SETENGAH PUTARAN PADA HAKEKATNYA SETENGAH PUTARAN ADALAH BENTUK

SETENGAH PUTARAN PADA HAKEKATNYA SETENGAH PUTARAN ADALAH BENTUK KHUSUS DARI PERPUTARAN, NAMUN ADA SIFAT-SIFAT TERTENTU SEHINGGA LEBIH BAIK DIBAHAS DALAM BAHASAN TERSENDIRI.

KEKHUSUSAN-NYA ANTARA LAIN 1. SETENGAH PUTARAN MERUPAKAN INVOLUSI, 2. DAPAT DIPANDANG SEBAGAI PENCERMINAN TERHADAP TITIK, 3. GESERAN DAPAT DINYATAKAN DALAM HASILKALI DUA SETENGAN PUTARAN

DEFINISI SETENGAH PUTARAN • Setengah putaran terhadap titik P (dengan pusat P ) , dilambangkan dengan HP, adalah pemetaan yang memenuhi: untuk sebarang titik A di bidang V • HP(A) = A , jika A=P • = B , dengan P titik tengah AB , jika A tidak sama dengan P.

Rumus Aljabar dari Setengah Putaran. . • Misalkan P(a, b) dan HP memetakan A(x, y) ke A’(x’, y’). Berdasarkan definisi, P merupakan titik tengah AA’ • sehingga diperoleh : Jadi x’ = -x + 2 a • Atau dan y’ = -y + 2 b

BEBERAPA TEOREMA Setengah putaran merupakan suatu involusi. Sehingga Teorema : Setengah putaran adalah isometri. Teorema : Untuk sebarang garis g dan setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g

Misal P(a, b). Ambil sebarang garis g pada bidang V. Misal g : px + qy +c = 0. Dan g’=HP(g). Untuk sebarang titik A(x, y) berdasarkan definisi setengah putaran diperoleh hubungan antara A(x, y) dan A’(x’, y’)=HP(A) sebagai x=-x’+2 a dan y = -y’+2 b. Sehingga diperoleh g’ : p(-x’+2 a)+q(-y’+2 b)+c=0 atau g’: -px-qy+(2 ap+2 bq+c)=0.

Tampak bahwa gradien garis g’ sama dengan gradien garis g. Dapat disimpulkan bahwa g’//g. Jadi terbukti Untuk sebarang garis g dan setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g.

• Teorema : Satu-satunya titik tetap dalam HP adalah titik P, sedangkan garis-garis tetapnya adalah semua. garis yang melalui P. • Teorema : Hasil kali dua setengah putaran adalah suatu geseran. Jika B titik tengah AC, maka HBHA=SAC=HCHB. • Teorema : • Untuk tiga titik A, B, dan C yang tidak segaris, berlaku HCHBHA=HD dengan |AD|=|BC|.

Misalkan l : px+qy+c=0 merupakan garis tetap. Sedangkan l’: px + qy - (2 ap+2 bq+c) = 0. Agar l merupakan garis tetap haruslah -(2 ap+2 bq+c)=c atau 2 ap+2 bq+2 c=0. Ini berarti garis l melalui titik P. Jadi agar l merupakan garis tetap haruslah melalui P. Jadi garis tetapnya adalah semua garis yang melalui P.

P” . C B P A P’ D A B F C E

AKAN DIBUKTIKAN HBHA SUATU GESERAN P” C B P A P’

A D F B C E

• Akibat : Hasil kali geseran dan setengah putaran adalah suatu setengah putaran. • Teorema : Untuk sebarang tiga titik A, B, dan C berlaku HCHBHA=HAHBHC.

• Terbukti HCHBHA=HAHBHC.

. • • Diketahui lingkaran L, titik P dan garis g seperti terlihat di bawah ini. L Lukis garis h yang memotong L di A dan g di B sehingga P merupakan titik tengah A dan B . P g

g’ h A B h . P A B g

Lukis HP(g)= g’. Diperoleh g’//g dan g’ memotong L di A 1 dan A 2. Selanjutnya garis A 1 P=h 1 dan A 2 P=h 2 adalah garis yang Ditanyakan. Karena jika A 1 P memotong g di B, maka P adalah titik tengah A 1 B.

Diketahui lingkaran L dengan tali busur AB dan CD. Misalkan S suatu titik tertentu pada CD. Lukislah titik P pada L dengan AP dan BP berturut-turut memotong CD di E dan F sedemikian sehingga S titik tengah EF. L . C A S D B

A’ KEADAAN AWAL L D S . C A B

GAMBAR SEAKAN MASALAH TERSELESAIKAN P L . C S F D E A B

Andaikan titik P telah dapat terlukis. Dengan setengah putaran terhadap S, AP menjadi A’P’=HS(AP). Ini belum dapat terealisir karena P belum didapat. Tetapi A’ sudah dapat dilukis dan dapat diketahui bahwa A’P’ melalui F ( karena AP melalui E). Pada segitiga A’BF dapat diketahui A’B dan m(<F) = m(<P) = ½ busur AB=besar sudut kelilingkaran terhadap busur AB. Maka dapat dicari tempat kedudukan titik F dalam segitiga A’BF yang berupa lingkaran. Kemudian titik potong lingkaran itu dengan CD adalah titik F yang dicari, karena BF memotong L di titik P yang diminta. Dengan demikian dapat diketahui urutan cara melukis P.

1. Lukis A’=HS(A). 2. Lukis tempat kedudukan F dalam segitiga A’BF, yaitu lingkaran L 1. 3. L 1 memotong CD di F. 4. BF memotong L di P yang dicari.