Signali i sustavi AUDITORNE VJEBE 3 LSS FERZESOI
Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 3 LS&S FER-ZESOI
Linearnost bezmemorijskih kontinuiranih sustava Def. 1. u Sustav y = f(x) je linearan ako je: f(ax 1 + bx 2) = af(x 1) + bf(x 2) " a, b, x 1, x 2 ÎR u Ako je svaki funkcijski blok sustava linearan i sustav je linearan, tada kažemo da je sustav operacijski i strukturno linearan. u Obrat ne vrijedi!
Linearnost bezmemorijskih kontinuiranih sustava u Ako je sustav linearan ne mora biti sastavljen od linearnih funkcijskih blokova. u Za takav sustav kažemo da je operacijski linearan.
Primjer 1. x y y=x f(ax 1 + bx 2) = = ax 1 + bx 2 = af(x 1) + bf(x 2) Sustav je linearan operacijski i strukturno.
Što je sa sustavima sa više ulaza? Def. 2. u Sustav y = f(x 1, x 2) s više ulaza je linearan ako je: f(aq 1 + bp 1, aq 2 + bp 2) = af(q 1, q 2) + bf(p 1, p 2)
Primjer 1. x 1 ( )2 x x 2 Ö y = f(x 1, x 2) ( )2 f (aq 1 + bp 1, aq 2 + bp 2) = (aq 1 + bp 1)(aq 2 + bp 2) (1) af (q 1, q 2) + bf (p 1, p 2) = aq 1 q 2 + bp 1 p 2 (2) (1) ¹ (2) Sustav nije linearan ni operacijski niti strukturno
Primjer 2. x 1 2( ) x x 2 2( ) log 2( ) y
Primjer 2. - nastavak f (aq 1 + bp 1, aq 2 + bp 2) = = aq 1 + bp 1 + aq 2 + bp 2 = a (q 1 + q 2) + b (p 1 + p 2) = a f (q 1, q 2) + b f(p 1, p 2) u Sustav je linearan i to operacijski, a ne strukturno.
Pravila iz algebre funkcijskih blokova Kaskada g 1 g 2 º g 2 g 1 + º g 1 + g 2 Paralela g 1 g 2
Pravila iz algebre funkcijskih blokova Povratna veza + g 1 1 + g 1 g 2 º · g 2 (1 + g 1 g 2) ¹ 0 Točka račvanja udesno x 1 x 2 g º x 1 g g¹ 0 1 g x 2
Pravila iz algebre funkcijskih blokova Točka račvanja ulijevo x 1 g x 2 x 1 º g g x 2 Točka sumacije udesno x 1 g + x 2 º x 2 x 1 g linearan g + g x 2
Pravila iz algebre funkcijskih blokova Točka sumacije ulijevo x 1 g º + x 2 x 1 g + 1 g x 2 g linearan i $ g-1
Primjer: Primjenom pravila sažeti blok dijagram pomak sumacije ulijevo h 4 3 x + - h 1 + - h 2 h 3 2 h 5 1 y kaskada pomak čvora (račvanje udesno)
Primjer - nastavak h 4 h 1 x + - 4 h 1 kaskada h 2 h 3 h 5 h 3 paralela y
Primjer - nastavak x + y - h 1 h 2 h 3 h 5 h 4 + h 3 h 1 x 6 h 1 h 2 h 3 1 + h 1 h 2 h 5 + h 2 h 3 h 4 povratna veza y
Sustavi prvog reda 1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav prvog reda + C + - i R u -
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda + dq dt - 1 RC q
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda + dq dt - u q 1 C 1 RC
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda + dq dt - u q 1 C 1 RC
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda + dq dt - u q 1 C 1 RC q t
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
1. Linearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda
2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda c + R
2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda
2. Linearan vremenski promjenjiv sustav prvog reda u(t) Domaća zadaća: k=0, 5 U 0 k=0, 25 1 2 3 4 t
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Primjer 1. . x v x Diferenc. jednadžba koja opisuje sustav: f(x) Neka je f(x) nelinearna funkcija, aproksimirana pravcima po odsječcima.
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Primjer 1. . x 1 x -2 v f(x) 1 -1 -1 2 x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda. x v x f(x) 1 -2 1 -1 -1 x - stanje sustava dx/dt - brzina promjene stanja sign(dx/dt) - smjer promjene stanja 2 x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda. x v x f(x) 1 -2 1 -1 -1 Točke Xi za koje vrijedi da je: nazivaju se točke ravnoteže; u njima nema promjene stanja sustava! 2 x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda. x v x 1 B A f(x) Koje su to točke? -2 C 1 -1 2 -1 su točke ravnoteže x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda. x v x 1 B A f(x) -2 C 1 -1 2 -1 Jesu li točke ravnoteže stabilne? Što se događa ako x “malo” izvedemo iz A, B, C? x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Točka ravnoteže xe je stabilna točka ako vrijedi: Točke x. A, x. C su stabilne točke. Točke x. B nije stabilna točka. (do istog zaključka možemo doći promatrajući predznak druge derivacije od x!)
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Početni uvjet x 0 = 0, 5 1 B A -2 x 0 -1 -1 Kako će se mijenjati stanje sustava? Kuda će “putovati” točka x? C 1 2 x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Početni uvjet x 0 = 0, 5 1 B A -2 x 0 -1 -1 Udesno! C 1 2 x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Početni uvjet x 0 = 0, 5 1 B A -2 Dva slučaja: C x 0 -1 1 2 -1 t 1 - trenutak dostizanja točke loma krivulje početni uvjet za drugi slučaj (jednadžbu) x
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda 1. slučaj: Homogena jednadžba: Rješenje je jednako rješenju homogene jednadžbe (nema pobude).
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda 2. slučaj: Homogena: Partikularno: Ukupno: Koliko je C? i konačno:
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda kada dostižemo točku loma?
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Grafički: x 2 1 x 0 = 0, 5 0, 7 t Točka loma (promjena dif. jednadžbe)
3. Nelinearan vremenski nepromjenjiv sustav 1. reda Stabilno stanje (C): x 2 1 x 0 = 0, 5 0, 7 t Točka loma (promjena dif. jednadžbe)
- Slides: 40