Setiap Organisasi berusaha mencapai tujuan yang telah ditetapkan
Setiap Organisasi berusaha mencapai tujuan yang telah ditetapkan sesuai dengan keterbatasan sumberdaya.
Materi Kuliah 1. Konsep Dasar Riset Operasi 2. Linier Programming (LP) : § Formulasi Masalah Dan Pemodelan § Solusi Grafik § Metode Primal Simpleks § Tabel Simpleks Untuk Primal Simpleks § Solusi Awal Buatan (Artificial Starting Solution) Untuk Primal Simpleks
§ Solusi Optimal Untuk Variabel Buatan (artificial variable) Untuk Primal Simpleks § Dualitas 3. Analisis Sensitivitas 4. Metode Transportasi § Solusi Awal Metode Transportasi § Solusi Optimal Metode Transportasi 5. Model Penugasan (Assignment) 6. Teori Permainan (Game Theory)
Referensi : § Taha, Hamdy A. , Operation Research An Introduction, 5 th Edition, Coolier Macmillan, 1995 § Hillier, Frederick S & Lieberman, Gerald J, . , Introduction to Operation Research, 6 th Edition, Mc. Graw Hill, 1999
1. Konsep Dasar Riset Operasi Sejarah : Dikembangkan pada saat Perang Dunia ke-2 oleh ilmuwan Inggris dalam membuat strategi dan taktik pertahanan, untuk : § menentukan penggunaan sumberdaya militer (logistik) yang efektif § menetapkan alokasi peralatan pada tempat yg strategis secara optimal
Sejarah Linier Program LP telah dikembangkan sebelum perang dunia II oleh matematikawan Rusia, A. N. Kolmogorov dan Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi Perencanaan”. Dalam aplikasi berikutnya LP dikembangkan oleh Stigler (1945) dalam persoalan Diit (kesehatan). Perkembangan berikutnya (1947), George D. Dantzig mengembang kan solusinya dengan metode simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga kita
Dantzig seorang matematikawan di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan Udara. Saat itu militer memerlukan sekali program perencanaan latihan militer, pemasokan peralatan dan amunisi, penempatan unit-2 tempur. Dantzig memformulasikan sistem pertidaksamaan linier. Setelah perang dunia II aplikasi dalam dunia bisnis luar biasa, misalnya dalam usaha pengolahan, jasa, pertanian, dll. Tahun 1984 N. Karmarkar mengembangkan model yang lebih superior dari metode simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.
1. Konsep Dasar Riset Operasi Setelah selesai PD-2, digunakan dalam Industri dan Bisnis 1. Menentukan alokasi dan penggunaan sumberdaya yang efektif dan optimal 2. Menentukan jumlah produk yg akan dibuat berdasarkan bahan baku yang tersedia 3. Alokasi beban kerja untuk mesin dan sumberdaya manusia
1. Konsep Dasar Riset Operasi 4. Pendistribusian produk dari sumber ke tujuan dengan total biaya yang optimal 5. Menentukan rute yang optimal agar waktu dan biaya yang minimum
1. Konsep Dasar Riset Operasi Operation Research Decision Science Nama Lain Riset Operasi Management Science Quantitaive Business Analysis Quantitative Methods
1. Konsep Dasar Riset Operasi Apa yang dibahas … ? ? ? Membahas model-model kuantitatif dan implementasinya, sehubungan dgn pengambilan keputusan manajerial Model Matematis
1. Konsep Dasar Riset Operasi Tujuan : Menentukan utilisasi (penggunaan) dan alokasi (penempatan) sumberdaya yang efektif dan optimal
1. Konsep Dasar Riset Operasi Modelling Process Real-World Problem Implementation Definition of the Problem Interpretation Model Validation and Sensitivity Analysis of the Model Formulation and Construction of the Mathematical Model Solution of the Model
Model Programasi Linear Adalah sebuah model matematis yang bersifat umum yang digunakan untuk mengalokasikan faktor produksi atau sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal, sehingga dapat menghasilkan laba maksimal atau biaya minimal
Fungsi-Fungsi Dalam PL 1. Fungsi Tujuan (objective function) Fungsi yang menyatakan tujuan yang akan dicapai, dapat berupa laba maksimal atau biaya minimal
2. Fungsi Kendala (contrains or subject to) Fungsi yang menyatakan batasan atau kendala dari faktor produksi yang dimiliki Simbol yang digunakan : <, >, = 3. Fungsi Status (status function) Fungsi yang menyatakan bahwa setiap variabel yang terdapat di dalam model programasi linear tidak boleh negatif
Asumsi Dasar PL 1. Certainty Angka yang diasumsikan dlm fungsi tujuan dan fungsi kendala secara pasti diketahui dan tidak berubah selama waktu dipelajari 2. Proporsionality Alokasi sumber daya dengan goal yang ingin dicapai harus proporsional
3. Additivity Total dari semua aktivitas adalah sama dengan jumlah dari aktivitas individual 4. Divisibility Jumlah produk yang akhirnya direkomendasikan dalam kondisi optimum, dapat berupa pecahan bukan bilangan bulat 5. Non-negatif variable Semua variabel bukan negatif, bisa nol atau positif (negatif dalam kuantitas fisik a/d
Metode-Metode Dlm PL Metode Program Linear Metode Aljabar Metode Grafik Simpleks Primal Simpleks M-Besar Simpleks Dual Simpleks Dua Fase
Perbedaan Metode Solusi Karakteristik pada formulasi masalah Grafis Simpleks Big – M Simpleks Jumlah Variabel 2 >2 >2 Jenis fungsi tujuan maksimisasi dan minimisasi Jenis fungsi kendala semua bentuk Pertidaksamaan bertanda “ < “ Pertidaksamaan bertanda “ > “ atau persamaan “=“
© Zulkifli Alamsyah Langkah-langkah dalam Perumusan Model LP 1. Definisikan Variabel Keputusan (Decision Variable) R Variabel yang nilainya akan dicari 2. Rumuskan Fungsi Tujuan: R Maksimisasi atau Minimisasi R Tentukan koefisien dari variabel keputusan 3. Rumuskan Fungsi Kendala Sumberdaya: R Tentukan kebutuhan sumberdaya utk masing -masing peubah keputusan. R Tentukan jumlah ketersediaan sumberdaya sbg pembatas. 4. Tetapkan kendala non-negatif R Setiap keputusan (kuantitatif) yang diambil tidak boleh mempunyai nilai negatif. /ZA 21
Contoh Persoalan: 1. (Perusahaan Meubel) Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Utk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan utk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan, Laba utk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing 2 Rp. 80. 000 dan Rp. 60. 000, Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan? /ZA 22
© Zulkifli Alamsyah Perumusan persoalan dalam model LP. R Definisi variabel keputusan: Keputusan yg akan diambil adlh berapakah jumlah meja dan kursi yg akan dihasilkan. Jika meja disimbolkan dgn M dan kursi dgn K, mk definisi variabel keputusan: M = jumlah meja yg akan dihasilkan (dlm satuan unit) K = jumlah kursi yg akan dihasilkan (dlm satuan unit) R Perumusan fungsi tujuan: Laba utk setiap meja dan kursi yg dihasilkan masing 2 Rp. 80. 000 dan Rp. 60. 000. Tujuan perusahaan adlh utk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yg dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan dpt ditulis: Maks. : Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp. 10. 000) /ZA 23
© Zulkifli Alamsyah R Perumusan Fungsi Kendala: ð Kendala pada proses perakitan: Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 4 jam dan utk menghasilkan 1 bh kursi diperlukan waktu 2 jam pd proses perakitan. Waktu yg tersedia adalah 60 jam. 4 M + 2 K 60 ð Kendala pada proses pemolesan: Utk menghasilkan 1 bh meja diperlukan waktu 2 jam dan utk menghasilkan 1 bh kursi diperlukan waktu 4 jam pd proses pemolesan. Waktu yang tersedia adalah 48 jam. 2 M + 4 K 48 R Kendala non-negatif: Meja dan kursi yg dihasilkan tdk memiliki nilai negatif. M 0 K 0 /ZA 24
METODE GRAFIK metode yg digunakan utk permasalahan dengan jumlah variabel sebanyak dua, dgn tanda pertidaksamaan pada fungsi kendala bebas.
© Zulkifli Alamsyah Langkah umum dari metode grafik ini adalah : • Langkah 1 : Melakukan identifikasi masalah dengan jalan menyederhanakan kasus di atas dalam bentuk model tabulasi. • Langkah 2 : Merubah model tabulasi menjadi model matematis • Langkah 3 : Menggambar grafik dari masing-masing fungsi batasan yang ada • Langkah 4 : Menentukan titik optimal dari daerah yang feasible dan menjadikannya keputusan /ZA 26
© Zulkifli Alamsyah Perumusan persoalan dlm bentuk tabel: Meja Kursi Total jam tersedia Perakitan 4 2 60 Pemolesan 2 4 48 80. 000 60. 000 Proses Laba/unit Waktu yang dibutuhkan per unit Perumusan persoalan dlm bentuk matematika: Maks. : Laba = 8 M + 6 K Dengan kendala: 4 M + 2 K 60 2 M + 4 K 48 M 0 K 0 (dlm satuan Rp. 10. 000) /ZA 27
© Zulkifli Alamsyah Penyelesaian secara grafik: (Hanya dapat dilakukan untuk model dg 2 decision variables) Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada grafik yang sama. K Laba = 8 M + 6 K 34 Pada A: M = 0, K = 12 Laba = 6 (12) = 72 32 28 4 M + 2 K 60 Pada B: M = 12, K = 6 Laba = 8(12) + 6(6) = 132 M=0 K=30 K=0 M=15 24 20 16 12 Feasible Region A(0, 12) 8 Keputusan: M = 12 dan K = 6 Laba yg diperoleh = 132. 000 M=0 K=12 K=0 M=24 B(12, 6) 2 M + 4 K 48 4 O Pada A: M = 15, K = 0 Laba = 8 (15) = 120 C(15, 0) 4 8 12 16 20 M 24 28 32 34 /ZA 28
© Zulkifli Alamsyah Contoh Persoalan: 2 (Reddy Mikks Co. ) Reddy Mikks Co. mempunyai sebuah pabrik kecil yg menghasilkan 2 jenis cat yaitu utk interirior dan eksterior. Bahan baku utk cat tsb adalah bahan A dan bahan B, yg masing 2 tersedia maksimum 6 ton dan 8 ton per hari. Kebutuhan masing 2 jenis cat per ton thdp bahan baku disajikan pd tabel berikut: Bahan baku Bahan A Bahan B Kebutuhan baku per ton cat Eksterior Interior 1 2 2 1 Ketersediaan Maksimum (ton) 6 8 Permintaan harian cat interior lebih tinggi dari permintaan cat eksterior, tetapi tdk lebih dari 1 ton per hr. Sedangkan permintaan cat interior maksimum 2 ton per hari. Harga cat eksterior dan interior masing 2 3000 dan 2000. Berapa masing 2 cat hrs diproduksi oleh perusahaan utk/ZA 29 memaksimumkan pendapatan kotor?
© Zulkifli Alamsyah Perumusan persoalan kedalam model LP Definisi variabel keputusan: CE = jmlh cat eksterior yg diproduksi CI = jmlh cat interior yg diproduksi (ton/hari) R Perumusan fungsi tujuan: Maks. : Pdpt kotor, Z = 3 CE + 2 CI (dlm ribuan) R Perumusan Fungsi Kendala: ð Kendala ketersediaan bahan baku A: CE + 2 CI 6 ð Kendala ketersediaan bahan baku B: 2 CE + CI 8 ð Kendala Permintaan : CI - CE 1 : jml maks Kelebihan CI dibading CE CI 2 : permintaan maks CI ð Kendala non-negatif: /ZA 30 CI 0; CE 0.
© Zulkifli Alamsyah Penyelesaian secara grafik: A (0, 1) B (1, 2) C (2, 2) CI D (31/3, 11/3) E (4, 0) Pada C: Z = 3(2) + 2(2) = 10 2 CE + CI 8 Pada D: Z = 3(31/3) + 2(11/3) = 122/3 CI - CE 1 6 5 Pada E: Z = 3(4) + 2(0) = 12 4 Feasible Region 3 2 1 O Pada A: Z = 3(0) + 2(1) = 2 Pada B: Z = 3(1) + 2(2) = 7 8 7 Pendapatan kotor: Z = 3 CE + 2 CI B CI 2 C A CE + 2 CI 6 D E 1 2 3 Keputusan: CE = 31/3 dan CI = 11/3 Pendapatan kotor: Z = 122/3 ribu. CE 4 5 7 8 /ZA 31
© Zulkifli Alamsyah Persoalan Minimisasi: Contoh 1: Bila pada contoh sebelumnya, biaya produksi setiap unit meja dan kursi masing-masing Rp. 200. 000 dan Rp. 80. 000, dan perusahaan bertujuan utk meminimumkan biaya produksi, maka persoalan yang dihadapi adalah persoalan MINIMISASI. ªDengan biaya minimum untuk menghasilkan output tertentu. ªDiperlukan batasan mengenai target yang akan dicapai ªSecara umum tanda ketidak-samaan adalah “ ” Min. : Biaya = 20 M + 8 K (dlm satuan Rp. 10. 000) Dengan kendala: 4 M + 2 K 60 (kendala sumberdaya) 2 M + 4 K 48 (kendala sumberdaya) M 2 (kendala target) /ZA K 4 (kendala target) 32
© Zulkifli Alamsyah K 34 Titik A ditentukan oleh perpotongan garis kendala: 2 M + 4 K = 48 dan M=2 M 2 32 28 4 M + 2 K 60 K = (48 -4)/4 = 11 M=0 K=30 K=0 M=15 24 Titik A (2; 11) 20 Titik B (2; 4) Feasible Region 16 12 A 8 4 O 2(2) + 4 K = 48 D B 4 Titik C ditentukan oleh perpotongan garis kendala: 4 M + 2 K = 60 dan K=4 M=0 K=12 K=0 M=24 2 M + 4 K 48 C 8 12 K 4 M 16 20 24 28 32 34 Pada titik C (13; 4) = 20 (13) + 8 (4) = 292 Pada titik D (12; 6) = 20 (12) + 8 (6) = 288 M = (60 -8)/4 = 13 Titik C (13; 4) Titik D (12, 6) Biaya = 20 M + 8 K Pada titik A (2; 11) = 20 (2) + 8 (11) = 128 Pada titik B (2; 4) = 20 (2) + 8 (4) = 72 4 M + 2(4) = 60 (minimum) /ZA 33
Contoh 2: Campuran Ransum Suatu perusahaan makanan kucing menghasilkan produk Tuna-n-Stuff. Pada kemasan kaleng ditulis: Setiap ons Tuna-n-Stuff mengandung kandungan gizi yang lebih besar dari standar minimum (RDA). Rincian RDA adalah sbb: Bahan Gizi Protein Thiamine Niacin Calsium Iron 2. 6 13. 7 14. 3 5. 7 4. 3 % RDA per Ons Tuna-n-Stuff terbuat dari ramuan sbb: Bahan % RDA per Ons Biaya ($/Ons) Protein Thiamine Niacin Calsium Iron Albacore 20 0 0 6 5 0. 15 Bonito 12 0 0 5 3 0. 10 Suplemen C 0 42 18 22 7 0. 20 Suplemen D 0 36 40 8 9 0. 12 Filler 0 0 0. 02 Menurut peraturan pemerintah, kandungan albacore atau bonito atau campuran keduanya paling kurang 40%. Bagaimana perusahaan http: //rosihan. web. id menentukan ransum secara optimal agar diperoleh biaya minimum?
Decision Variables: A = Ons albacore per ons produk B = Ons bonito per ons produk C = Ons suolemen C per ons produk D = Ons suplemen D per ons produk E = Ons filler per ons produk Fungsi Tujuan: Minimum Biaya = 0. 15 A + 0. 10 B + 0. 20 C + 0. 12 D + 0. 02 E Fungsi Kendala: (target protein) 20 A + 12 B (target thiamine) 42 C + 36 D (target niacin) 18 C + 40 D (target calcium) 6 A + 5 B + 22 C + 8 D (target iron) 5 A+3 B + 7 C+ 9 D (peraturan pemerintah) A+ B (alokasi per ons) A+ B+ C+ D +E (kendala non-negatif) A, B, C, D, E 2, 6 13. 7 14. 3 5. 7 0. 4 1 0
Latihan Soal 1 “PT. Rakyat Bersatu” menghasilkan 2 macam produk. Baik produk I maupun produk II setiap unit laku Rp. 3000, -. Kedua produk tersebut dalam proses pembuatannya perlu 3 mesin. Produk I perlu 2 jam mesin A, 2 jam mesin B, dan 4 jam mesin C. Produk II perlu 1 jam mesin A, 3 jam mesin B, dan 3 jam mesin C. Tersedia 3 mesin A yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, tersedia 6 mesin B yang mampu beroperasi 10 jam per mesin per hari, dan tersedia 9 mesin C yang mampu beroperasi 8 jam per mesin per hari. Berikan saran kepada pimpinan “PT. Rakyat Bersatu” sehingga dapat diperoleh hasil penjualan yang maksimum ! Dan berapa unit produk I dan produk II harus diproduksi ?
Latihan Soal 2 CV Agri Top memproduksi dua buah produk berbahan dasar stroberi, yaitu sirup stroberi dan minuman segar stroberi, yang masing-masing menghasilkan laba bersih sebesar Rp. 4000, 00 dan Rp. 5000, 00. Kedua produk tersebut dihasilkan di dua divisi yaitu divisi produksi dan divisi pengemasan, dimana waktu yang tersedia di divisi pengemasan paling banyak 12 jam, sedangkan di divisi produksi maksimal 24 jam. Untuk memproses sirup stroberi di divisi pengemasan dibutuhkan waktu 1 jam, dan untuk minuman stroberi dibutuhkan waktu 3 jam. Sedangkan untuk memproses sirup stroberi di divisi produksi dibutuhkan waktu 4 jam, dan untuk minuman stroberi 3 jam. Dengan menggunakan metode simpleks, berapa komposisi jumlah sirup stroberi dan minuman stroberi yang harus diproduksi perusahaan agar keuntungan yang diperolehnya maksimal ?
Latihan Soal 3 PT Beauty Auto memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan truk. Untk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria. Promosi pada acara olah raga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria. Biaya promosi pada acara hiburan adalah Rp. 5 juta/menit, sedangkan pada acara olah raga biayanya adalah Rp. 10 juta/menit. JIka perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya 24 juta pemirsa pria. Dengan menggunakan metode grafis, berapa menit komposisi jumlah promosi pada acara hiburan dan pada acara olah raga yang paling baik agar biaya promosi yang dikeluarkan perusahaan seminimum mungkin ?
- Slides: 38