Semelhana de tringulos e relaes mtricas no tringulo

Semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo

O conceito de semelhança • Ampliando e reduzindo figuras simples:

Definição de polígonos semelhantes • Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições: – As medidas dos lados que se correspondem são proporcionais. – As medidas dos ângulos que se correspondem são iguais.

Polígonos semelhantes: ângulos “iguais” e lados proporcionais.

SEMELHANÇA DE TRI NGULOS

Semelhança de triângulos Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais mas lados não necessariamente proporcionais Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais e lados proporcionais.

Semelhança de triângulos • A forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos os seus ângulos. • Na verdade, a forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos 2 de seus 3 ângulos.

Semelhança de triângulos • Ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos também é igual. • Neste caso, os ângulos Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º

Semelhança de triângulos • Se os dois triângulos possuem (dois) ângulos iguais então, consequentemente, possuem lados proporcionais.

Semelhança RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO (EXERCÍCIOS)

Relações métricas no triângulo retângulo Medidas: a: hipotenusa b: maior cateto c: menor cateto h: altura relativa à hipotenusa m: projeção do cateto b n: projeção do cateto c

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Semelhança RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRI NGULO RET NGULO (GABARITOS)

Relações métricas no triângulo retângulo H

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

QUAL É A ÚNICA DIFERENÇA ENTRE AS IMAGENS APRESENTADAS?

Figuras que apresentam a mesma forma, mas possuem tamanhos diferentes, são chamadas figuras semelhantes.

APLICAÇÕES DA SEMELHANÇA

POLÍGONOS SEMELHANTES Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras: Observe que: • os ângulos correspondentes são congruentes: • os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais: Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes: ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja: Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: ngulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. PROPRIEDADES: Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: • Perímetro de ABCDE (2 p) = AB + BC + CD + DE + EA • Perímetro de A'B'C'D'E' (2 p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'

Exemplo: Os lados de um triângulo medem 3, 6 cm, 6, 4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo. Solução Logo, os lados do segundo triângulo são 9 cm, 16 cm e 20 cm.

Observe os triângulos ABC e RST da figura: Comparando esses triângulos, é possível perceber que eles têm a mesma forma, sendo um deles ampliação ou redução do outro. Em geometria dizemos que eles são triângulos semelhantes.

Dois triângulos são semelhantes quando têm: v. Os ângulos respectivamente congruentes; v. Os lados correspondentes (são os lados opostos ao mesmo ângulo) proporcionais. Em relação aos triângulos anteriores, a razão de semelhança do menor triângulo para o maior é: Obs. : Se a razão de semelhança de dois triângulos é 1, esses triângulos são congruentes

EXERCÍCIOS: 1. Um edifício projeta uma sombra de 10 metros, e um poste de 12 metros projeta uma sombra de 4 metros. Qual a altura do edifício, sabendo que ele e o poste são perpendiculares. 4 x = 120 X = 30

Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ele determina é semelhante ao primeiro.

EXERCÍCIOS: 2. Na figura, temos DE // BC. a) Qual o valor de x? b) Qual o valor de y? c) Qual o perímetro do ∆ ABC? d) Qual o perímetro do ∆ ADE?

CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA Para saber se dois triângulos são semelhantes não é necessário examinar todos os lados e todos os ângulos. Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes. Dois triângulos congruentes → Triângulos semelhantes → Lados proporcionais