Signali i sustavi AUDITORNE VJEBE 13 LSS FERZESOI
Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 13 LS&S FER-ZESOI
Primjena Z transformacije u rješavanju jednadžbi diferencija • Zadatak 1: Diskretni sustav je određen sljedećom jednadžbom diferencija: • y(k+2) – 3 y(k+1) + 2 y(k) = 2 u(k+1) – 2 u(k). • Naći odziv ovog sustava na pobudu:
Primjena Z transformacije • Da bi odredili odziv ovog sustava (bilo kojom metodom), potrebno je poznavati 2 početna uvjeta. • Budući pobuda počinje u koraku nula, od interesa nam je i odziv od toga koraka, pa je za njegovo izračunavanje potrebno poznavati početne uvjete u y(– 1) i y(– 2). • Pretpostavimo da su y(– 1) ¹ 0 i y(– 2) ¹ 0 • Nađimo odziv sustava u Z domeni.
Primjena Z transformacije • Koristeći izraz za Z–transformaciju niza pomaknutog u lijevo: • transformiramo polaznu jednadžbu u:
Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta • pa je: • Očito je da sustav osim o pobudi ovisi i o y(0) i y(1). Ove vrijednosti su prva dva uzorka odziva i rezultat su doprinosa početnih stanja y(– 2) i y(– 1). • Za k=– 2 polazna jednadžba prelazi u:
Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta • pa je: • Za k=– 1 slijedi:
Izračunavanje y(0) i y(1) iz početnih uvjeta • pa je: • Za k=– 1 slijedi:
Primjena Z transformacije • Uvrstimo li y(0) i y(1) u izraz za Y(z) imamo: • pa konačno pišemo:
Primjena Z transformacije, drugi pristup • Na trenutak ćemo prekinuti rješavanje da bismo prikazali drugi pristup. • Izvršimo pomak zadane jednadžbe u vremenskoj skali uvodeći supstituciju k'=k+2. • y(k') – 3 y(k'– 1) + 2 y(k'– 2)=2 u(k'– 1) – 2 u(k'– 2). • Ovo je češći način pisanja jednadžbi diferencija (operator E-1 umjesto E !). • Ponovno ćemo odrediti Y(z) polazeći od ove nove jednadžbe. • Z–transformacija jednadžbe provodi se koristeći svojstvo:
Primjena Z transformacije, drugi pristup • Z–transformacija naše jednadžbe glasi:
Primjena Z transformacije • Dobili smo (naravno) isti izraz za Y(z) jer se radi o istom sustavu. • Sada ćemo nastaviti rješavanje našeg primjera uz pretpostavku da su početna stanja y(– 1) = y(– 2) = 0. • Uzimajući ovo u obzir Y(z) postaje:
Y(z), rastav u parcijalne razlomke • u(k) = k× 1 k k³ 0
Tražimo koeficijente rastava. . . • a 0 = F(z)|z=0 = 0 • a 1 određujemo iz Y(z) za npr. z = 3
Primjena Z transformacije, rješenje y(k)
Primjena Z transformacije Zadatak 2: • Diskretni sustav opisan je jednadžbom diferencija: • Odrediti odziv na pobudu:
Primjena Z transformacije, ulazni signal
Koeficijenti. . . rješavamo se j u nazivniku
Koeficijenti. . .
Rješenje y(k). . .
Konačno rješenje! • Ponovno dobivamo (iz prethodnih zadataka) već poznati odziv: y(k) 1 k
Primjena Z transformacije • Diskretni sustav opisan je sljedećim jednadžbama diferencija: a) Nacrtati model sustava koristeći zadane jednadžbe b) Izabrati varijable stanja i napisati jednadžbe stanja u matričnom obliku c) Nacrtati model sustava na temelju dobivenih jednadžbi stanja d) naći odziv sustava na pobudu
Primjena Z transformacije • Pobuda: e) Odrediti transfer matricu sustava f) odrediti impulsni odziv sustava g) transformirati sustav u kanonski oblik i nacrtati model h) provjeriti osmotrivost i upravljivost
a) Model sustava Rješenje: +– + + u 1(k) E– 1 u 1(k– 1) E– 1 2 y 1(k-1) y 2(k-1) 2 E– 1 u 2(k– 1) + + + E– 1 – u 2(k) y 1(k) y 2(k)
b) Opis sustava varijablama stanja • Jednadžbe stanja kojima želimo opisati sustav trebaju biti oblika: • Očito je da pri izboru varijabli stanja u zadanim jednadžbama treba eliminirati u(k– 1) i y(k– 1):
b) Opis sustava varijablama stanja • Iz gornjih jednadžbi slijedi: (k®k+1) • Iz polaznih jednadžbi supstituiramo:
b) Opis sustava varijablama stanja • Iz ovoga slijedi: • Pa konačno pišemo jednadžbe stanja • Odnosno izlazne jednadžbe
b) Opis sustava varijablama stanja • U matričnom obliku pišemo
c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja x 1(k+1) x 2(k+1) E– 1 x 1(k) x 2(k)
c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja x 1(k+1) = -x 2(k) - u 1(k) – – u 1(k) + x 1(k+1) x 2(k+1) E– 1 x 1(k) x 2(k)
c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja x 2(k+1) = -x 1(k) - u 2(k) + – – u 2(k) – – u 1(k) + x 1(k+1) x 2(k+1) E– 1 x 1(k) x 2(k)
c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja y 1(k) = x 1(k) + 2 u 2(k) + – – u 2(k) – – u 1(k) + x 1(k+1) x 2(k+1) 2 E– 1 x 1(k) + + + x 2(k) y 1(k)
c) Model sustava pomoću jednadžbi stanja y 2(k) = x 2(k) + 2 u 1(k) 2 + – – u 2(k) – – u 1(k) + x 1(k+1) x 2(k+1) 2 E– 1 x 1(k) y 1(k) + + + x 2(k) y 2(k) + + +
d) Odziv sustava na pobudu Fundamentalnu matricu ćemo odrediti kao inverznu Z–transformaciju matrice karakterističnih frekvencija F(z). • Odredimo matrice z. I–A, det(z. I–A) i adj(z. I–a)
d) Odziv sustava na pobudu
d) Odziv sustava na pobudu • Da bi proveli inverznu Z–transformaciju F(z) treba njezine elemente rastaviti na parcijalne razlomke
d) Odziv sustava na pobudu
d) Odziv sustava na pobudu • Pa je F(k)
d) Odziv sustava na pobudu • Odziv sustava odredit ćemo pomoću Z–transformacije
d) Odziv sustava na pobudu
d) Odziv sustava na pobudu • Sređivanjem dobijemo:
d) Odziv sustava na pobudu
• za z=2: d) Odziv sustava na pobudu
d) Odziv sustava na pobudu • Rastav na parcijalne razlomke:
d) Odziv sustava na pobudu • za z=2: • Pa je:
d) Odziv sustava na pobudu • Pa je odziv:
e) Transfer matrica sustava
f) Impulsni odziv sustava h(k) = Z– 1[H(z)]
f) Impulsni odziv sustava
f) Impulsni odziv sustava
g), h) Upravljivost, osmotrivost
g), h) Upravljivost, osmotrivost
g), h) Upravljivost, osmotrivost • Dakle, sustav je osmotriv i upravljiv
g), h) Upravljivost, osmotrivost E– 1 x 1(k) x 2(k)
g), h) Upravljivost, osmotrivost x 1(k+1) = x 1(k) -1/2 u 1(k) + 1/2 u 2(k) 1/2 – u 1(k) 1/2 + E– 1 x 1(k) x 2(k)
g), h) Upravljivost, osmotrivost x 2(k+1) = -x 2(k) -1/2 u 1(k) - 1/2 u 2(k) + E– 1 – – 1/2 – + u 2(k) – u 1(k) 1/2 x 1(k) E– 1 x 2(k)
g), h) Upravljivost, osmotrivost y 1(k) = x 1(k) + x 2(k) + 2 u 2(k) + E– 1 – – 1/2 2 – + u 2(k) – u 1(k) 1/2 x 1(k) E– 1 x 2(k) + y 1(k)
g), h) Upravljivost, osmotrivost E– 1 – – 1/2 2 – + u 2(k) + x 1(k) y 1(k) + – E– 1 x 2(k) + u 1(k) 1/2 – 2 y 2(k) = -x 1(k) + x 2(k) + 2 u 1(k) y 2(k)
- Slides: 57