Seminar WS 0405 Prof Beutelspacher Geometrie und Wirklichkeit
Seminar WS 04/05 Prof. Beutelspacher Geometrie und Wirklichkeit Körper Von Yelyzaveta Rabinovych Tim Schweisgut Christoph Puhl Dirk Woitaschek
Zoom auf die Erde
Einleitung n n Überall in unserer Umwelt finden sich Rollen, Walzen, Kugeln, Ziegel, Blöcke, Eistüten. . Damit sind geometrische Körper gemeint. In der Mathematik heißen sie Zylinder, Kugel, Quader, Pyramide, Kegel, Würfel usw. Wenn man jetzt das Volumen oder die Oberfläche eines solchen "Dinges" bestimmen möchte, kann man froh sein, wenn es eine regelmäßige geometrische Form hat. Denn dann kann man mit Hilfe von Abmessen oder Abschätzen und einer passenden Formel Volumen, Oberfläche und bestimmte Längen oder Winkel der Körper berechnen. Schwieriger ist es, wenn ein Körper aus mehreren Grundformen zusammengesetzt ist oder gar vollkommen unregelmäßig ist. Beispiele:
Einleitung n Die eben gesehenen Körper wurden von verschiedenen „Erbauern“ erzeugt! n n n Natur Menschen Maschinen
Die Reise beginnt n Wir starten kurz vor der Erde und fliegen am Mond vorbei n n Mond = Kugel Wir fragen uns nun was ist eine Kugel n n n Definition Formeln usw…
Die Kugel Definition n n Eine Kugel ist in der Mathematik ein Körper, der nur aus einer Oberfläche besteht und deshalb hohl ist. Im nichtmathematischen Zusammenhang wird eine Kugel oft als Festkörper betrachtet (mathematisch das Innere der Kugel) Genauer ist eine Kugel die Menge aller Punkte bzw. der geometrische Ort aller Punkte im 3 -dimensionalen Euklidischen Raum, die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes haben. r ist dabei eine positive reelle Zahl, genannt Radius der Kugel.
Die Kugel Definition n n Eine Kugel mit Zentrum(x 0, y 0, z 0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x, y, z), so dass 2 2 n (x - x 0) + (y - y 0) + (z - z 0) = r Eine Kugel kann auch als diejenige Fläche definiert werden, die bei der Rotation eines Kreises um seinen Durchmesser entsteht. n Rotationskörper dazu gleich
Die Kugel Formeln und weiters Vorkommen n n Das Kugelvolumen V berechnet sich als: 3 n V = 4 Br /3 (Beweis) Die Oberfläche O einer Kugel mit Radius r ergibt sich als: n n O = 4 Br 2 weiteres Vorkommen: n n Sport Natur Obst Kunst
Die Kugel Beweis vom Kugelvolumen n Wir beweisen die Formel indem wir über die Halbkugel gehen und benutzen Der Abstand h der Schnittebene von der Ebene kann jeden Wert zwischen 0 und dann das Prinzip von Cavalieri r annehmen. (siehe Animation) n Um das Volumen einer Halbkugel vom Radius r (links oben) herauszufinden Wenn man r und h kennt, lassen sich also die Inhalte der beiden Schnittflächen verwendet man einen Vergleichskörper (rechts oben), dessen Volumen einfacher berechnen! zu berechnen ist! n n Kreiszylinder mit Radius r und Höhe r aus dem Für die grüne ergibt sich: A 1 = s 2 A => A 1 = (r 2 - h 2)A (Pythagoras) n Ein Kreiskegel mit Radius r und Höhe r herausgenommen wurde Man zeigt jetzt dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Für die orange ergibt sich: A 2 = r 2 A - h 2 A = (r 2 - h 2) A Volumen haben. Man sieht nun das die beiden Inhalte tatsächlich überein stimmen! (für jeden n Dazu schneidet man beide Körper parallel zur jeweiligen Grundfläche durch Wert von 0 bis h) (man stellt sich dies nur vor!) Nach dem Prinzip von Cavalieri muss folglich auch das Volumen der Halbkugel n Schnittflächer der Kugel ergibt einen Kreis (grün) gleich dem Volumen des Vergleichskörpers sein n Schnittfläche des Vergleichskörper ergibt einen Kreisring (orange) n n n Vol Halbkugel = Vol Vergleichskörper = Vol Zylinder - Vol Kegel = r 2 A · r - (1/3) r 2 A · r = (2/3) r 3 A
Die Reise geht weiter n Vom Mond aus nähern wir uns der Umlaufbahn der Erde. Es schwebt eine Raumstation vorbei! n n n Sie besteht aus Modulen Module = Zylinder Was ist ein Zylinder? n n n Definition Formeln usw. .
Der Zylinder Definition n n Der Begriff Zylinder (v. griech. : kylíndein rollen, wälzen) bezeichnet in der Geometrie einen geometrischen Körper, der durch die Verschiebung eines Kreises entlang einer Geraden durch den Kreismittelpunkt, der Achse, die nicht in der Ebene des Kreises liegt, entsteht. Varianten n n Gerader Zylinder, dessen Achse senkrecht zur Kreisebene liegt Schiefer Zylinder, bei dem dies nicht der Fall ist! (Querschnitt hat die Form einer Ellipse)
Der Zylinder Formeln n Volumen eines Zylinders berechnet sich mittels des Radius r der Grundfläche des Zylinders und der Höhe h: n n V = Br 2 h Die Oberfläche ergibt sich aus: n O = 2 Brh + 2 Br 2 = 2 Br(r + h) Andere Zylinderarten
Der Zylinder Andere Arten zurück
Der Zylinder Weiteres Vorkommen n In verschiedenen Bereichen des Lebens kommen Zylinder vor!
Wir bleiben in der Umlaufbahn n Wir schauen uns die „Solarsegel“ der Raumstation an, diese rotieren da die Raumstation rotiert n n => Rotationskörper Was ist ein Rotationskörper? n n n Definition Formeln Usw. .
Rotationskörper Definition n n Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer in einer Ebene liegenden erzeugenden Fläche um eine in derselben Ebene liegende, aber die Fläche nicht schneidende Achse gebildet wird. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus, der durch die Rotation eines Kreises gebildet wird. Auch Körper wie Zylinder und Hohlzylinder zählen zu den Rotationskörpern. Das Volumen und die Oberfläche wird mit den Guldinschen Regel errechnet.
Paul Guldin n n zurück Paul Guldin, ursprünglich Habakuk Guldin (* 12. Juni 1577 in St. Gallen, † 3. November 1643 in Graz), war Astronom und Professor für Mathematik in Graz und Wien. Lernte zuerst die Goldschmiedekunst, trat 1597 zum Katholizismus über und nahm dabei den Vornamen Paul an. Kurz darauf tratt er in den Jesuitenorden in München ein. Dort erkannte man sein Talent für Mathematik und sandte ihn zur weiteren Ausbildung nach Rom. Anschließend lehrte er in Rom, Wien und Graz. Sein größtes Werk Centrobaryea erschien in 4 Büchern 1635, 1640 und 1641 in Wien und enthält die baryzentrische Regeln, heute Guldinschen Regeln genannt, mit denen man Volumen und Oberflächen von Rotationskörpern berechnen kann. Diese Regeln wurden allerdings schon ca. 300 v. Chr. von Pappos von Alexandria in seinem mathematischen Lehrbuch beschrieben, so dass es sich hier eigentlich um eine Wiederentdeckung handelt.
Rotationskörper Formeln 1. Guldinsche Regel Die Oberfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt des Umfanges der erzeugenden Fläche mal dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises: Beispiel: Oberfläche eines Torus: S = Oberfläche L = Länge der erzeugenden Fläche R = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche r = Radius des erzeugenden Kreises
Rotationskörper Formeln 2. Guldinsche Regel Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus der erzeugenden Fläche mal dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises: Beispiel: Volumen eines Torus: V = Volumen A = erzeugenden Fläche R = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche r = Radius des erzeugenden Kreises
Einzelne Rotationskörper n Rotationsparaboloid n Rotationsellipsoid
Rotationsparaboloid n n Ein Rotationsparaboloid ist in der Mathematik der Rotationskörper einer Parabel, also die dreidimensionale Figur, die entsteht, wenn man eine (zweidimensionale) Parabel um ihre Symmetrieachse rotieren lässt. Anwendung n Wenn man eine Flüssigkeit gleichmäßig um eine senkrechte Achse dreht, dann überlagern sich Schwerkraft und Fliehkraft, und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das Quecksilber>Teleskop, und so kann man auch Teleskop-Spiegel gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen.
Rotationsellipsoid n n Ein Rotationsellipsoid (auf Englisch "spheroid") ist ein Ellipsoid, das durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht. Man unterscheidet n n Abgeplattete Ellipsoid bei Rotation um die kleine Achse und das Verlängerte Ellipsoid bei Rotation um die große Achse Anwendung Vorkommen in der Natur
Rotationsellipsoid Anwendung n zurück In der Geodäsie, Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annäherung an das (physikalische) Geoid benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man spricht dann von einem Referenzellipsoid.
Rotationsellipsoid Weiteres Vorkommen in der Natur n Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide. n n n entstehen durch die Fliehkraft (Verformung) an den Polen werden diese Körper abgeplattet am Äquator entsteht eine Ausbauchung Besonders deutlich ist die Abplattung bei der Sonne und den großen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind. Aber auch die Erde und die anderen terrestrischen Planeten werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt. n n Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die Erdabplattung beträgt 1/298.
Die Reise geht weiter n Von der Umlaufbahn aus sehen wir die Erde n n Wieder eine Kugel Ist ein Beispiel für Körper im Körper da auf der Erde weitere Körper zu finden sind!
Die Reise geht weiter n Wir durchfliegen eine Wolke und fangen einen Regentropfen auf n n n Regentropfen = Kugel + Kegel Beispiel für zusammengesetzten Körper Was ist ein Kegel? n n n Definition Formeln Usw. .
Kegel Definition n n In der Geometrie ist ein Kegel ein Körper, der durch eine Kreisfläche, umschlossen vom Basiskreis, und einen Punkt, der Spitze, begrenzt ist. Dabei liegt die Spitze nicht in der gleichen Ebene wie die Kreisfläche. Vereinzelt wird für Kegel auch das lateinische Wort Konus verwendet mit dem zugehörigen Eigenschaftswort konisch. Die Gerade, auf welcher der Mittelpunkt des Basiskreises und die Spitze liegen, nennt man die Achse des Kegels. Der Mantel ist jener Teil der Oberfläche, der nicht durch den Basiskreis gebildet wird.
Kegel Definition n n n Die Ebene, in der Basiskreis liegt, heißt Basisebene (oder Basiskreisebene) Als Höhe (h) des Kegels wird der Normalabstand von der Basiskreisebene und der Spitze bezeichnet Unter Radius (r) des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises Steht die Achse senkrecht auf die Basisebene, spricht man von einem geraden Kegel oder Drehkegel, ansonsten von einem schiefen Kegel Bei einem Drehkegel werden die Verbindungslinien von Basiskreis zur Spitze Erzeugende genannt (m), da sie den Mantel "erzeugen". Der Winkel zwischen Erzeugenden und Achse eines Drehkegels heißt Öffnungswinkel (φ).
Kegel Formeln n Das Kegelvolumen berechnet sich wie folgt: n n Beweis Die Kegeloberfläche (des Mantels) berechnet sich wie folgt: n Wobei s die Länge der Erzeugenden ist!!
Kegel Beweis-Volumen n Ein beliebter Beweiß wird mit Integration abgehandelt!! Die Gerade aus der Grafik ist wie folgt definiert: Man lässt den Körper nun an der X-Achse rotieren: Nun bestimmt man das Integral es folgt
Kegel Ergänzung und weiteres Vorkommen n Kegelstumpf n Doppelkegel n Weiteres vorkommen des Kegel und des Kegelstumpfes
Kegelstumpf
Doppelkegel n Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen die so genannten Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel Ellipse bzw Kreis Parabel bzw im Sonderfall eine Gerade Hyperbel
Die Reise geht weiter n n Wir fliegen an einem Berg vorbei, auf diesem steht eine Sternenwarte! Zoom in n n Uns begegnen Prismen Was ist ein Prisma? n n n Definition Formeln usw
Das Prisma Definition n Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung einer ebenen Fläche (der Grundfläche) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur Fläche, spricht man von einem geraden Prisma, andernfalls von einem schiefen Prisma. Ist die Grundfläche ein Kegelschnitt, so spricht man von einem Zylinder. Ein Prisma ist ein Körper aus einem Material, das einen höheren Brechungsindex hat als die Umgebung!!
Das Prisma Definition und Formel n n n Oft betrachtet man nur Prismen, deren Grundfläche ein Vieleck ist. Dessen Mantel besteht aus Parallelogrammen, beim geraden Prisma aus Rechtecken. Ein solches Prisma ist ein spezieller Polyeder. Eine besondere Form des Prismas ist, neben dem Zylinder, der Hexaeder (Würfel). Er ist von jeder Seite betrachtet ein Prisma. Das Volumen V eines Prismas ist gegeben durch n V = AG h (AG = Grundseite, h= Höhe)
Das Prisma Weiteres Vorkommen n Man benutzt Prismen z. B zur Herstellung von Spiegeln, Ferngläser und Teleskopen
Die Reise geht weiter… … und jetzt wird es „leider“ etwas trockener:
Die Reise geht weiter n Wir fliegen über Ägypten hinweg, und kommen an großen alten Bauwerken vorbei: n n Den Pyramiden Was ist eine Pyramide? n Definition n Formeln n usw. .
Die Pyramide Definition n Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen.
Die Pyramide Formeln und weiteres Vorkommen n Für das Volumen der Pyramide gilt: n Für die Oberfläche der Pyramide gilt: wobei p der Umfang der Grundfläche und hs die Höhe einer Seitenfläche ist.
Tetraeder n n Natürlich ist ein Tetraeder ebenfalls eine Pyramide. Eine Pyramide mit einer 3 seitigen Grundfläche. Das Tetraeder gehört zu den platonischen Körpern… dazu allerdings erst später mehr.
Pyramide weitere Vorkommen n Wo kommen denn noch Pyramiden in unserem Alltag vor?
Irgendwo in der Nähe unserer letzten Station n Finden wir wieder einen anderen Körper: n n Den Obelisken Was ist ein Obelisk? n Definition n Formeln n usw. .
Der Obelisk Definition n n Obelisk wird ein Polyeder genannt, dessen Seitenflächen Trapeze sind. In dem hier betrachteten Spezialfall sind die parallelen Grundflächen Rechtecke, einander gegenüberliegende Kanten haben die gleiche Neigung gegenüber der Grundfläche, laufen aber nicht in einem Punkt zusammen.
Obelisk Formel n Für das Volumen des Obelisken gilt:
Doch wir haben nicht soviel Zeit, also lasst uns weiterreisen nach… n n n … Kairo Downtown: Denn dort finden wir: Quader!
Quader Definition n Quader sind gerade Parallelepipede mit rechteckigen Grundflächen.
Quader Eigenschaften und Formeln n n Bei einem Quader sind die Raumdiagonalen gleich lang. Wenn a, b und c die Kanten des Quaders sind, und d die Diagonallänge, gilt:
Quader weitere Vorkommen n Quader sind Körper die uns, im Gegensatz zu Pyramiden oder Obelisken viel häufiger im Alltag begegnen:
Nach einer weiteren halben Weltreise kommen wir an in… n n Und beobachten die Dreharbeiten von…
Cube
Der Würfel Definition n Geometrischer Würfel n n In der Geometrie bezeichnet man mit Würfel einen Vielflächner (Polyeder) dessen Seiten Quadrate sind. Genauer: Es handelt sich um einen Sechsflächner (Hexaeder) mit 12 Kanten und 8 Ecken. Die Kanten sind alle gleich lang! Der Würfel ist einer der Platonischen Körper (dazu später mehr) Spielwürfel n n Bei Spielen wird ein Würfel als Zufallsgenerator verwendet! Jeder Polyeder ist als Spielwürfel geeignet!
Der Würfel Definition n In der Kryptologie ein Verschlüsselungsverfahren n Ein Beispiel für ein Transpositions-Verschlüsselungsverfahren ist der Würfel: Der Klartext wird zeilenweise aufgeschrieben und nach einer festen Anzahl von Zeichen k umgebrochen. Das letzte Zeichen muss am Ende einer Zeile stehen, sonst wird der Text mit Füllbuchstaben ergänzt. Das spaltenweise Auslesen des Textes ergibt den Geheimtext, der Schlüssel ist die Zeilenlänge k. Beispiel für Schlüssel k= 8: Klartext: DIES IST EIN BEIS PIELXXXX Geheimtext: DEPIIIENES L BXIEXSIXTSX (Spartaner benutzten eine Skytale um Texte zu verschlüsseln)
Der Würfel Formeln n Berechnung des Volumen: n n V = l 3 Berechnung der Oberfläche: n A = 6 l 2
Der Würfel Weiteres Vorkommen n n In der Linearen Algebra spricht man auch vom Einheitswürfel des VR Rn. Dies ist die Teilmenge [0, 1]x…x[0, 1], ein n-dim achsenparaller Würfel mit Seitenlänge 1 und einer Ecke im Ursprung Als Knobelspiel wie z. B Rubiks Würfel n n Beispiel für Fraktale Körper Architektur und Kunst
Fraktale Figuren (Selbstähnlich) n Definition n Eine Figur wird selbstähnlich genannt, wenn Teile der Figur kleine Kopien der ganzen Figur sind. Eine Figur ist exakt selbstähnlich, wenn sie in Teile, die exakte Kopien der ganzen Figur sind, zerlegt werden kann. Jeder beliebige Teil enthält eine exakte Kopie der ganzen Figur. Beispiel: n Das Farnblatt zurück
…weiter geht´s n Wir verlassen Hollywood und fliegen in eine Wohngegend n n n Wieder sehen wir viele Quader In fast allen Häusern findet man andere Körper (gleich mehr) Wir sehen Kinder auf der Straße spielen: n n Diabolo => Doppelkegel Seilspringen => kann man als Rotationskörper betrachten
Zoom in ein Wohnhaus n Hier finden wir verschiedene „einfache Körper“ n n Der Fernseher (Quader) Kühlschrank (Quader) und vieles mehr Zoom in n n den Fernseher ergibt das man verschiedene Bauteile sieht die wieder aus den schon besprochenen erbaut werden können! Den Kühlscharnk, hier finden wir viele verschiedene Körper aber wir picken uns mal das Ei herraus
Das Ei Wo es uns im Alltag begegnet. . . Das Hühnerei Forschungsreaktor der TU München IMAX Kino im Das Überraschungsei Ostereier Mainfrankenpark Dettelbach
Das Ei Wo es uns im Alltag begegnet. . . Minikühlschrank Wohnwagen Luftballons
Das Ei Ein sehr symmetrischer Körper Offenbar ist ein Ei ein sehr symmetrischer Körper. Rotationssymmetrie Gibt es eine Gerade g und einen Winkel a, so dass der Körper bei Drehung Aus vielen verschiedenen Richtungen sieht das Ei immer gleich aus. um g und den Winkel a auf sich abgebildet wird, so heisst der Körper Befestigt man z. B. das Ei senkrecht mit dem dicken Ende auf einem Tisch dreh- oder rotationssymmetrisch. g heißt die Dreh- oder Symmetrieachse und geht nun um den Tisch herum, so wird man feststellen, dass das Ei des Gegenstands. immer gleich aussieht, egal, wo man sich befindet. Damit ist klar, dass die Symmetrieachse des Eies wie hier dargestellt liegen muss. Ein Ei ist also ein Rotationskörper!
Das Ei Ein sehr symmetrischer Körper Da ein Ei ein Rotationskörper ist, gibt es also einen repräsentativen Querschnitt des Eies, mit dem man durch Rotation wieder das komplette Ei herstellen kann. Diesen erhält man, wenn man das Ei entlang der Symmetrieachse von oben nach unten durchschneidet. Ein Ei ist somit rotationssymmetrisch.
Das Ei Ein sehr symmetrischer Körper Spiegelt man eine "Eierhälfte" an der Ebene, die beim "Durchschneiden„ Ebenensymmetrie Gibt es eine Ebene, so dass eine Figur im Raum unter Spiegelung entlang der Symmetrieachse entstanden ist, so erhält man wirklich wieder an dieser Ebene in sich selbst überführt wird, so nennt man die Figur das komplette Ei. Diese Ebene nennt man „Spiegelebene“. ebenensymmetrisch. Daher ist ein Ei ebenensymmetrisch bzgl. der oben genannten Spiegelebene.
Das Ei Volumenberechnung Da kein Ei gleich ist, gibt es auch keine allgemein gültige Funktion, in die man einige Werte einsetzt und aus der man dann sofort das Volumen des Eies erhält. Wir möchten an dieser Stelle ein Experiment zur Modellierung eines Eies vorstellen, welches mit einer Schulklasse durchgeführt wurde.
Das Ei Volumenberechnung Als erstes wird mit einem „Tauchversuch“ im Reagenzglas das tatsächliche Volumen des Eies bestimmt. Es beträgt 65, 5 cm³. Eine Vermessung des Eies mit einer Schieblehre liefert folgende Ergebnisse: Länge 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 3, 7 4 4, 5 5 5, 5 6 Höhe 1 1, 5 1, 8 2 2, 1 2, 2 2, 31 2, 2 2 1, 7 1, 2 0
Das Ei Volumenberechnung Mit den so gefunden Messpunkten erhalten wir die Randfunktion des Eies, die wir auf drei verschiedene Arten interpretieren möchten: 1. Viertelellipse und Viertelkreis 2. Wurzelfunktion und Viertelkreis 3. Logarithmusfunktion und Viertelkreis
Das Ei Volumenberechnung Das Volumen eines Rotationskörpers berechnet sich durch wobei f(x) die Randfunktion ist, die um die x-Achse rotiert.
Das Ei Volumenberechnung 1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und Viertelkreis Durch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir als Randfunktionen - für die Ellipse: - für den Kreis:
Das Ei Volumenberechnung 1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und Viertelkreis Somit ergibt sich für das Volumen des elliptischen Teils des Eies: = 41, 3508 cm³ Für den Kreisteil des Eis folgt: = 25, 8156 cm³
Das Ei Volumenberechnung 1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und Viertelkreis Also hat unser Ei ein berechnetes Volumen von 41, 3508 cm³ + 25, 8156 cm³ = 67, 1664 cm³ Dies sind 1, 6664 cm³ mehr, als unser gemessenes Volumen.
Das Ei Volumenberechnung 2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und Viertelkreis Durch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir als Randfunktionen - für die Wurzelfkt. : - für den Kreis:
Das Ei Volumenberechnung 2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und Viertelkreis Somit ergibt sich für das Volumen des Teils, den wir als Wurzelfunktion Dargestellt haben: = 37, 9824 cm³ Für den Viertelkreis gilt weiterhin: Vol(K) = 25, 8156 cm³
Das Ei Volumenberechnung 2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und Viertelkreis Also hat unser Ei diesmal ein berechnetes Volumen von 37, 9824 cm³ + 25, 8156 cm³ = 63, 798 cm³ Dies sind 1, 702 cm³ weniger, als unser gemessenes Volumen.
Das Ei Volumenberechnung 3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und Viertelkreis Durch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir als Randfunktionen - für die Logarithmusfkt. : - für den Kreis:
Das Ei Volumenberechnung 3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und Viertelkreis Somit ergibt sich für das Volumen des Teils, den wir als Wurzelfunktion Dargestellt haben: = 38, 3979 cm³ Für den Viertelkreis gilt weiterhin: Vol(K) = 25, 8156 cm³
Das Ei Volumenberechnung 3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und Viertelkreis Also hat unser Ei diesmal ein berechnetes Volumen von 38, 3979 cm³ + 25, 8156 cm³ = 64, 2135 cm³ Dies sind 1, 2865 cm³ weniger, als unser gemessenes Volumen.
Das Ei Oberflächenberechnung Die Oberfläche eines Rotationskörpers berechnet sich durch wobei f(x) die Randfunktion ist, die um die x-Achse rotiert. (Netzplan eines Eies)
Das Ei Oberflächenberechnung 1. Oberflächenberechnung mit Viertelellipse und Viertelkreis Es ist und = Für den elliptischen Teil des Eies.
Das Ei Oberflächenberechnung 1. Oberflächenberechnung mit Viertelellipse und Viertelkreis Es ist und = Für den Kreisteil des Eies.
Das Ei Oberflächenberechnung Es folgt mit Hilfe der Formel für die Oberfläche eines Rotationskörpers, dass das Ei eine Oberfläche von + = 80, 57 cm² hat.
Das Ei Oberflächenberechnung Berechnet man die Oberfläche des Eies mit Hilfe der anderen beiden Funktionen, so erhält man als Ergebnis - 78, 63 cm² für die Wurzelfunktion - 78, 52 cm² für die Logarithmusfunktion Bei der Oberfläche bereitet das reale Nachmessen sehr große Schwierigkeiten, will man eine gute Genauigkeit erzielen.
Das Ei Woher kommt der Unterschied? Schauen wir uns die drei verschiedenen Funktionen, mit denen wir das Ei modelliert haben übereinander gelegt an, werden wir es sehen.
Das Ei Woher kommt der Unterschied? Im Dreidimensionalen sehen wir den Unterschied noch deutlicher. Ellipse Wurzelfunktion Logarithmusfunktion
Das Ei – Eine Zeitungsmeldung Schnelle Drehung bringt den Stern Atair in Ei-Form Pole flachen ab und Äquator beult sich aus Der Stern Atair im Sternbild Adler dreht sich so schnell, dass er an den Polen abgeplattet und am Äquator ausgebeult ist. Die Ei. Form entdeckten Forscher um Gerard van Belle vom Jet Propulsion Laboratory (JPL) der Nasa mit einem besonders hochauflösenden Teleskop am Mount Palomar in Kalifornien. Das Palomar Testbed Interferometer besteht aus drei 50 Zentimeter-Spiegeln, die zusammengenommen so scharf blicken wie ein Teleskop von der Größe eines Fußballfeldes.
Wir verlassen nun den Kühlschrank n n n Wir sehen auf einem Tisch ein Rollenspiel liegen! Doch was hat dies mit Körpern zu tun? Dieses Spiel wird mit Würfeln gespielt die dem normalen W 6 nicht gerade sehr ähnlich sind!
Die Rollenspielwürfel n n Als Würfel wird im Rollenspiel nicht nur der bekannte Sechsseiter bezeichnet, wie man ihn aus der Mathematik kennt. Auch alle anderen regulären Polyeder und wenige andere Körper werden verwendet! Das wichtigste Unterscheidungskriterium von Würfeln im Rollenspiel ist die Anzahl der Seiten. Entsprechend der Anzahl seiner Seiten wird der normale Würfel mit W 6 bezeichnet
Die Rollenspielwürfel n n Wobei: n W 4 ist ein Tetraeder aus 4 gleichseitigen Dreiecken n W 6 ist ein Hexaeder aus 6 Quadraten n W 8 ist ein Oktaeder aus 8 gleichseitigen Dreiecken n W 10 ist ein Körper aus 10 (nicht rechteckigen) Vierecken n W 12 ist ein Dodekaeder aus 12 Fünfecken n W 20 ist ein Ikosaeder aus 20 gleichseitigen Dreiecken Man sieht dass W 4, W 6, W 8, W 12, W 20 die fünf platonischen Körper sind!
Platon 427 -347 v. Chr. n n Griechischer Philosoph, Neffe des Kritias, Schüler des Sokrates und Lehrer von Aristoteles und Plotin. Um 387 gründete er in Athen eine Akademie, in der Politiker ausgebildet wurden. Platon begründete die Staatslehre „Politeia“. In Platons Idealstaat in dem der Herrscher ein Philosoph sein sollte, gelten Pflichterfüllung und Gerechtigkeitssinn als höchste Tugend. Alles wird dem gesellschaftlichen Ganzen untergeordnet Zitate: n n Alles ist Werden. Nichts ist. Das Denken ist Selbstgespräch der Seele.
Die platonischen Körper n Kurze Übersicht n Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder, (Hexaeder=Würfel) n n Definition Formeln Dualität zwischen Polyedern insb. Zwischen platonischen Körpern Warum ist die Anzahl der platonischen Körper beschränkt?
Die platonischen Körper n n Seit Platon sind die fünf einzigen möglichen Polyeder bekannt deren Begrenzungsflächen alle kongurente regelmäßige Vielecke sind und deren Ecken alle die gleiche Zahl angrenzender Flachen/Kanten haben. (regelmäßige Polyeder) Eine kleine Übersicht: Polyederformel
Die platonische Körper Tetraeder n n n Das Tetraeder lässt sich in einen Hexaeder einbeschreiben, wobei die 6 Kanten die Diagonalen der 6 quadratischen Flächen des Hexaeders bilden. Dabei entspricht die Kantenlänge des Tetraeders das -fache der Kantenlänge des Hexaeders (Pythagoras). Das Volumen beträgt 1/3 des Hexaeders Das Tetraeder gehört auch zu den Pyramiden mit der Besonderheit, dass es egal ist auf welcher Seite es steht. Das Tetraeder lässt sich so in zwei Teile schneiden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ergibt. Das Tetraeder lässt sich in drei gleiche Teile zerlegen. Platons Zuordnung: n Feuer
Die platonischen Körper Tetraeder n Volumen: n n Oberfläche n n Umkugelradius ru und Inkugelradius r n n , Höhe n
Die platonischen Körper Oktaeder n n n Das Oktaeder ist eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche). Formeln n Volumen: n Oberfläche: n Umkugelradius ru und Inkugelradius ri: Platons Zuordnung n Luft
Die platonischen Körper Dodekaeder n n Genauer Pentagondodekaeder Die Bezeichnung –dodekaeder wird auch für andere Polyeder mit 12 Flächen verwendet n n n Rohmbendodekaeder besitzt 12 konkurente Rhomben (Rauten) als Fläche, 14 Ecken und 24 Kanten Es bildet die typische Kristalform der Granate Das Trigondodekaeder besitzt 12 konkurente gleichseitige Dreiecke als Flächen, 8 Ecken und 16 Kanten Auch bei Geodätischen Kuppeln werden Polyeder verwendet, die vom Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in (gleichschenkelige) Dreiecke unterteilt werden Platons Zuordnung n Weltganzes
Die platonischen Körper Dodekaeder n Volumen: n n Oberfläche n n Umkugelradius ru und Inkreisradius ri n n
Die platonischen Körper Ikosaeder n n Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristalgitter mit Ikosaedersymmetrie geben! Vorkommen: n n Ein Europafußball besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken. Aus geometrischer Sicht ist ein Fußball ein Ikosaeder, dessen 12 Ecken zu Fünfecken platt gedrückt wurden, oder ein Dodekaeder dessen 20 Ecken zu Sechsecken platt gedrückt wurden. Ein Fußball besitzt somit die volle Symmetrie eines Ikosaeders Die selben Eigenschaften gelten für C 60 -Buckminister Fulleren! Platons Zuordnung n Wasser
Die platonischen Körper Ikosaeder n Volumen: n n Oberfläche n n Umkugelradius ru und Inkreisradius ri n n
Die platonischen Körper Dualität n n Mit Dualität wird die Beziehung zwei Polyeder zueinander bezeichnet; man spricht dann von zueinander dualen Polyedern Beispiel n n n Hexaeder und Oktaeder Tetraeder und Tetraeder Dodekaeder und Isokaeder
Die platonischen Körper Dualität n Betrachten wir den Hexaeder und den Oktaeder genauer! n n n Die Flächenmittelpunkte der Hexaederflächen definieren die Eckpunkte eines Oktaeders! Die Flächenmittelpunkte eines Oktaeders definieren die Eckpunkte eines Hexaeders Genauso verhalten sich auch Dodekaeder und Ikosaeder zueinander. Das Tetraeder hingegen ist sich selbst dual. Dies bedeutet, dass die Flächenmittelpunkte des Tetraeders die Eckpunkte eines neuen Tetraeders definieren! Allgemein: n Die Anzahl der Kanten in jedem Paar ist dieselbe, aber die Anzahl der Oberflächen des einen ist die Anzahl der Eckpunkte des anderen, und umgekehrt.
Die platonischen Körper Warum muss die Anzahl begrenzt sein? n n n Jede Ecke eines konvexen platonischen Körpers zeigt nach „außen“ Dies ist nur möglich wenn die Innenwinkel ((n-2)*180°) der an einer Ecke aufeinander treffenden Flächen kleiner als 360° ist. Denn: n n n Bei genau 360° bekommt man keine Ecke mehr sondern eine Fläche Bei mehr als 360° passt das ganze überhaupt nicht mehr Mindestens 3 Flächen treffen sich an jeder Ecke eines Polyeders. (siehe Tabelle) n An den Ecken dürfen nur zusammenstoßen: n n n 3, 4 oder 5 Dreiecke 3 Vierecke 5 Fünfecke
Tabelle n Zurück
Die platonischen Körper Warum muss die Anzahl begrenzt sein? n Dies sind wirklich die einzigen Möglichkeiten denn: n n n 6 Dreiecke, 4 Vierecke oder 3 Sechsecke ergeben nämlich schon 360° 4 Fünfecke würden die 360° sogar überschreiten Das heißt es gibt nur 5 Kombinationen und dies hat zur folge: Es gibt genau 5 platonische Körper n Anmerkung: n Die platonischen Körper kommen in der Natur nur in angenäherter Gestalt vor. Mineralogie und Kristallograpfie klassifizieren mit „Idealgestallten“, bei Ihnen sind aber andere Formen, z. B. Sechsecksäule beim Basalt genauso wichtig. Die platonischen Körper sind in diesem Sinne eine reine „Erfindung der Menschen“
Die Reise nähert sich dem Ende n n Dieser Abschnitt soll jetzt noch zeigen dass man viele Körper auch im z. B Nanokosmus findet Es ist aber hier sehr wichtig dass man, wie schon im ganzen Vortrag, geometrische Körper nur als Anschauungsmodell heranzieht! Beispiel n n Platonische Körper n Atome (Elektronenwolken) Es werden einige ausgewählten Beispiele folgen
Die Reise nähert sich dem Ende n n Wir sehen auf einem Tisch eine Pflanze stehen und zoomen auf ein Blatt! Wir sehen dort einen Regentropfen der Kugelform angenommen hat, aber wieso?
Die Reise nähert sich dem Ende n Wir haben ein Lotusblatt erwischt n n n Wasser, Honig uvm perlen einfach ab! Das Wasser berührt auf nur wenigen Punkten das Blatt und wegen der Oberflächenspannung bildet sich eine Kugel Betrachtet man das Blatt unter einem Rasterelektronen-Mikroskop so sieht man dies: Es sind viele kleine Hügel und kleine Kugeln zu erkennen Weitere Anwendung n n Teflon Sportkleidung
Die Reise nähert sich dem Ende n Kohlenstoff-Nanoröhren sind aus sechseckigen Anordnungen von Kohlenstoffatomen aufgebaut n n Sie können als zukünftige Transistoren in Prozessoren und Speicherchips dienen Weitere Beobachtungen unter dem Rasterelekt. -Mikroskop n Photonische Kristalle: Anwendung als Leistungsstarke Leuchtdioden für z. B Ampeln, Leitsysteme und evtl in Auto-Scheinwerfern
Die Reise nähert sich dem Ende n Weitere Beobachtungen unter dem Rasterelekt. -Mikroskop n n Der Hausstaub besteht auch aus vielen kleinen geometrischen Körpern! Als letztes Beispiel zeigt das folgende Bild ein Hepatitis B Virus es besteht anschaulich aus Röhren und Schläuchen umgeben von einer Kugel
Ende n Unsere Reise vom Großen ins Kleine endet nun hier und wir hoffen wir konnten einen kleinen Einblick in die Welt der geometrischen Körper und deren Verknüpfung in die Wirklichkeit geben!
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