SELN SSTAVY 2 Obsah seln sstavy Delenie selnch

ČÍSELNÉ SÚSTAVY 2

Obsah � � Číselné sústavy Delenie číselných sústav � Desiatková čís. sústava � Dvojková � Osmičková � Šestnástková � � Prevody sústav Základné operácie (+, -, : , *) 1

Cieľ - - vysvetliť pojem binárna sústava ukázať ako prepíšeme číslo z desiatkovej do binárnej číselnej sústavy. . . a z binárnej do desiatkovej 2

Základné pojmy � Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier) � Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic � Číselnú sústavu charakterizuje z vonkajšieho pohľadu použitá množina znakov - číslic 3

Delenie číselných sústav � Polyadické (pozičné) – význam číslice vždy závisí od jej pozície v zápise � Dvojková � Osmičková � Desiatková � šestnástková � Nepolyadické (nepozičné) – význam číslice nemusí vždy závisieť od jej pozície v zápise � Rímska � „pivná“ � Vo výpočtovej technike sa používajú len pozičné sústavy 4

5

Číselné sústavy v informatike � � V súvislosti s programovaním a výpočtovou technikou vôbec sa najčastejšie stretneme s číslami v sústave desiatkovej(dekadickej), osmičkovej (oktálovej), šestnástkovej(hexadecimálnej) a dvojkovej (binárnej), preto sa ďalej budeme zaoberať prevodmi čísel: 6

Desiatková sústava � � Používame 10 číslic ( prečo ? ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 � Hodnota číslice závisí od jej pozície v čísle ( napr. číslica 3 má na pozícii jednotiek inú hodnotu ako na pozícii stoviek ) � V minulosti sa používali číselné sústavy, ktoré neboli pozičné ani desiatkové. . . príkladom takej číselnej sústavy sú rímske číslice � 7

Dvojková sústava � � � 2 cifry: 0 a 1 0 znamená nepravda, 1 – pravda 8

Osmičková � � 8 cifier: 0– 7 9

Šestnástková � � � � 16 cifier: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 10 – A 11 – B 12 – C 13 – D 14 – E 15 - F 10

Prevod čísla z desiatkovej do dvojkovej sústavy � � prečítaj číslo opakuj číslo deľ dvoma zapíš zvyšok až kým podiel nebude 0 zvyšky zapíš od posledného po prvý

Príklad : Prepíšte číslo 78 do dvojkovej sústavy ! 78: 2=39 zv. 0 39: 2=19 zv. 1 19: 2= 9 zv. 1 9: 2= 4 zv. 1 4: 2= 2 zv. 0 2: 2= 1 zv. 0 1: 2= 0 zv. 1 koniec Výsledok je 1001110

Prevod čísla z binárnej sústavy do desiatkovej : � � � na začiatku je výsledok 0 opakuj výsledok vynásob dvoma oddeľ jednu číslicu zľava a pripočítaj ju k výsledku až kým nebudeš na konci čísla

Príklad : Číslo 1001110 je zapísané v binárnej sústave. Prepíšte ho do desiatkovej číselnej sústavy ! Riešenie : ((((((0. 2+1). 2+0). 2+1). 2+0=78 Tento postup je vhodný ako algoritmus pre počítač – na ručný prepočet ho neodporúčam !

Príklad : Číslo 1001110 je zapísané v binárnej sústave. Prepíšte ho do desiatkovej číselnej sústavy ! Iný spôsob riešenia : 1001110= =1. 26+0. 25+0. 24+1. 23+1. 22+1. 21+0. 20= =64+0+0+8+4+2+0=78

Kalkulačky online � http: //matematika-onlinea. kvalitne. cz/kalkulacka-online. htm 16

OPERÁCIE

Súčet � � � 0+0=0 0 + 1=1 1+0=1 1 + 1 = 10 1 + 1 = 11 18

Súčin � 1. 0=0 0. 1=0 0. 0=0 1. 1=1 10. 1 = 10 19

ROZDIEL � � 1 - 0 = 1 0– 0=0 1– 1=0 10 - 1 = 1 11 – 10 = 1 11 – 1 = 10 20

Podiel � � � 1: 1=1 10 : 1 = 10 11 : 1 =http: //matematika-online 11 a. kvalitne. cz/kalkulacka-online. htm 21

Načo je to dobré ? � � Ak je informácia zapísaná ako binárne číslo, tak ju nazývame digitálna informácia Počítače a moderné komunikačné systémy spracúvajú a šíria digitálne informácie oveľa rýchlejšie ako analógové informácie Text Text

� � � • Ak ste nepochopili predchádzajúce prepočty, nezúfajte ! Vedecká kalkulačka umožňuje prevod čísla do binárnej ( Bin ), osmičkovej ( Oct ) aj šestnástkovej = hexadecimálnej ( Hex ) sústavy Šestnástková sústava okrem bežných číslic používa číslice s nasledovnou hodnotou : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F =15 Vyskúšajte si prácu s vedeckou kalkulačkou ! Nájdete ju na každom počítači

Zdroje � www. gymzv. sk/~prezentacie/matematika/novak y/ciselne_sustavy. pps � www. spseke. sk/web/copko/download/3_rocnik/ vyt/2/sustavy. ppt � www. infovek. sk/predmety/inform/projekty/msp/. . . /ciselnesustavy. ppt 24

PRÍKLADY

Prevod z desiatkovej do dvojkovej sústavy � Preveďte číslo 39 z desiatkovej do dvojkovej sústavy. Násobok Nci zvyšok 0 39 39/2=19 1 1 19 19/2=9 1 2 9 9/2=4 1 3 4 4/2=2 0 4 2 2/2=1 0 5 1 1/2=0 1 (39)10 = (100111)2 V Ý Z N A M 26

Prevod z dvojkovej do desiatkovej sústavy Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: S 6=0, z=2 a 5=1, a 4=0, a 3=0, a 2=1, a 1=1, a 0=1 Nc=S 0=? Vzťahy: Si = Si+1*z+ai i zvyš ok Si+1*z Si 5 1 0*2=0 0+1=1 4 0 1*2=2 2+0=2 3 0 2*2=4 4+0=4 2 1 4*2=8 8+1=9 1 1 9*2=18 18+1=19 0 1 19*2=38 38+1=39 (100111)2 = (39)10 27

PRE ZÁUJEMCOV

Prevod celých čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy � � Nech A je celé číslo v sústave s nedesiatkovým základom a jeho jednotlivé cifry sú ai (i=n, n-1, . . . 0) Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať Nech Nc je hľadané číslo Potom Si = Si+1*z+ai � Nc=S 0 � Sn+1=0 � � Hornerova schéma Alebo 30

Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: z=2 a 5=1, a 4=0, a 3=0, a 2=1, a 1=1, a 0=1 Nc=? Riešenie: Nc = a 5*25 + a 4*24 + a 3*23 + a 2*22 + a 1*21 + a 0*20 Nc = 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 Nc = 32 + 0 +0 +4 +2 +1 Nc = 39 Vzťahy: (100111)2 = (39)10 31

Prevod desatinných čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej sústavy � � Nech A je desatinná časť čísla v sústave s nedesiatkovým základom a jej jednotlivé cifry sú ai (i=-1, -2, . . . -m) Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať Nech Nd je desatinná časť hľadaného čísla Potom S-i = S-i-1/z+a-i � Nd=S-1/z � S-m-1=0 � � Alebo 32

Príklad: Preveďte číslo 0. 010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: S-7=0, z=2 a-6=1, a-5=1, a-4=0, a-3=0, a-2=1, a-1=0 Nd=S-1/z=? Vzťahy: S-i = S-i-1/z+a-i i a-i S-i-1/z S-i 6 1 0/2=0 0+1=1 5 1 1/2=0, 5+1=1, 5 4 0 1, 5/2=0, 75+0=0, 75 3 0 0, 75/2=0, 375+0=0, 375 2 1 0, 375/2=0, 1875+1=1, 1875 1 0 1, 1857/2=0, 59375+0=0, 59375 S-1/z =0, 296875 (0, 010011)2 = (0, 296875)10 33

Príklad: Preveďte číslo 0. 010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy. Dané: z=2 a-6=1, a-5=1, a-4=0, a-3=0, a-2=1, a-1=0 Nd=? Vzťahy: Riešenie: Nd = a-6*2 -6 + a-3*2 -3 + a-5*2 -5 + a-2*2 -2 + a-4*2 -4 + a-1*2 -1 + Nd = 1*0, 015625 + 1*0, 03125 + 0*0, 0625 + + 0*0, 125 + 1*0, 25 + 0*0, 5 Nd = 0, 015625 +0 + 0, 03125 + 0, 25 +0 +0 + Nd = 0, 296875 (0, 010011)2 = (0, 296875)10 34

Prevod medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2 � � � Nech A je číslo v sústave, z ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú ai Nech P je číslo v sústave, do ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú pi Prevod medzi sústavami so základmi 2 j a 2 k 35

Prevod medzi sústavami so základmi 2 j a 2 k ak j=2 a k>2 � � 1. 2. 3. Číslo A je v tvare anan-1. . . a 1 a 0. a-1 a-2. . . a-m Postup: K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi 36

Príklad: Preveďťe číslo 1110011. 1101 z dvojkovej do osmičkovej sústavy Riešenie: Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda j=1. Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda k=3. 1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k. Počet číslic celej časti je 7. Najbližší násobok čísla 3 je 9. Teda celá časť čísla bude mať 9 číslic => 001110011 2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k. Počet číslic desatinnej časti je 4. Najbližší násobok čísla 3 je 6. Teda desatinná časť čísla bude mať 6 číslic => 110100 37

Príklad 3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi. Teda z cifier čísla 001110011. 110100 vytvoríme trojice, ktoré potom prevádzame. 001 | 110 | 011. 110 | 100 1 6 3 . 6 4 (1110011, 1101)2 = (163, 64)8 38

Prevod medzi sústavami so základmi 2 j a 2 k ak j>2 a k=2 � � 1. Číslo A je v tvare anan-1. . . a 1 a 0. a-1 a-2. . . a-m Postup: Jednotilvé číslice ai prevádzame na j-tice 39

Príklad: Preveďťe číslo 163. 64 z osmičkovej do dvojkovej sústavy Riešenie: Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda j=3. Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda k=1. 1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na trojice 1 6 001 110 3 . 6 011. 110 4 100 (1110011, 1101)2 = (163, 64)8 40

Prevod medzi sústavami so základmi 2 i a 2 j ak i>2 a j>2 � � 1. 2. Číslo A je v tvare anan-1. . . a 1 a 0. a-1 a-2. . . a-m Postup: Číslo A prevedieme do dvojkovej sústavy, podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2 i a 2 j ak i>2 a j=2 Nové A v dvojkovej sústave prevedieme podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2 i a 2 j ak i=2 a j>2 41