Signali i sustavi Auditorne vjebe 9 Diskretni signali

Signali i sustavi Auditorne vježbe 9. Diskretni signali

Diskretizacija vremena amplituda 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n 2

Diskretizacija amplitude amplituda 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t 3

Diskretizacija vremena i amplitude amplituda 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n 4

Diskretni signali x(t) x[t] t kontinuirani signal t diskretizacija amplitude x(n) x[n] n diskretizacija vremena (vremenski diskretni signal) n diskretizacija vremena i amplitude (digitalni signal) 5

Vremenski diskretni (VD) signali • Uobičajena interpretacija vremenski diskretnog signala: {u(tn) | n Z} • Ako govorimo o vremenskim signalima, nezavisnu varijablu možemo označiti sa tn. • Nezavisna varijabla poprima diskretne vrijednosti. • Diskretni signal je definiran samo u diskretnim trenucima tn. 6

Vremenski diskretni signali • Korisno ga je interpretirati kao niz brojeva … u(t– 2), u(t– 1), u(t 0), u(t 1), u(t 2) … poredanih kako to određuje nezavisna varijabla. • Često diskretni signali nastaju otipkavanjem kontinuiranih signala. • Trenutna vrijednost diskretnog signala u(tn) naziva se uzorkom signala u trenutku tn. • Uzorci ne moraju biti jednoliko raspodijeljeni na osi tn. 7

Primjeri diskretizacije vremenske osi u(t– 3) u(t– 2) t– 1 t– 3 t– 2 u(t 2) u(t ) 3 u(t 0) u(t– 1) u(t 4) t 1 t 0 t 2 u(t 1) u(t– 3) u(t– 2) u(t 0) t 3 t 4 tn proizvoljna diskretizacija vremena u(t 2) u(t 3) u(t 4) t– 1 t– 3 t– 2 t 1 t 0 u(t– 1) t 2 u(t 1) t 3 t 4 tn ekvidistanta diskretizacija vremena 8

Ekvidistantni VD signali • Radi jednostavnosti obično se koriste signali čiji su uzorci ekvidistantni. • Tada diskretni signal označavamo sa u[n] umjesto u[tn]. • Varijablu n obično nazivamo diskretna vremenska varijabla. • Čest je naziv i varijabla koraka, pa se kaže da je u[n] vrijednost diskretnog signala u koraku n. 9

Ekvidistantni VD signali u(t– 3) u(t– 2) u(t 0) t– 1 t– 3 t– 2 t 1 t 0 u(t– 1) u(t 2) u(t 3) u(t 4) t 2 t 3 t 4 tn u(t 1) • Ovaj niz možemo prikazati kao: … u[– 3] = 1, u[– 2] = 2, u[– 1] = – 2, u[0] = 3, u[1] = – 2, u[2] = 2, u[3] = 1, u[4] = 2 … • Odnosno kao: u[n] = {… 1, 2, – 2, 3, – 2, 2, 1, 2 …} gdje je uzorak za n = 0 podcrtan (konvencija). 10

Elementarni diskretni signali • Jedinični impuls - Kroneckerov delta ili jedinični impuls definira se kao: d[n] 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 n 11

Elementarni diskretni signali • Jedinična stepenica - Heavisideov niz ili jedinična stepenica definira se kao: s[n] 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 n 12

Elementarni diskretni signali • Jedinična kosina - definira se kao: r[n] 4 3 2 1 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 n 13

Otipkavanje kontinuiranih signala • Diskretne signale možemo dobiti kao rezultat otipkavanja kontinuiranih signala. Kontinuirana jedinična stepenica i kosina Diskretna jedinična stepenica i kosina 14

Otipkavanje kontinuiranih signala • Nezavisna varijabla t poprima bilo koju vrijednosti iz skupa R. • Diskretizaciju signala postižemo otipkavanjem signala u trenucima t = n. T. • Pretpostavljeno je uniformno otipkavanje: – T je vremenski razmak između uzoraka, – n Z. • Model postupka otipkavanja može se prikazati slikom: u[n. T] u(t) 15

Otipkavanje jedinične stepenice • Polazimo od kontinuirane jedinične stepenice s(t). • Otipkamo je, točnije, promatramo njene vrijednosti s(t) samo u diskretnim trenucima t = n. T. 16

Otipkavanje jedinične stepenice • Otipkavanje kontinuirane stepenice za različite vrijednosti perioda T: Mjerna jedinica je sekunda! s(t) 1 t – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s[n. T] T=1 s 1 n. T – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s[n. T] T = 0, 25 s n. T – 8 – 4 01234 8 12 16 20 24 28 32 17

Otipkavanje jedinične stepenice • Radi jednostavnijeg opisivanja diskretnih signala, izostavljamo T, te se umjesto u[n. T] pišemo samo u[n]. • Diskretne nizove crtamo prikazujući u[n] kao funkciju uzoraka n, a ne kao u[n. T]. 1 Nisu više sekunde! s[n] – 2 – 1 0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 18

Otipkavanje jedinične stepenice • Bez obzira na odabrani T niz s[n] možemo prikazati na slijedeće načine: s[n] = {… 0, 0, 0, 1, 1 …} • Naravno, želimo li ove signale prikazati u stvarnoj vremenskoj skali, treba uzeti u obzir vrijednost T (period otipkavanja). 19

Otipkavanje jedinične kosine • Slično se može razmatrati i otipkavanje jedinične kosine. Za t = n. T slijedi: r(t) 4 3 2 1 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 t 1 2 3 4 5 20

Ista kosina r(t) r[n] otipkana različitim periodom rezultira različitim nizom brojeva! 4 3 T=1 2 1 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 r[n] 4 n 2 3 4 5 T=2 2 n – 2 – 1 0 1 2 21

Diskretna kompleksna eksponencijala • Moguće ju je definirati kao diskretni signal dobiven otipkavanjem kontinuirane eksponencijale. • Neka je zadana kontinuirana kompleksna eksponencijala x(t) = est gdje je s = s + jw kompleksna frekvencija. • Otipkamo x(t) u trenucima t = n. T: x(t) = est = esn. T = (es. T)n = zn = x[n] • Pri tome je es. T zamijenjeno s z. 22

Diskretna kompleksna eksponencijala • Dobiveni niz brojeva x[n] = zn je diskretna kompleksna eksponencijala. • Uočimo da je x[n. T] zamijenjeno s x[n], vodeći računa da je razmak među uzorcima jednak T sekundi, te da je radi lakšeg i preglednijeg pisanja es. T zamijenjeno s z. • Oblik diskretne eksponencijale određen je položajem kompleksne frekvencije z u kompleksnoj ravnini. Ovo ćemo kasnije ilustrirati primjerima. 23

Diskretna kompleksna eksponencijala • Prikažimo kompleksnu varijablu z kao z = rejq (polarne kooridnate). Tada je: z = es. T ejw. T = rejq, pa je r = es. T i q = w. T 2 kp. • Ovi izrazi definiraju vezu svakog s i svakog z, tj. definiraju preslikavanje s-kompleksne ravnine u z-kompleksnu ravninu. 24

Diskretna kompleksna eksponencijala • Promotrimo preslikavanje z = es. T ejw. T. • Kompleksna eksponencijala periodična je sa periodom od 2 pj, pa je eksponecijala ejw. T periodična je sa periodom 2 p /T. U komplesnu ravninu s možemo ucrtati pojaseve širine 2 p /T. • Eksponencijala es. T je uvijek pozitivna. Jednaka je jedinici za s = 0, dok je za s < 0 manja od jedinice, a s > 0 veća od jedinice. 25

Diskretna kompleksna eksponencijala 3 p/T Svaki pojas se preslikava u kompleksnu ravninu z. jw p/T -3 p/T s 0 2 p/T 0 s-kompleksna ravnina z-kompleksna ravnina 26

Diskretna kompleksna eksponencijala Lijeva poluravnina preslikava se unutar jedinične kružnice u kompleksnoj ravnini z, a desna izvan. jw 2 p/T -p/T 0 s 0 1 s-kompleksna ravnina z-kompleksna ravnina 27

Diskretna kompleksna eksponencijala Različite točke u kompleksnoj ravnini s preslikavaju se u istu točku u kompleksnoj ravnini z. 3 p/T jw p/T -p/T 0 s r 0 q 1 -3 p/T s-kompleksna ravnina z-kompleksna ravnina 28

Diskretna kompleksna eksponencijala • Različite točke u kompleksnoj ravnini s preslikavaju se u istu točku u kompleksnoj ravnini z. • Znači da postoji više različitih kontinuiranih eksponencijala koje otipkavanjem daju isti diskretni niz! 29

Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjeri diskretne kompleksne eksponencijale: (u svim primjerima pretpostavlja se da je period otipkavanja T = 1). • Primjer 1. Neka je z 1 = 0, 7. 0 z 1 1 z-kompleksna ravnina 30

Diskretna kompleksna eksponencijala • Za zadani z 1 diskretna eksponencijala je oblika: x 1[n] = z 1 n = 0, 7 n. • Ovu eksponencijalu moguće je prikazati kao niz brojeva: x 1[n] = {… 0, 1, 0, 7, 0, 49, 0, 343, 0, 24, 0, 168, 0, 118, 0, 082 …} • Grafički: 1 x 1[n] n – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 31

Diskretna kompleksna eksponencijala • Odredimo kontinuiranu eksponencijalu čijim bi se otipkavanjem dobila naša diskretna. jw -0, 35667 0 s 32

Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjer 2. Neka je z 2 = 0, 7 ejp. z 2 0 1 z-ravnina • Odgovarajuća diskretna eksponencijala je oblika: x 2[n] = z 2 n = (0, 7 ejp)n = 0, 7 nejpn = = 0, 7 n cos(pn) = 0, 7 n (– 1)n = (– 0, 7)n 33

Diskretna kompleksna eksponencijala • Možemo je prikazati kao skup i grafički: x 2[n] = {… 1, – 0, 7, 0, 49, – 0, 343, 0, 24, -0, 68 …} x 2[n] 1 1 0 3 2 5 4 7 6 n 8 34

Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjer 3. Neka je z 3 = z 3 e jp/6. 0 p/6 1 z 3* z-ravnina • U ovom je slučaju diskretna eksponencijala oblika: 35

Diskretna kompleksna eksponencijala • Ista eksponencijala kao niz brojeva: x 3[n] = {… 1, 0, 866, 0, 5, 0, – 0, 5, – 0, 866, – 1, – 0, 866, – 0, 5, 0, 0, 5 …} 1 x 3[n] n 0 Radi se o diskretnoj kosinusoidi koja je nastala otipkavanjem kontinuirane svakih p/6 radijana. 36

Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjer 4. • Neka je z 4 = ejp. z 4 0 1 • x 4[n] = = z-ravnina = cos(pn) = (– 1)n • x 4[n] = {… 1, – 1, 1, – 1 …} z 4 n 1 0 – 1 x 4[n] 1 ejpn 2 7 5 3 4 6 n 8 I ovdje se radi o diskretnoj kosinusoidi, a period otipkavanja je p radijana. 37

Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjer 5. • Neka je z 5 = 1. • x 5[n] = z 5 n = 1 n = cos(2 pn) • Diskretna eksponencijala prelazi u jediničnu stepenicu nastalu otipkavanjem kosinusa s periodom otipkavanja 2 p radijana. • x 5[n] = {… 1, 1, 1, …} x 5[n] 1 0 1 n 2 3 4 5 6 7 8 38

Diskretna kompleksna eksponencijala • Primjer 6. Neka je z 6 = z 6 0, 8 e jp/6. 0 p/6 1 z 6* z-ravnina 39

Diskretna kompleksna eksponencijala • Možemo je prikazati kao skup i grafički: x 6[n] = {… 1, 0, 6928, 0, 32, 0, – 0, 2048, – 0, 284, – 0, 262, – 0, 18, 0, 083 …} 1 x 3[n] n 0 40

Osnovne operacije na nizovima • Definirajmo osnovne binarne operacije na nizovima u[n] i v[n]. • Zbroj nizova: • Opći član: y[n] = u[n] + v[n], n Z • Element koji obavlja ovu operaciju zove se zbrajalo. Shematski prikaz: u[n] + v[n] y[n] 41

Osnovne operacije na nizovima • Produkt nizova: • Opći član: y[n] = u[n] · v[n], n Z • Element koji obavlja ovu operaciju zove se množilo. Shematski prikaz: u[n] × y[n] v[n] 42

Osnovne operacije na nizovima • Množenje niza s konstantom: • Opći član: y[n] = a · u[n], n Z • Element koji obavlja ovu operaciju zove se pojačalo. Shematski prikaz: y[n] u[n] a 43

Operacije s pamćenjem • Operator pomaka E: • Pomak unaprijed ili predikcija definira se kao: y[n] = E[ u[n] ] = u[n + 1] • Operacija pomaka niza unaprijed traži nekauzalan sustav pa je neostvariva. • Blok dijagram: u[n] E y[n] 44

Operacije s pamćenjem • Operator pomaka E– 1: • Pomak unazad, kašnjenje ili pamćenje definira se kao: y[n] = E– 1[ u[n] ] = u[n – 1] • Blok dijagram u[n] E– 1 y[n] 45

Primjeri upotrebe operatora E i E– 1 • Primjer 1: y 1[n] 1 y 1[n] = E[d[n]] = d(n + 1) – 1 1 2 3 n • Primjer 2: y 2[n] = E– 1[d[n]] = d(n – 1) 1 – 1 y 2[n] 1 2 3 n 46

Primjeri upotrebe operatora E i E– 1 • Primjer 3: y 3[n] = E– 1[s[n]] = s(n – 1) 1. . . – 1 1 2 3 n • Primjer 4: y 4[n] = E– 3[s[n]] = E– 1[E– 1[s[n]]]] = s(n – 3) 1 y 4[n]. . . 1 2 3 n 47