Shodn zobrazen Shodn zobrazen shodnost Definice Prost zobrazen

Shodná zobrazení

Shodné zobrazení (shodnost) Definice: Prosté zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodnost), právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X´, Y´ v tomto zobrazení platí: X´Y´ = XY Dělení shodností: n Přímá shodnost n Nepřímá shodnost

SHODNÁ ZOBRAZENÍ Přímá shodnost C M Platí: AB = KL BC = LM B A K L AC = KM Nepřímá shodnost (zrcadlový obraz) Platí: M C AB = KL BC = LM AC = KM A B L K

SHODNÁ ZOBRAZENÍ Identické zobrazení (identita) zvláštní případ shodnosti n přiřazuje bodu X dané roviny bod X´s ním totožný: X´ = X n

SHODNÁ ZOBRAZENÍ Shodné zobrazení, které není identitou, lze realizovat pohybem (přemístěním). Př. 1: Př. 2:

SHODNÁ ZOBRAZENÍ Obr. : přímá shodnost Pouhým otočením či posunutím vzoru ( ABC) dostaneme obraz ( KLM). C M Platí: AB = KL BC = LM AC = KM B A K L Obr. : nepřímá shodnost Obraz ( KLM) dostaneme překlopením, tedy zrcadlovým obrazem ( ABC). M C Platí: AB = LK BC = KM AC = LM A B zrcadlo L K

SHODNÁ ZOBRAZENÍ Typy shodných zobrazení: Středová souměrnost n Osová souměrnost n Posunutí n Otočení n

Středová souměrnost Definice: Nechť je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že platí: 1) pro X S; X´leží na přímce XS a X´S = XS 2) pro X = S; X´ = X =S Zápis: S(S): X→ X´

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz bodu: S(N): A → A´ Z definice víme: 1. AN = A´N 2. N je střed úsečky AA´ Postup konstrukce: 1. A, N 2. ⇥ AN 3. n; n(N; AN ) 4. A´; A´ n ⇥ AN n x A x N x A´

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz úsečky: S(N): AB → A´B´ Z definice víme: 1. AN = A´N 1. BN = B´N 2. N je střed úsečky AA´ 2. N je střed úsečky AB´ Postup konstrukce: 1. AB, N 2. ⇥ AN 3. n; n(N; AN ) 4. A´; A´ n ⇥ AN 5. ⇥ BN 6. m; m(N; BN ) 7. B´; B´ m ⇥ BN 8. A´B´ x x m B n A x N x x B´ A´

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz kružnice: S(N): k(O, r) → k´(O´, r) Z definice víme: 1. ON = O´N 2. N je střed úsečky OO´ 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: k(O, r), N přímka ON m; m(N, ON ) O´; O´ n přímka ON k´; k´(O´, r) Přesnější konstrukce 6. X; X k (libovolný) 7. X´; S(N): X → X 8. k´; k´(O´, X´O) m k 1. 2. 3. 4. 5. k´ X XO X X N X O´ X X´

STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST Obraz útvaru: S(N): u → u´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př. : S(N): ABC → A´B´C´ Postup konstrukce: 1. ABC, N 2. A´; S(N): A → A´ 3. B´; S(N): B → B´ 4. C´; S(N): C → C´ 5. A´B´C´ X C B´ X A´ X N A X B C´

Osová souměrnost Definice: Nechť je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz bod X´ tak, že platí: 1) pro X o; X´leží na kolmici k ose o a osa o půlí úsečku X´X (tj. o. X = o. X´ 2) pro X o; X´= X Zápis: O(o): X → X´

OSOVÁ SOUMĚRNOST Zobrazení bodu: O(o): A A´ Z definice víme: 1. A´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: 1. A, o 2. p; p o; A o 3. P; P o p 4. k; k(P; XP ) 5. A´; A´ p k X k A X P X o A´ p

OSOVÁ SOUMĚRNOST Obraz úsečky: O(o): AB → A´B´ Z definice víme: 1. A´ leží na přímce kolmé k ose o. 3. B´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku AA´. 4. Osa o půlí úsečku AA´. Postup konstrukce: 1. AB, o 2. a; a o; A o 3. P; P a o 4. k; k(P; XP ) 5. A´; A´ a k 6. b; b o; B o 7. Q; Q o p 8. l; l(Q; XQ ) 9. B´; B´ b l 10. A´B´ l X B X Q X A X B´ X P b X A´ o k a

OSOVÁ SOUMĚRNOST Obraz kružnice: O(o): k(S, r) → k´(S´, r) Z definice víme: 1. O´ leží na přímce kolmé k ose o. 2. Osa o půlí úsečku OO´. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: 1. k(S, r), o 2. p; p o; S o 3. P; P p o 4. l; l(P; SP ) 5. S´; S´ l p 6. k´; k´(S´, r) Přesnější konstrukce: 6. X ; X k (X je libovolný) 7. O(o): X → X´ 8. k´; k´(S´, S´X´) k´ p l x X´ k x X x S´ x P x S o

OSOVÁ SOUMĚRNOST Obraz útvaru: O(o): u → u´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př. : O(o): ABC → A´B´C´ C Postup konstrukce: 1. ABC, N 2. A´; O(o): A → A´ 3. B´; O(o): B → B´ 4. C´; O(o): C → C´ 5. A´B´C´ x A o x A´ B= B´ x C´

Posunutí Definice: Nechť je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému, bodu X přiřadí jeho obraz, bod X´ tak, že XX´ = AB , XX´ AB a jsou souhlasně orientované. Předpis: T(AB): X → X´

POSUNUTÍ Zobrazení bodu: T(AB): X X´ Z definice víme: 1. XX´ a AB jsou souhlasně orientované 2. XX´ = AB Postup konsturkce: 1. AB, X 2. ⇥ XY; XY AB 3. k; k(X, AB) 4. X´; X´ k p k x A x B x X´ x Y

POSUNUTÍ Obraz úsečky: T(AB): KL → K´L´ Z definice víme: 1. KK´ a AB jsou souhlasně orientované. LL´ a AB jsou souhlasně orientované. 2. KK´ = AB , LL´ = AB. x B x A x K´ Postup konstrukce: 1. AB, KL 2. ⇥ KX; KX AB 3. k; k(K, AB) 4. K´; K´ k ⇥ KX 5. ⇥ LY; LY AB 6. l; l(L, AB) 7. L´; L´ l ⇥ LY 8. K´L´ x X x K x Y x L k x L´ l

POSUNUTÍ Obraz kružnice: T(AB): k(S, r) → k´(S´, r) Z definice víme: 1. SS´ je souhlasně orientovaná s AB 2. SS´ = AB. 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. (každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) Postup konstrukce: 1. AB, k (S, r) 2. ⇥ SX; SX AB 3. l; l(S, AB) 4. S´; S´ l SX 5. k´; k´( S´, r) Přesnější konstrukce: 5. K; K k (K libovolný) 6. ⇥ KY; KY AB 7. m; m(K, AB) 8. K´; K´ m KY 9. k´; k´(S, SK) l x B x A k´ k x x S´ S x K x X x x K´ Y m

POSUNUTÍ Obraz útvaru: T(AB): u → u´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př. : T(AB): KLM → K´L´M´ Postup konstrukce: 1. KLM, AB 2. K´; T(AB): K → K´ 3. L´; T(AB): L → L´ 4. M´; T(AB): M → M´ 5. K´L´M´ x A x B M M´ x K´ L x L´

Otočení Definice: Nechť je dán bod S a úhel α. Otočení v rovině kolem středu S o úhel α v daném smyslu (kladném, resp. záporném) je shodné zobrazení, které každému bodu X přiřadí jeho obraz X´ tak, že platí: 1. je – li X S, leží X´na polopřímce SY, která je ramenem úhlu XSY a přitom XSY = α Ů SX´ = SX 2. X = S, je X´ = X Zápis: R(S, α): X → X´

OTOČENÍ Zobrazení bodu: R(S, α): X → X´ Z definice víme: 1. XSX´ = α (tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α) 2. SX´ = SX Postup konstrukce: 1. S, α, X 2. ⇥ SX 3. XSY; XSY = α 4. k; k(S, SX) 5. X´; X´ k ⇥ SY α k x x S X´ x X x Y

OTOČENÍ Zobrazení bodu: R(S, α): AB A´B´ Z definice víme: 1. ASA´ = α (tj. X´ leží na rameni SX úhlu ASX , který je stejně velký, jako úhel α) 2. SA´ = SA 3. BSB´ = α (tj. X´ leží na rameni SX úhlu BSY , který je stejně velký, jako úhel α) 4. SB´ = SB x Y l Postup konstrukce: 1. S, α, AB 2. ⇥ SA 3. ASX; ASX = α 4. k; k(S, SA) 5. A´; A´ k ⇥ SA 6. ⇥ SB 7. BSY; BSY = α 8. l; l(S, SB) 9. B´; B´ l ⇥ SB 10. A´B´ k x S α x B´ x A x B x X

OTOČENÍ Obraz kružnice: R(S, α): k(O, r) → k´(O´, r) Z definice víme: 1. XSX´ = α (tj. X´ leží na rameni SY úhlu XSY , který je stejně velký, jako úhel α) 2. SX´ = SX 3. Kružnice jsou shodné a tedy jejich poloměry jsou shodné. každý bod kružnice k se zobrazí na bod kružnice k´) α n Postup konstrukce: 1. S, α, k(O, r) 2. ⇥ SO 3. OSX; OSX = α 4. m; m(O, OS) 5. O´; O´ m ⇥ SA 6. k´; k´(O´, r) 7. Přesnější konstrukce: 6. K; K k (libovolný) 7. ⇥ SK 8. KSY; KSY = α 9. n; n(S, SK) 10. K´; K´ n SK 11. k´; k´(O´, K´O´) m k´ x X k x Y x O´ x x K´ O x K x S

OTOČENÍ Obraz útvaru: R(S, α): u → u´ Množinou obrazů všech bodů útvaru U je útvar U´, který je s útvarem U shodný. Stačí nám tedy, pokud zobrazíme vrcholy útvaru a tyto obrazy vrcholů spojíme. Př. : P(S, a): KLM → K´L´M´ Postup konstrukce: 1. KLM, S, a 2. K´; R(S, α): K → K´ 3. L´; R(S, α): L → L´ 4. M´; R(S, α): M → M´ 5. K´L´M´ M´ x M α K K´ x x S x L´ L

Konec prezentace Děkuji za pozornost.