Seminrio LCSLPS Aplicaes da Teoria do Caos em

Seminário – LCS/LPS Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais Marcio Eisencraft

Sumário da apresentação 1. Introdução - Sinais caóticos 2. Modulação usando portadoras caóticas 3. Estimação de sinais caóticos 4. Espectro de sinais caóticos 5. Pesquisa e trabalhos atuais 2

1. Sinais Caóticos Ø Sinais caóticos: ü Limitados ü Determinísticos ü Aperiódicos ü Dependência sensível com as condições iniciais Ø Características levam a aplicações de sinais caóticos em diversas áreas tecnológicas Ø Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação, codificação, criptografia entre outras 3

1. 1 Caos - Histórico • • • Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. 1890 - Poincaré - Soluções muito complicadas Década de 1960 - Assunto retomado: – Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas. – Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais • • • Década de 1970 - Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas Década de 1980 - Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas 1984 - Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua); 1990 - Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos – Pecora e Carroll Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se: – Cuomo e Oppenheim (MIT); Chua (Berkeley); Hassler (Swiss Federal Institute of Technology); Grebogi (IFUSP), . Rovatti, Setti (Ferrara), entre muitos outros 4

1. 2 Equações de diferenças • Modelo populacional exponencial • Exemplo: a = 2 n s 1(n) s 2(n) 0 1 5 1 2 10 2 4 20 3 8 40 4 16 80 5 32 160 5

• Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente 6

1. 2 Equações de diferenças • Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais • a = 2, 8 n s 1(n) s 2(n) 0 0. 4000 0. 8000 1 0. 6720 0. 4480 2 0. 6172 0. 6924 3 0. 6616 0. 5963 4 0. 6269 0. 6740 5 0. 6549 0. 6628 6 0. 6328 0. 6258 7 0. 6506 0. 6557 0. 6429 7

• Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição inicial 8

1. 2 Equações de diferenças • a = 3, 3 n s 1(n) s 2(n) 0 0. 1500 0. 8000 1 0. 4207 0. 5280 2 0. 8043 0. 8224 3 0. 5195 0. 4820 4 0. 8237 0. 8239 5 0. 4791 0. 4787 6 0. 8235 7 0. 4795 0. 4796 0. 8236 0. 4794 9

• Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores 10

1. 2 Equações de diferenças • a = 3, 5 n s 1(n) s 2(n) 0 0. 1500 0. 8000 1 0. 4462 0. 5600 2 0. 8649 0. 8624 3 0. 4090 0. 4153 4 0. 8460 0. 8499 5 0. 4560 0. 4465 6 0. 8682 0. 8650 7 0. 4005 0. 4088 0. 8750 0. 3828 0. 8269 0. 5009 11

• Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores 12

1. 2 Equações de diferenças • a=4 n s 1(n) s 2(n) 0 0. 3001 1 0. 8400 0. 8402 2 0. 5376 0. 5372 3 0. 9945 4 0. 0225 0. 0220 5 0. 0879 0. 0860 6 0. 3208 0. 3143 7 0. 8716 0. 8621 8 0. 4476 0. 4755 9 0. 9890 0. 9976 ? ? 13

• Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas; sensibilidade às condições iniciais • CAOS 14

Caos em Sistemas Discretos • Mapa Logístico 15

1. 3 Equações diferenciais 16

1. 4 Propriedades interessantes • Propriedades interessantes dos sinais caóticos para Telecomunicações: – Ocupam largas faixas de freqüências; – Função de autocovariância impulsiva; – Função de covariância cruzada com outras órbitas com valores muito baixos. • Propriedades desejadas para modulações spread spectrum. 17

Sumário da apresentação 1. Introdução - Sinais caóticos 2. Modulação usando portadoras caóticas 3. Estimação de sinais caóticos 4. Espectro de sinais caóticos 5. Pesquisa e trabalhos atuais 18

2. 1 Sistema de Wu e Chua • Sincronismo de sistemas caóticos • Mensagem inserida na geração do sinal 19

Exemplos - Sistema de Wu e Chua 20

2. 2 Influência da Limitação em Banda m(t) = sen(2 500 t) - fa = 8 k. Hz - passo de integração = 0, 06 - a = 21 -30 d. B

2. 2 Influência da Limitação em Banda fcs = 0, 7 ffcici==0, 02 22

2. 3 Resolvendo o problema da limitação em banda • Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido. EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000. 23

2. 4 Resultados Obtidos ffcs = 0, 7, fss = = 0, 63 = 0, 9 fcs cs = 0, 7, fss cs = 0, 63 fci =0, 02, fli =0, 05 24

2. 5 Diminuindo os efeitos do ruído • Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal • Direção a seguir: comunicações digitais nãocoerentes • Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor 25

2. 6 Modulações digitais • Símbolo transmitido como os coeficientes de uma combinação linear de sinais caóticos • Transmissor – Nb=1 • Receptor coerente • Receptor não-coerente 26

2. 7 DCSK – Differential Chaos Shift Keying • CSK com Nb=2 em que as seqüências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos • Modulador DCSK • Demodulador diferencial 27

2. 8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK Modulador • Modificação do DCSK – energia por símbolo em freqüência constante • Antes da modulação insere-se o sinal caótico num modulador FM • Energia do sinal FM independe do sinal modulante |1| Magnitudeângulo para complexo 28

2. 9 Simulações EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBr. T'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1 -6. 29

2. 10 Comparações entre os sistemas Sistema Limiar Energia Sincronização Não uso da dinâmica CSK coerente CSK nãocoerente DCSK FM-DCSK X X X X 30

Sumário da apresentação 1. Introdução - Sinais caóticos 2. Modulação usando portadoras caóticas 3. Estimação de sinais caóticos 4. Espectro de sinais caóticos 5. Pesquisa e trabalhos atuais 31

3. 1 CRLB - Formulação do problema • Sistema dinâmico • Seqüência observada sendo r (n) AWGN com média nula • Determinar o menor mse que um estimador sem viés de s 0 pode assumir dado s’ (n) e f (. ) (CRLB). 32

Teorema 1 Sejam • uma órbita do sistema dinâmico • r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σr 2 • o mapa f(. ) derivável em todos os pontos dessa órbita Então, 33

Teorema 2 • Nas mesmas condições do Teorema 1, o limite do CRLB quando N → ∞ é • L≡L(s 0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n, s 0) converge • Resultado válido para órbitas caóticas ou não. EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits. Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p. 132 -139, 2008 . 34

3. 2 O MLE • MLE: Valor de θ que maximiza p(x; θ) • Simples para mapas com densidade invariante uniforme (Papadopoulos; Wornell, 1993) • Assintoticamente sem viés e eficiente. • Usando o Teorema 2, mostra-se que para o mapa f. T(. ) 35

MLE – Estimação da condição inicial – f. I(. ) 36

3. 3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi • Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de NS estados possíveis • Domínio U segmentado em NS intervalos: U 1, . . . , UNs • Estado q(n) = j se • Dedieu e Kisel (1999) partição uniforme – Mapas com densidade uniforme • Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição não-uniforme 37

Exemplos de matrizes de transição de estados 38

Simulações - mapa quadrático f. Q(. ) EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9 th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9 th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, 2006. p. 67 -68. 39

3. 4. MLE x Viterbi 40

3. 5 O ML-CSK modificado com dois mapas • (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001) • Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas • Receptor Decodificador de Viterbi Cálculo de verossimilhança Circuito de decisão Cálculo de verossimilhança 41

Como escolher mapas? (1/2) • Caso mapa tenda: proposta adaptada de (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001) 42

Como escolher o mapa? (2/2) • Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela Ponto fixo superatrator! 43

3. 6 ML-CSK com um mapa • Transmissor igual ao do CSK bipolar com uma função de base: • Receptor: Decodificador de Viterbi Cálculo de verossimilhança Circuito de decisão Cálculo de verossimilhança -1 44

3. 7 Simulações computacionais 45

3. 8 Trabalhos futuros (1/2) A. Análise dos sistemas propostos para o caso Mário B. Análise da complexidade computacional C. Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso multidimensional D. Uso de modelos de canais mais complicados E. Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos F. Otimização da escolha dos mapas e transformações utilizados no ML-CSK 46

3. 8 Trabalhos futuros (2/2) G. Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK. H. Multiplexação – sistemas multiusuários 47

Sumário da apresentação 1. Introdução - Sinais caóticos 2. Modulação usando portadoras caóticas 3. Estimação de sinais caóticos 4. Espectro de sinais caóticos 5. Pesquisa e trabalhos atuais 48

4. 1 Aplicações - Caracterização Convencional • Larga faixa de freqüências • Seqüência de autocorrelação impulsiva • Seqüência de correlação cruzada com valores baixos • Apesar de essenciais, poucos resultados analíticos Objetivos: • Verificar se caos implica banda larga • Determinar a banda essencial de sinais caóticos • Gerar sinais caóticos com banda pré-definida 49

4. 2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA em que • Parâmetro determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda 50

4. 2 Mapas tenda inclinada f. I (. ) 51

4. 3 Caos como processo estocástico • Mapa define processo estocástico com órbitas como funções-amostras – Seqüência de Autocorrelação (SAC) – Densidade Espectral de Potência (DEP) – Função Densidade de Probabilidade (FDP) ou Densidade Invariante • Exemplo: Ruído Branco Gaussiano DEP FDP 52

4. 4 Densidade Invariante 53

4. 5 Seqüência de Autocorrelação • A SAC R ( k ) para um fixo é definida por • Para facilitar a notação, define-se e • Assim 54

Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos 4. 6 Seqüência de Autocorrelação 55

Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos 4. 7 Seqüência de Autocorrelação • Substituindo as equações de reta em R (k) • Iterando-se uma vez, 56

4. 7 Seqüência de Autocorrelação • Para positivos, a SAC decai monotonicamente • Para negativos, a SAC decai de forma oscilatória • para 1 = - 2 57

4. 7 Seqüência de Autocorrelação 58

4. 8 Densidade Espectral de Potência • A DEP é dada pela TFTD de R(k) KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8 th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, 2007. v. 1. p. 105 -108. KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBr. T'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBr. T'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1 -5. 59

4. 8 Densidade Espectral de Potência • Quanto maior | |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes • Sinal de define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas freqüências • Simetria com relação a α = 0. 5 60

4. 8 Densidade Espectral de Potência 61

4. 9 BANDA ESSENCIAL • Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial • A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998) 62

4. 9 BANDA ESSENCIAL • | | 0: processo ruído branco uniforme • | | 1: banda essencial extremamente estreita 63

Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos 410 Espectro - Conclusões parciais • Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos • Resultados analíticos comprovam resultados numéricos - Verificar se caos implica banda larga • Caos não é sinônimo de banda larga • Sinais caóticos com potência concentrada nas baixas ou altas freqüências - Determinar a banda essencial de sinais caóticos • Fórmula analítica para família tenda inclinada • Banda essencial relacionada ao expoente de Lyapunov 64

4. 10 Espectro - Conclusões parciais - Gerar sinais caóticos com banda pré-definida É possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada • Existe unicidade? Mapa unidimensional DEP e Densidade invariante 65

4. 11 Algumas Propostas de Trabalhos Futuros ü Comportamento espectral de outros mapas ü Propriedades espectrais são mantidas por conjugação? ü Mapas multidimensionais ü Estudo de características espectrais de esquemas de modulação caóticos: CSK, DCSK ü Novas aplicações empregando essa características 66

Sumário da apresentação 1. Introdução - Sinais caóticos 2. Modulação usando portadoras caóticas 3. Estimação de sinais caóticos 4. Espectro de sinais caóticos 5. Pesquisa e trabalhos atuais 67

6. 1 Trabalhos em andamento A. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre estimação B. Trabalhos futuros apresentados na seção sobre espectro C. Aplicação de conceitos de caos na análise de séries temporais (quasar (CRAAM); voz) D. Aplicações em seqüências para espalhamento espectral 68

Fim marcio@lcs. poli. usp. br www. lcs. poli. usp. br/~marcio 69