Signali i sustavi AUDITORNE VJEBE 9 LSS FERZESOI
Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 9 LS&S FER-ZESOI
Diskretni signali x(t) t diskretizacija amplitude x(t) t t diskretizacija vremena i (vrem. diskretni signal) amplitude (digitalni signal)
Diskretni signali • Uobičajena interpretacija diskretnog signala: {u(tk) | k Î Z}. • Ako govorimo o vremenskim signalima, nezavisnu varijablu možemo označiti sa tk. • Nezavisna varijabla poprima diskretne vrijednosti. • Primjer diskretnog signala: u(t 0) u(t 2) u(t– 3) u(t 3) t– 1 t 1 u(t 4) tk t 0 t– 3 t– 2 u(t ) t 2 t 3 t 4 – 1 u(t 1)
Diskretni signali • Diskretni signal je definiran samo u diskretnim trenucima tk. • Korisno je interpretirati ga kao niz brojeva. . u(t– 2), u(t– 1), u(t 0), u(t 1), u(t 2), poredanih kako to određuje nezavisna varijabla. • Često diskretni signali nastaju otipkavanjem kontinuiranih signala. • Trenutna vrijednost diskretnog signala u u(tk) naziva se uzorkom signala u trenutku tk. • U primjeru radilo se o diskretnom signalu čiji uzorci nisu ekvidistantno raspodijeljeni na osi tk.
Diskretni signali • Radi jednostavnosti, obično se koriste signali čiji su uzorci ekvidistantni. • Tada diskretni signal označavamo sa u(k) umjesto u(tk). • Varijablu k obično nazivamo diskretna vremenska varijabla. • Čest je naziv i varijabla koraka, pa se kaže da je u(k) vrijednost diskretnog signala u koraku k.
Diskretni signali • Primjer ekvidistantnog diskretnog signala: u(t– 3) t– 3 t– 2 u(t– 2) u(t 0) t– 1 u(t– 1) u(t 2) u(t 3) t 1 t 0 t 2 u(t 1) t 3 u(t 4) t 4 tk
Diskretni signali • Ovaj niz možemo prikazati i nizom brojeva: . . . u(– 3) = 1 u(– 2) = 2 u(– 1) = – 0, 5 u(0) = 2, 5 u(1) = – 1, 5 u(2) = 2 u(3) = 1 u(4) = 0, 5 Uočimo konvenciju: . . . uzorak k=0 potcrtamo! • odnosno: • { u(k) } = {. . . , 1, 2, – 0. 5, 2. 5, – 1. 5, 2, 1, 0. 5, . . . }
Elementarni diskretni signali Jedinični impuls • Diskretni niz Kroneckerov delta ili jedinični impuls definira se kao: d(k) 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 k
Elementarni diskretni signali Jedinična stepenica • Ovaj diskretni signal definira se kao: s(k) 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 k
Elementarni diskretni signali Jedinična kosina • Definira se kao: r(k) 4 3 2 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 k
Diskretna jedinična stepenica i kosina kao rezultat otipkavanja kontinuirane stepenice i kosine • Kontinuirana jedinična stepenica i kosina definirane su kao:
Diskretni signali kao rezultat otipkavanja • Nezavisna varijabla t poprima vrijednosti iz R. • Diskretizaciju signala postižemo otipkavanjem tj. definiranjem signala u trenucima t = k. T. • Pretpostavljeno je uniformno otipkavanje: • T je vremenski razmak između uzoraka, • k Î Z. • Model postupka otipkavanja može se prikazati slikom: u(t) u(k. T)
Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Polazimo od kontinuirane jedinične stepenice s(t). • Otipkamo je - tj. promatramo vrijednosti s(t) samo u diskretnim trenucima t = k. T.
Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Slijedeće slike prikazuju otipkavanje kontinuirane stepenice za različite vrijednosti perioda T: s(t) 1 t – 2 – 1 0 T = 1 s 1 1 2 s(k. T) – 4 4 5 6 7 8 k. T – 2 – 1 0 1 2 s(k. T) T = 0, 25 s – 8 3 01234 8 3 4 5 6 7 8 k. T 12 16 20 24 28 32
Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja s(t) 1 t – 2 – 1 0 T = 1 s 1 mjerna jedinica: sekunde 1 2 s(k. T) – 4 4 5 6 7 8 k. T – 2 – 1 0 1 2 s(k. T) T = 0, 25 s – 8 3 01234 8 3 4 5 6 7 8 k. T 12 16 20 24 28 32
Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Radi jednostavnijeg opisivanja diskretnih signala, izostavljamo T, te se umjesto u(k. T) pišemo samo u(k). • Diskretne nizove crtamo prikazujući u(k) kao funkciju uzoraka k, a ne kao u(k. T). 1 nisu više sekunde! s(k) – 2 – 1 0 k 1 2 3 4 5 6 7 8
Jedinična stepenica kao rezultat otipkavanja • Bez obzira na odabrani T niz s(k) možemo prikazati i na slijedeće načine: • {s(k)} = {. . . , 0, 0, 0, 1, 1, . . . }, ili: • Naravno, želimo li ove signale prikazati u stvarnoj vremenskoj skali, treba uzeti u obzir vrijednost T (period otipkavanja).
Jedinična kosina kao rezultat otipkavanja • Slično se može razmatrati i otipkavanje jedinične kosine, za t = k. T slijedi: tj. r(t) 4 3 2 1 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 t 1 2 3 4 5
Jedinična kosina kao rezultat otipkavanja r(k) 4 3 T=1 2 1 Ista kosina r(t) otipkana različitim periodom rezultira – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 različitim nizom r(k) 4 brojeva! k 2 3 4 5 T=2 2 k – 2 – 1 0 1 2
Diskretna kompleksna eksponencijala • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala: • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw. • Otipkamo x(t) u trenucima t = k. T: z
Diskretna kompleksna eksponencijala • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala: • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw. • Otipkamo x(t) u trenucima t = k. T: z
Diskretna kompleksna eksponencijala • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala: • gdje je s kompleksna frekvencija: s = s + jw. • Otipkamo x(t) u trenucima t = k. T: z
Diskretna kompleksna eksponencijala • Dobiveni niz brojeva x(k)=zk je diskretna kompleksna eksponencijala. • Uočimo da je x(k. T) zamijenjeno s x(k), vodeći računa da je razmak među uzorcima jednak T sekundi. • Radi lakšeg i preglednijeg pisanja es. T zamijenjeno je sa z. • Oblik diskretne eksponencijale određen je položajem kompleksne frekvencije z u Z ravnini. Ovo ćemo kasnije ilustrirati primjerima.
Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose:
Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose: s = s + jw
Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažemo li kompleksnu varijablu z u polarnom obliku dobit ćemo slijedeće odnose: Ovi izrazi definiraju vezu svakog s i svakog z tj. preslikavanje S ravnine u Z ravninu
Diskretna kompleksna eksponencijala Nacrtajmo S i Z ravninu. jw S s Z
Diskretna kompleksna eksponencijala • Kontinuirana eksponencijala ejw. T periodična je sa 2 p/T - ucrtajmo pojaseve širine 2 p/T u ravnini S. • Svaki od pojasa preslikava se na cijelu ravninu Z (q = wt napravi “puni krug”) ! jw 3 p/T Z S p/T s -p/T -3 p/T 2 p/T
Diskretna kompleksna eksponencijala • Lijeva poluravnina preslikava se unutar jedinične kružnice u ravnini z, a desna poluravnina izvan. 3 p/T jw S s 1 -p/T -3 p/T Z 2 p/T
Diskretna kompleksna eksponencijala • Točke x i y u S ravnini preslikavaju se u istu točku u Z ravnini. • Znači da postoji više različitih kontinuiranih eksponencijala koje otipkavanjem daju isti diskretni niz! jw 3 p/T Z y S x r p/T q x s 1 -p/T 2 p/T -3 p/T
Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjeri kompleksne diskretne eksponencijale: (napomena: u svim primjerima pretpostavlja se da je T=1). 1. Primjer Z z 1 = r 1 e jq = 0, 7
Diskretna kompleksna eksponencijala • Za zadani z 1 diskretna eksponencijala je oblika: x 1(k) = z 1 k = r 1 k = 0, 7 k. • Ovu eksponencijalu moguće je prikazati kao niz brojeva: • {x 1(k)} = {. . . , 0, 1, 0. 7, 0. 49, 0. 343, 0. 24, 0. 168, 0. 118, 0. 082, . . . } x 1(k) • Grafički: 1 k – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna. Þ
Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna. Þ
Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna. Þ jw S s -0, 35667 i konačno:
Diskretna kompleksna eksponencijala 2. Primjer z 2 = 0, 7 ejp • Odgovarajuća diskretna eksponencijala je oblika: • x 2(k) = z 2 k • = (0, 7 ejp)k = 0, 7 kejpk • x 2(k) = 0, 7 k cos pk • = 0, 7 k (– 1)k = (– 0, 7)k Z z 2
Diskretna kompleksna eksponencijala • odnosno: • {x 2(k)} = {1, – 0. 7, 0. 49, – 0. 343, 0. 24, -0. 168, . . . } x 2(k) 1 1 0 3 2 5 4 7 6 k 8
Diskretna kompleksna eksponencijala 3. Primjer • z 3 = e±jp/6 • U ovom je slučaju diskretna eksponencijala oblika: Z z 3* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 3. Primjer • z 3 = e±jp/6 • U ovom je slučaju diskretna eksponencijala oblika: Z z 3* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 3. Primjer • z 3 = e±jp/6 • U ovom je slučaju diskretna eksponencijala oblika: Z z 3* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 1 • Ista eksponencijala kao niz brojeva: • {x 3(k)} = {1, 0. 866, 0. 5, 0, – 0. 5, – 0. 866, – 1, – 0. 866, – 0. 5, 0, 0. 5, . . . } x 3(k) k 0 • Radi se o diskretnoj kosinusoidi koja je nastala otipkavanjem kontinuirane svakih p/6 radijana.
Diskretna kompleksna eksponencijala 4. Primjer z 4 = ejp • x 4(k) = z 4 k = ejpk = = cos pk = (– 1)k • I ovdje se radi o diskretnoj z 4 kosinusoidi, a period otipkavanja je p radijana • x 4(k) = {1, – 1, . . . } 1 0 – 1 x 4(k) 1 2 7 5 3 4 Z 6 k 8
Diskretna kompleksna eksponencijala 5. Primjer • x 5(k) = z 5 k = 1 k = cos 2 pk • Diskretna eksponencijala prelazi u jediničnu stepenicu nastalu otipkavanjem kosinusne funkcije s periodom otipkavanja 2 p radijana. • x 5(k) = {1, 1, 1, . . . } x 5(k) 1 0 1 2 3 4 z 5 = 1 Z z 5 k 5 6 7 8
Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z 6 = 0, 8 e±jp/6 Z z 6* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z 6 = 0, 8 e±jp/6 Z z 6* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z 6 = 0, 8 e±jp/6 Z z 6* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z 6 = 0, 8 e±jp/6 Z z 6* p/6
Diskretna kompleksna eksponencijala 6. Primjer • z 6 = 0, 8 e±jp/6 Z z 6 p/6 z 6* x 6(k) = {1, 0. 6928, 0. 32, 0, – 0. 2048, – 0. 284, – 0. 262, – 0. 18, 0. 083, . . . }
Diskretna kompleksna eksponencijala • Grafički: 1 x 3(k) k 0
Osnovne operacije na nizovima i elementi diskretnog sustava • • Zbroj nizova: {y(k)} = {u(k)} + {v(k)} Opći član: y(k) = u(k) + v(k) Element koji obavlja ovu operaciju zove se zbrajalo. Shematski prikaz: u(k) + v(k) y(k)
Operacije i elementi • • Produkt nizova: {y(k)} = {u(k)} × {v(k)} Opći član: y(k) = u(k) × v(k) za svaki kÎZ Shematski prikaz: u(k) × v(k) y(k)
Operacije i elementi • Množenje s konstantom: • {y(k)} = a × {u(k)} = {a × u(k)} • Opći član: y(k) = a × u(k) y(k) u(k) a
OPERACIJE S PAMĆENJEM (memorijske operacije) • OPERATOR POMAKA E ( pomak unaprijed - predikcija ) • Definira se kao: • E[ { u(k) } ] = { u(k +1) } • Blok dijagram : u(k) E u(k+1)
Operacije s pamćenjem, nastavak. . . • OPERATOR POMAKA E-1 (pomak unazad, kašnjenje ili pamćenje ) • Definira se kao: • E-1 [ { u(k) } ] = { u(k -1) } • Blok dijagram u(k) E-1 u(k-1)
Primjeri upotrebe operatora E i E-1 • a) y 1(k) = E[ d(k) ] = d(k+1) y 1(k) 1 -1 1 2 3 k
Primjeri upotrebe operatora E i E-1 • b) y 2(k) = E-1 [ d(k) ] = d(k-1) y 2(k) 1 -1 1 2 3 k
Primjeri upotrebe operatora E i E-1 • c) y 3(k) = E-1 [ s(k) ] = s(k-1) y 3(k) 1. . . -1 1 2 3 k
Primjeri upotrebe operatora E i E-1 • d) y 4(k) = E-3 [ s(k) ] • = E-1{ E-1[ E-1(s(k)) ] } • = s(k-3) y 4(k) 1. . . 1 2 3 k
- Slides: 58