Series de Fourier Las series de Fourier se

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Series de Fourier § Las series de Fourier se aplican a señales periódicas. Fueros

Series de Fourier § Las series de Fourier se aplican a señales periódicas. Fueros propuestas por el matemático francés Joseph Fourier en 1807. § Con el uso de las series de Fourier, “una señal periódica que satisface ciertas condiciones, puede ser expandida a una suma infinita de funciones seno y coseno. ”

Series de Fourier Tiempo Continuo Considere una señal periódica real de tiempo x(t), con

Series de Fourier Tiempo Continuo Considere una señal periódica real de tiempo x(t), con periodo T De acuerdo a Fourier, la forma trigonométrica con coeficientes reales de la serie de Fourier de una señal periódica, está dada por: Frecuencia angular 0=2 /T

Obtención de los coeficientes § En estas integrales los coeficientes an y bn están

Obtención de los coeficientes § En estas integrales los coeficientes an y bn están en función de n 0. § Cn son los coeficientes de Fourier

Obtención de los coeficientes § Debido a la periodicidad, es más conveniente utilizar los

Obtención de los coeficientes § Debido a la periodicidad, es más conveniente utilizar los límites de integración de t=0 a t=T. note que el coeficiente a 0/2 da el valor promedio de x(t) en el intervalo de un periodo, es decir:

Armónicos En la fórmula de expansión de la serie de Fourier, n=1 define el

Armónicos En la fórmula de expansión de la serie de Fourier, n=1 define el armónico fundamental, n=2 da el segundo armónico, etc. Una señal senoidal de frecuencia angular n 0, se llama el armónico de orden n. Para muchos coeficientes reales an y bn decaen muy rápido a cero a medida que n se incrementa, por esto, las señales pueden ser aproximadas por la serie truncada de Fourier Donde N es el número de armónicos incluidos en la aproximación. Una buena aproximación? No, entonces se aumenta N

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Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T: 1 f(t) t . . . -T/ 2 0 -1 T/ 2 Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes an:

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Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficiente a 0:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficiente a 0:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes bn:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes bn:

Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier

Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0=p, es decir, T=2:

Cálculo de los coeficientes de la Serie 1. 5 Componentes de la Serie de

Cálculo de los coeficientes de la Serie 1. 5 Componentes de la Serie de Fourier Componentes 1 0. 5 0 -0. 5 Suma fundamental tercer armónico quinto armónico septimo armónico -1 -1. 5 -1 -0. 5 0 t 0. 5 1

Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación 0. 7

Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación 0. 7 Espectro de Amplitud de f(t) Cn 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 -30 -20 -10 0 n 10 20 Frecuencia negativa ? Frecuencia Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, armónico = múltiplo de 0). 30 (n=número de

De la Serie a la Transformada de Fourier Tren de pulsos de amplitud 1,

De la Serie a la Transformada de Fourier Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T: 1 f(t) p . . . -T -T/ 2 0 -p/ 2 T/ 2 p/ 2 T. . . t

De la Serie a la Transformada de Fourier Los coeficientes de la Serie Compleja

De la Serie a la Transformada de Fourier Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra =n 0.

De la Serie a la Transformada de Fourier Espectro del tren de pulsos para

De la Serie a la Transformada de Fourier Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

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De la Serie a la Transformada de Fourier Si el periodo del tren de pulsos aumenta: 1. 5 p=1, T=2 f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 1. 5 t 0 10 20 p=1, T=5 f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 0 t 1. 5 p=1, T=10 f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 1. 5 t 10 20 0 t 10 20 p=1, T=20 1 f(t) 0 0. 5 0 -20 -10

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De la Serie a la Transformada de Fourier En el límite cuando T , la función deja de ser periódica: 1. 5 p=1, T= f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 0 t 10 20 ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

De la Serie a la Transformada de Fourier 0. 6 cn p=1, T=2 0.

De la Serie a la Transformada de Fourier 0. 6 cn p=1, T=2 0. 4 0. 2 0 -0. 2 -50 0 =n 0 50 0. 3 p=1, T=5 0. 2 0. 1 0 -0. 1 -50 0 0. 15 50 p=1, T=10 0. 1 0. 05 0 -0. 05 -50 0. 06 0 50 p=1, T=20 0. 04 0. 02 0 -0. 02 -50 0 50

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De la Serie a la Transformada de Fourier Si hace T muy grande (T ): El espectro se vuelve ¡continuo!

De la Serie a la Transformada de Fourier El razonamiento anterior nos lleva a

De la Serie a la Transformada de Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n 0, sino como una función continua de la frecuencia . Así, la serie Al cambiar la variable discreta n 0 (cuando T ) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:

De la Serie a la Transformada de Fourier Como La serie queda O bien,

De la Serie a la Transformada de Fourier Como La serie queda O bien, cuando T , n 0 y 0 d y la sumatoria se convierte en

De la Serie a la Transformada de Fourier Es decir, Identidad de Fourier Donde

De la Serie a la Transformada de Fourier Es decir, Identidad de Fourier Donde Transformada De Fourier Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

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De la Serie a la Transformada de Fourier Notación: A la función F(ω) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(ω) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F – 1 , es decir

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De la Serie a la Transformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(ω) para el pulso rectangular f(t) siguiente 1 -p/ 0 2 f(t) p/ 2 t Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

De la Serie a la Transformada de Fourier Integrando Usando la fórmula de Euler

De la Serie a la Transformada de Fourier Integrando Usando la fórmula de Euler Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

De la Serie a la Transformada de Fourier En forma gráfica F(ω) con p=1

De la Serie a la Transformada de Fourier En forma gráfica F(ω) con p=1 1 0. 5 0 -50 0 50 ω