Signali i sustavi AUDITORNE VJEBE 14 LSS FERZESOI
Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 14 LS&S FER-ZESOI
Primjena Z transformacije • Odrediti analitički izraz za niz prikazan slikom: f(k) 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 • f(k) možemo prikazati kao niz impulsa: • Napravimo li Z–transformaciju ovog niza: k
Primjena Z transformacije • Odrediti analitički izraz za niz prikazan slikom: f(k) 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 • f(k) možemo prikazati kao niz impulsa: • Napravimo li Z–transformaciju ovog niza: k
Primjena Z transformacije • Dobivamo: • Analitički izraz za f(k) možemo dobiti inverznom Z–transformacijom ovog izraza. • Rastavimo ga zato na parcijalne razlomke.
Primjena Z transformacije • Pa je:
Prijelaz sa kontinuiranih na diskretne sustave • 1) Aproksimacijom derivacije kontinuirani signal (k– 1)T k. T (k+1)T diskretni vremenski trenuci t
Prijelaz sa kontinuiranih na diskretne sustave • a) Eulerov algoritam (aproksimacija)
Eulerov algoritam WT s. T – 2 – 1 stabilno z Područje stabilnosti s. T Eulerova algoritma – područje koje se u Z domeni preslikava unutar jedinične kružnice – 1 Područje stabilnosti diskretnog sustava
Eulerov algoritam Pol je u s = – 3, kontinuirani sustav je stabilan Za T=1: Pol je u z = – 2 Þ 2 e–jp, diskretan sustav nije stabilan
Eulerov algoritam • Razlog nestabilnost diskretnog sustava je u tome što se pol s = – 3 za period otipkavanja T = 1 nije našao u području stabilnosti Eulerova algoritma. WT s. T – 3 – 1 stabilno
Backward - Eulerov algoritam WT s. T 1 stabilno
Bilinearna transformacija WT s. T stabilno
Metoda jednakih impulsnih odziva • H(s)®L– 1®h(t)®t =k. T®h(k)®Z®H(z)
Zadatak 1. - Backward-Eulerov algoritam • Korištenjem obrnutog Eulerovog algoritma prevesti kontinuirani sustav y'' + 3 y' + 2 y = u(t) u diskretni. Period otipkavanja je T = 1.
Zadatak 1 - Backward-Eulerov algoritam Z–transformacija:
Zadatak 1 - Backward-Eulerov algoritam
Zadatak 1 - Backward-Eulerov algoritam
Zadatak 2 • Za kontinuirani sustav zadan slikom naći odgovarajući diskretni sustav koristeći Eulerovu transformaciju. • Period otipkavanja T=1. Nacrtati diskretni sustav i obrazložiti stabilnost sustava. s 2 Y(s) U(s) s. Y(s) + ò ò – u – y 2 8
Zadatak 2 - Eulerova transformacija s 1 – 1 jw s s s 2 Polovi su u lijevoj poluravnini, dakle, sustav je stabilan
Zadatak 2 - Eulerova transformacija • Eulerova transformacija
Zadatak 2 - Stabilnost Polovi su izvan jedinične kružnice, dakle, sustav je nestabilan z 1 – 1
Zadatak 2 - Stabilnost • Razlog nestabilnosti diskretnog sustava: s 1 WT Polovi kontinuiranog sustava s. T nisu u području stabilnosti – 2 – 1 Eulerove metode, te je iz tog razloga odgovarajući s 2 diskretni sustav nestabilan područje stabilnosti Eulerove metode
Zadatak 2 -blokovski prikaz diskretnog sustava U(z) + z 2 Y(z) – Z– 1 z. Y(z) 7 Z– 1 Y(z)
Zadatak 3 • Zadan je kontinuirani sustav y''(t) – 2 y '(t) – 3 y(t) = u(t) Korištenjem Backward-Eulerove transformacije, uz T = 1, preći na diskretni sustav. Naći impulsni odziv diskretnog sustava. Obrazložiti stabilnost sustava.
Zadatak 3 - Stabilnost kont. sustava? • s 1 = – 1, s 2 = 3 jw – 1 s 1 3 s 2 s Područje stabilnosti kontinuiranog sustava Kontinuirani sustav nije stabilan jer nisu svi polovi u lijevoj poluravnini
Zadatak 3 • Backward-Eulerova transformacija
Zadatak 3
Zadatak 3 • Polovi diskretnog sustava: 1 – 1 z 2 z 1 1 – 1 područje stabilnosti diskretnog sustava diskretan sustav je stabilan jer se svi polovi nalaze unutar jedinične kružnice
Zadatak 3 • Razlog stabilnosti diskretnog sustava WT područje stabilnosti diskretnog sustava s 1 1 s 3 s. T
Zadatak 4 • Zadan je kontinuirani sustav s prijenosnom funkcijom H(s) = 2/(s+1) Odrediti: • a) Impulsni odziv diskretnog sustava dobivenog bilinearnom transformacijom, period otipkavanja T = 1 • b) Transfer funkciju diskretnog sustava, koji bi imao isti impulsni odziv kao i kontinuirani sustav u točkama t = k. T
Zadatak 4 - a) Bilinearna transformacija
Zadatak 4 - a) Bilinearna transformacija
Zadatak 4 -b) Metoda jednakih impuls. odziva • metoda jednakih impulsnih odziva • t = k. T
- Slides: 33