PH, débit, concentration servomécanismes: robots Irrigation Pilotage automatique d’avion 12/17/2021 signaux et systèmes 57

Systèmes discrets Motivations • NTIC et Supervision de procédés Systèmes de supervision Commande de procédés à distance 12/17/2021 signaux et systèmes 58

Systèmes discrets • Rappel: spectre discret d’un signal r(t) signal continu R(p) spectre continu r(k. T) signal discret R*(p) spectre discret R*(p) = S r(k. T) exp(-k. Tp) 12/17/2021 signaux et systèmes 59

Systèmes discrets Transformée en z • Changement de variable dans R*(p): z = exp(T. p) 12/17/2021 signaux et systèmes 60

Systèmes discrets Transformée en z Calcul: • méthode directe • méthode des résidus: RQ: si p est pôle de R(p), exp(Tp) est pôle de R(z) 12/17/2021 signaux et systèmes 61

Systèmes discrets Transformée en z Correspondance entre pôles Plan R(p) Plan R*(p) Plan R(z) 12/17/2021 signaux et systèmes 62

Systèmes discrets Transformée en z Propriétés • • • Linéarité Convolution Translation dans le temps 12/17/2021 signaux et systèmes 63

Systèmes discrets Transformée en z inverse A partir de R(z), trouver r(k. T) • Rôle de la région de convergence • décomposition en éléments simples • Division euclidienne 12/17/2021 signaux et systèmes 64

Systèmes discrets Transmittance discrète Echantilloner un produit • Théorème: si S(z) = G(z). E*(z) alors • S*(z) = G*(z). E*(z) exemples 12/17/2021 signaux et systèmes 65

Systèmes discrets Transmittance discrète Système échantillonné • Cas du contrôle de procédés par calculateur • Co-existence de signaux continus et discrets 12/17/2021 signaux et systèmes 66

Systèmes discrets Transmittance discrète Étude de cas • Calcul de la transmittance en boucle fermée de quelques schémas blocs 12/17/2021 signaux et systèmes 67

Systèmes discrets Réalisation d’une transmittance discrète Réalisation programmée • Équations aux différences 12/17/2021 signaux et systèmes 68

Systèmes discrets Réalisation d’une transmittance discrète Réalisation à partir de • Additionneurs / soustracteurs • Éléments retard 12/17/2021 signaux et systèmes 69

Systèmes discrets Représentation d’état discrète • Représentation d’état discrète 12/17/2021 signaux et systèmes 70

Systèmes discrets Équivalence analogique numérique • Équivalence analogique numérique 12/17/2021 signaux et systèmes 71

Systèmes discrets Transformée en z modifiée • Transformée en z modifiée 12/17/2021 signaux et systèmes 72

Références [1] Martin Schetzen Linear Time-Invariant Systems 2002 [2] B. C. Kuo ' Digital Control Systems' HRW Series many editions [3] Chi-Tsong Chen ' Linear System Theory and Design' Saunders College Publishing many editions 12/17/2021 signaux et systèmes 73

Références [4] William D. Stanley ' Digital Signal Processing' Prentice Hall many editions [5] Zelazny, Giri, Bennani ' Systèmes asservis: Commande et Régulation Tome 1: Représentation, Analyse, Performances ' Editions Wallada 12/17/2021 signaux et systèmes 74