Sesin 13 Tcnicas Alternativas A B C D

Sesión 13: Técnicas Alternativas A B C D F Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar H

Técnicas Alternativas • Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para manejo de incertidumbre que no siguen los axiomas de probabilidad. Entre éstas se encuentran: • Métodos empíricos o ad-hoc • Teoría de Dempster-Shafer • Lógica difusa • Métodos aproximados Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 2

Técnicas Alternativas • Algunas técnicas se pueden ver como casos especiales o extensiones de probabilidad • Técnicas que se reducen a casos especiales de probabilidad – Método de factores de certeza (MYCIN) – Método de pseudo-probabilidades subjetivas (Prospector) • Técnicas que extienden a probabilidad: – Teoría de Dempster-Shafer Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 3

Técnicas empíricas Las primeras técnicas que surgen, cuando menos dentro del área de sistemas expertos, son técnicas empíricas o ad-hoc orientadas a resolver aplicaciones específicas y sin un fuerte fundamento teórico. Las más conocidas son las que corresponden a dos de los primeros sistemas expertos: Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 4

• PROSPECTOR (exploración minera) • MYCIN (diagnóstico de enfermedades infecciosas en la sangre) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 5

Sistemas basados en reglas En sistemas basados en reglas se tiene en general una estructura similar a la siguiente: Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 6

Si: se observa cierta evidencia E Entonces: se concluye cierta hipótesis H con probabilidad (certeza, . . . ) P De aquí surgen varias interrogantes: • ¿Cómo obtener estas medidas? • ¿Cómo combinar estas medidas? • ¿Cómo interpretar estas medias? Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 7

MYCIN Las técnicas desarrolladas en MYCIN y Prospector son similares, ambas consideran sistemas basados en reglas a los que se les adicionan Factores de Certeza o Probabilidades Subjetivas, respectivamente. Veremos brevemente el método de MYCIN. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 8

Técnica de Factores de Certeza • Los autores de MYCIN dicidieron no aplicar probabilidad porque: – “. . . requiere de grandes cantidades de datos o numerosas aproximaciones y suposiciones” • Desarrollaron una técnica alternativa basada en factores de certeza (medidas no probabilistas) y técnicas para combinarlas Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 9

Medidas básicas • MB[h, e] – incremento de la creencia en la hipótesis h dada la evidencia e • MD[h, e] – incremento en la no-creencia en la hipótesis h dada la evidencia e • Se pueden combinar en una sola medida, el factor de certeza: CF = MB – MD 0 £ MB, MD £ 1 CF : [-1, +1] Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 10

MYCIN define un Factor de Certeza que se asocia a cada regla y cada evidencia, y se definen un conjunto de reglas para combinar estos factores. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 11

Redes de Inferencia • Un conjunto de reglas se pueden ver como una “red de inferencia” • Por ejemplo: – – R 1: si A y B entonces C R 2: si C entonces D R 3: si F entonces D R 4: si D entonces H A B C D H F Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 12

Redes de Inferencia • Tipos de combinaciones: – Conjunción/disjunción A C B – Serie C D H C – Paralelo F Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 13

Reglas de combinación 1. Propagación (fprop) o reglas en serie: 2. AND (conjunción), OR (disjunción) de evidencias: Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 14

3. Co-Conclusión (fco) o reglas en paralelo Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 15

R 1: IF A and (B or C) Then H cf 0. 8 Ejemplo R 2: If D and F Then B cf 0. 6 R 3: If F or G Then H cf 0. 4 R 4: If A Then D cf 0. 75 R 5: If I Then G cf 0. 3 Se conoce: CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, CF(F, Ev) = 0. 7, CF(I, Ev) = -0. 4 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 16

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, CF(I, Ev) = -0. 4 D F I 0. 3 G 0. 75 C 0. 6 B A H-1 0. 8 H-2 H 0. 4 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 17

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, CF(I, Ev) = -0. 4 D F I G 0. 3 x 0=0 0. 75 C 0. 6 B A H-1 0. 8 H-2 H 0. 4 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 18

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, CF(I, Ev) = -0. 4 D 0. 7 F 0 G 0. 75 C 0. 6 B A H-1 0. 8 H-2 H 0. 4 Max[0. 7, 0]x 0. 4=0. 28 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 19

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, 0. 75 x 1=0. 75 CF(I, Ev) = -0. 4 0. 75 C D 0. 6 B 0. 7 F A H-1 0. 8 0. 28 H-2 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar H 20

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, A CF(I, Ev) = -0. 4 0. 75 D 0. 6 C B 0. 7 F Min[0. 75, 0. 7]x 0. 6=0. 42 0. 28 H-2 H-1 0. 8 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar H 21

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, CF(I, Ev) = -0. 4 min[1, max[0. 5, 0. 42]]x 0. 8=0. 4 A C H-1 0. 8 0. 42 B 0. 28 H-2 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar H 22

CF(A, Ev) = 1, CF(C, Ev) = 0. 5, Ejemplo CF CF(F, Ev) = 0. 7, 0. 4 H-1 CF(I, Ev) = -0. 4 0. 28 H-2 H 0. 4+0. 28 -(0. 4)(0. 28)=0. 568 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 23

Aplicación - MYCIN • Ejemplo de regla de MYCIN: SI la clase de organismo es gram positivo & la morfología del organismo es coco & la forma de crecimiento es cadenas ENTONCES la identidad del organismo es estreptococo (CF=0. 7) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 24

Ventajas • Modularidad • Simplicidad computacional • Resultados comparables con expertos en aplicación médica (MYCIN) • Poco sensitivo a los valores de los CF´s (variación de +/- 0. 2) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 25

Desventajas: Aunque pretendía apartarse de probabilidad, se ha demostrado [Heckerman 86] que la técnica de MYCIN corresponde a un subconjunto de probabilidad con una serie de suposiciones implícitas: Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 26

• La evidencia es condicionalmente independiente de la hipótesis y su negación. • La red de inferencia debe corresponder a un árbol para que los resultados sean coherentes. • Las fórmulas para conjunción y disjunción (min y max ) sólo son válidas si uno de los Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar términos es subconjunto del otro. 27

Estas suposiciones no son válidas en muchas aplicaciones por lo que el método de MYCIN no se puede generalizar. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 28

Teoría de Dempster-Shafer Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar

Antecedentes Teoría para representar y combinar “grados de creencia”. Esta teoría se desarrollo básicamente como una alternativa (extensión) a teoría de probabilidad ya que los autores consideraban que ciertas situaciones no eran representadas adecuadamente con dicha teoría. En especial dos aspectos: • Representación de ''ignorancia" • Representación de creencia NO asignada Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 30

Ejemplo • Se tiene una moneda y dos situaciones distintas: 1. La moneda es “normal” por lo que tiene la misma probabilidad de cada lado 2. Se sabe que la moneda esta cargada con una mayor probabilidad de uno de los lados, pero no se sabe cual ni cuanto • Con probabilidades ambas situaciones se representan igual – P=0. 5, no hay forma de distinguir ignorancia de igual probabilidad Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 31

Diferencias con Probabilidad La teoría de DS difiere en dos aspectos básicos de la teoría clásica de probabilidad: • Los grados de creencia se asignan a subconjuntos en lugar de a elementos individuales del dominio de referencia. • El axioma de aditividad no se forza, sino se substituye por una desigualdad. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 32

Diferencias con Probabilidad Estas diferencias tiene dos importantes implicaciones: 1. - La creencia en una proposición y su complemento NO necesariamente suman “ 1”. 2. - Se diferencia ignorancia de probabilidades iguales, dando la creencia no asignada al conjunto de todas las hipótesis. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 33

Fundamentos Teóricos La teoría de DS requiere de un conjunto de hipótesis exclusivas y exhaustivas: Θ - marco de dicernimiento 2Θ - conjunto de todos los subconjuntos de Θ En base a esto se definen dos medidas: – asignación básica de probabilidad (bpa) – función de creencia (Bel) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 34

Asignación básica de probabilidad (bpa) • Representa la porción de creencia asignada exactamente a un elemento A (subconjunto de Θ), sin incluir la creencia asignada sus subconjuntos. bpa=m(A): 2Θ ->[0, 1] • Debe satisfacer las siguientes propiedades: 1 >= m(A) >= 0 (1) m(ø) = 0 (2) Σm(A)=1 (3) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 35

Ejemplo • Para el ejemplo de la moneda Θ = {águila, sol} 2Θ = [ {águila, sol}, {águila}, {sol}, Æ ] • Caso 1: igual probabilidad m({águila}) = 0. 5, m({sol}) = 0. 5 • Caso 2: completa ignoranica m({águila, sol}) = 1 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 36

Función de creencia (Bel) • Es la creencia total en el conjunto A, incluyendo la creencia asignada propiamente a A, así como la de todos subconjuntos: Bel(A)=Σm(B), B Í A • Se puede demostrar que Bel satisface las siguientes propiedades: Bel(ø) = 0 Bel(Θ) = 1 Bel(A 1ÈA 2) >= Bel(A 1) + Bel(A 2) - Bel(A 1ÇA 2) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 37

Función de creencia (Bel) • Para una hipótesis sencilla (un solo elemento) se tiene que: Bel(A)=m(A) • Para el ejemplo de la moneda: – Caso 1: • Bel({águila, sol}) = 0. 5 + 0. 5 = 1 • Bel({águila}) = m({águila}) = 0. 5 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 38

Regla de Dempster • Para combinar distintas evidencias se calcula su suma ortogonal, aplicando lo que se conoce como la regla de Dempster, y obteniendo un nuevo grado de creencia (m) basado en la evidencia combinada: • Esta formula la podemos interpretar de la siguiente forma: – La evidencia E 1 asigna la creencia ml al subconjunto Al – La evidencia E 2 asigna la creencia m 2 al subconjunto B 1 – Entonces el producto de ambas (ml * m 2) nos da la creencia en su intersección - A Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 39

Regla de Dempster • La creencia total en A es simplemente la suma de las creencia asignadas de esta forma, es decir, la suma de la creencia de todas la intersecciones entre los conjunto Ai y Bj que den como resultado A. • Surge un problema si alguna de las intersecciones de el conjunto vacío, ya que no se puede asignar creencia a dicho conjunto (implicaría que la suma de bpa no sea l). Para resolver este caso hay que normalizar los bpa, es decir, inflar las creencias de los demás subconjuntos en forma proporcional a la creencia asignada al conjunto vacío. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 40

Regla de Dempster • Entonces la regla de Dempster en su forma general es: • Los nuevos valores de Bel para cada hipótesis son calculados de la misma forma, sumando los bpa's. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 41

Ejemplo • Si hubiera dos evidencias (expertos lanza monedas) respecto a la moneda cargada: – m 1(A) = 0. 7, m 1(Θ) = 0. 3 – m 2(S) = 0. 6, m 2 (Θ) = 04 • Entonces: m 2 m 1 {A} 0. 7 {S} 0. 6 {Æ} 0. 42 {Θ} 0. 4 {A} 0. 28 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar {Θ} 0. 3 {S} 0. 18 {Θ} 0. 12 42

Ejemplo • Normalizando: – k = 0. 42 1 -k = 0. 58 • Entonces: – m 1 Ä m 2({S}) = 0. 18 / 0. 58 = 0. 31 – m 1 Ä m 2({A}) 0. 28 / 0. 58 = 0. 483 – m 1 Ä m 2({Θ}) 0. 12 / 0. 58 = 0. 207 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 43

Posibilidad • Mientras que Bel nos da la cantidad de creencia en cierta hipótesis, otra medida denominada la posibilidad (plausibility – Pl) indica la máxima creencia que pudiera asignarse a la hipótesis. La posibilidad se define como: P 1(A) = 1 -Bel(~A) • Bel da la creencia mínima y P 1 la creencia máxima. Ambas definen un intervalo de creencia: [Bel(A), P 1(A)] Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 44

Posibilidad • El rango dentro del cual estaría la creencia en A de acuerdo a la evidencia conocida. La diferencia entre Bel y Pl nos indica la ignorancia, es decir, la creencia que NO ha sido asignada ni a la hipótesis ni a su complemento (o demás hipótesis). Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 45

Ejemplo • Para el caso anterior: – Pl({A}) = 1 – 0. 310 = 0. 690 – Pl({S}) = 1 – 0. 483 = 0. 517 • Entonces: – A: [0. 483 0. 690] – S: [0. 310 0. 517] Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 46

Otro Ejemplo • Consideremos una aplicación médica en la que hay cuatro posibles enfermedades (hipótesis): – Hepatitis (h/hep) – Cirrosis (c/cirr) – Cálculos en la vesícula (v/gall) – Pancreatitis (p/pan) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 47

Ejemplo Médico • Marco de dicernimiento (hipótesis) - jerarquía: Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 48

Ejemplo Médico - subconjuntos Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 49

Ejemplo Médico • Evidencia 1: intrahepática – 0. 6 • Evidencia 2: no hepatitis – 0. 7 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 50

Ejemplo Médico • A partir de las bpa se puede calcular el grado de creencia – Bel, por ejemplo: Bel(intrahepática) = Bel({hep, cerr}) = m(hep, cerr) + m(hep) + m(cerr) = 0. 18 + 0. 42 = 0. 60 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 51

Ejemplo Médico • Evidencia 3: hepatitis – 0. 8 - pizarrón - Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 52

Ejemplo Médico • Cálculo de bpa: k = 0. 336+0. 224 = 0. 56, 1 -k = 0. 44 m(hep) = (0. 144+0. 096)/0. 44 = 0. 545 m(cirr) = 0. 084/0. 44 = 0. 191 m(hep, cirr) = 0. 036/0. 44 = 0. 082 m(cirr, gall, pan) = 0. 056/0. 44 = 0. 127 m(Θ) = 0. 024/0. 44 = 0. 055 Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 53

Aplicaciones • En sistemas basado en reglas, cada una se considera como una fuente de evidencia, y asigna un bpa a una o un conjunto de hipótesis. • Los grados de creencia (m) de cada regla son asignados por el experto. • Los grados de creencia de cada regla son combinados aplicando la regla de Dempster. Luego se calcula Bel y Pl para cada hipótesis, obteniendo así su intervalo de creencia. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 54

Ventajas • Intervalo de creencia • Representación de ignorancia • Representa “la forma en que los expertos usan la evidencia” • Modular Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 55

Desventajas • Asume fuentes de evidencia independientes • Interpretación de los valores finales (Bel) • Bel no se puede interpretar como frecuencias • Complejidad computacional (hipótesis sencillas, redes) Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 56

Referencias • Lucas & Van Der Gaag, Principles of Expert Systems, Addison-Wesley, 1991 – Cap. 5 • Buchanan & Shortliffe, Ruled-Based Expert Systems, Addison-Weslev, 1984 - Cap 10 -13. • D. Heckerman, Probabilistic interpretations for MYCIN´s certainty factors, UAI, 1986 • Shafer, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton Univ. Press. 1976. Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 57

Actividades • Hacer ejercicios de técnicas alternativas Incertidumbre - T. A. , L. E. Sucar 58