seln prevody obsah Princp potania v desiatkovej sstave

Číselné prevody – obsah Princíp počítania v desiatkovej sústave Počítanie v iných sústavách Obecné pravidlá pri počítaní Prevody medzi číselnými sústavami Prevod dvojkového čísla do vyšších sústav Sčítanie dvojkových čísel Násobenie Odčítanie Bonus : o)

Číselné prevody – počítanie Počítame: 0 v desiatkovej číselnej sústave 1 2 3 4 5 6 7 8 po vyčerpaní všetkých symbolov začneme znova od nuly a prevedieme 1 do vyššieho rádu 9 10 11 potom pokračujeme podľa tohto pravidla 12. . . atď.

Číselné prevody – počítanie Počítame: 0 1 2 3 4 po vyčerpaní všetkých 5 symbolov začneme znova od nuly a prevedieme 1 do vyššieho rádu, 10 lenže pri päťkovej sústave sa to stane skôr! 11 12 potom pokračujeme podľa tohto pravidla 13 14 20 - všimnite si po 14 nasleduje 20, t. j. znova prevod do vyššieho rádu 21. . . atď. alebo v päťkovej číselnej sústave

Číselné prevody – počítame dvojkovo Počítame: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 v dvojkovej číselnej sústave Na jednotlivých pozíciách sa veľmi rýchlo striedajú nuly a jednotky – to sú všetky symboly, ktoré používame. Všimnite si ako sa striedajú nuly a jednotky na poslednej pozícii, dvojice núl a jednotiek na predposlednej, štvorice pred nimi. . . a aj to, že ako rýchlo sa dostaneme do vysokých rádov!!!

Číselné prevody – pravidlá Zhrnutie: Základ Číslice Pozičné hodnoty 10 0, 1, 2, . . . 9 . . 1000 103 100 102 5 0, 1, 2, 3, 4; . . . 125 53 25 52 5 51 1 50 t. j. : 2 0, 1 . . . 4 22 2 21 1 20 t. j. : Obecne: Z 0, 1, 2, . . . z-1 . . . (mocniny z). . . z z 3 z 2 z 1 1 z 0 t. j. : 8 23 10 1, 101 100 t. j. : Pozn. : desiatkové číslo (napr. ) 2358 čítame: DVE tisíc TRI sto PÄŤ desiat osem - lebo čítame vlastne koľko násobkov jednotlivých pozičných hodnôt sa v tom čísle nachádza. Dvojkové číslo 1011 by sme teda mali čítať: JEDENosem JEDNOdve JEDEN.

Číselné prevody – desiatkovo-desiatkový Všimnite si nadpis: DESIATKOVO-DESIATKOVÝ Počítame: číslo delíme postupne základom do akej sústavy prevádzame, zvyšky si opíšeme pod výrazy: 358 : 10 = 35 zvyšok: 8 35 : 10 = 3 5 3 : 10 = 0 3 Výsledok poskladáme zo zvyškov – v opačnom poradí t. j. 358(10) (všetci vieme, že to vieme ; o)

Číselné prevody – desiatkovo-ľubovoľný Počítame: číslo delíme postupne päťkou, pritom si zvyšky opíšeme pod výrazy: 38 : 5 = 7 zvyšok: napr. päťkový 7: 5=1 1: 5=0 2 1 3 Vždy musíme dostať výsledok delenia nulu! Výsledné číslo poskladáme zo zvyškov – v opačnom poradí t. j. 123 (5) Kontrola správnosti: pozičné hodnoty: 25 5 1 výsledok: 1 2 3 (5) = 38 (10) (1 x 25 + 2 x 5 + 3 x 1)

Číselné prevody – desiatkovo-dvojkový Počítame: číslo delíme postupne dvojkou, pritom si zvyšky opíšeme pod výrazy: 13 : 2 = 6 zvyšok: 1 napr. dvojkový 6: 2=3 3: 2=1 1: 2=0 0 1 1 Výsledok delenia je nula. Výsledné číslo poskladáme zo zvyškov – v opačnom poradí t. j. 1101 (2) Kontrola správnosti: pozičné hodnoty: 8 4 2 1 výsledok: 1 1 0 1 (2) = 13 (10) (1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 1)

Číselné prevody – skupiny v rámci čísla Rok ako desiatkové číslo vyjadrujeme niekedy napr. v stovkách: - Čech napr. rok 1940 číta ako 19 stoviek a 40 (devatenáct set čtyřicet) alebo ako 2 samostatné čísla: - Angličan napr. rok 1940 číta ako 19, 40 (nineteen forty) Vlastne veľké čísla čítame podobne, v skupinách: tisíce, milióny, miliardy čítame samostatne. Konkrétne, napr. 123 456 789 čítame: stodvadsaťtri MILIÓNOV, štyristopäťdesiatšesť TISÍC. . .

Číselné prevody – skupiny v rámci čísla Vytvorme teda napr. v rámci dvojkového čísla dvojciferné skupiny, samozrejme od konca! Dostali by sme asi štvorky (niečo podobné ako stovky desiatkového čísla). Napr. číslo 101101(2) po rozdelení by mohlo vyzerať takto: 10 11 01(2) Keby sme vyjadrili jednotlivé skupiny skutočne jedným samostatným štvorkovým číslom, dostali by sme 231(4) Platí teda pravidlo: pomocou 2 bitov vieme zapísať čísla 0. . 3, t. j. jednu číslicu štvorkového čísla! Skúška : 32 16 8 4 2 1 16 4 1 1 0 1 (2) = 2 3 1(4) 45(10) = 45(10)

Číselné prevody – tvoríme väčšie skupiny Vytvorme v rámci dvojkového čísla trojciferné skupiny! Dostaneme osmičkové číslo: Napr. číslo 110101111(2) po rozdelení vyzerá takto: 110 101 111(2) Vyjadríme jednotlivé skupiny jedným osmičkovým číslom, dostaneme 657(8) Skúška : 256 128 64 1 1 0 Pozn. : 657(8) 32 16 8 4 2 1 64 8 1 1 0 1 1 (2) = 6 5 7(8) 431(10) = 6*64 + 5*8 + 7*1 = 384 + 40 + 7 = 431

Číselné prevody – hexadecimálne číslo Vytvorme v rámci dvojkového čísla štvorciferné skupiny! Dostaneme šestnástkové číslo (polbyte): Napr. číslo 110101111(2) po rozdelení vyzerá takto: 1 1010 1111(2) Vyjadríme jednotlivé skupiny jedným šestnástkovým číslom, dostaneme 1 AF(16). Hodnoty <10. . . 15> vyjadrujeme písmenami <A. . . F>. Skúška : 256 128 64 32 16 1 8 4 2 1 256 16 1 1 0 1 1 (2) = 1 A F(16) 431(10) = 431(10) Pozn. : 1 AF(16) = 1*256 + 10*16 +15*1 = 256 + 160 + 15 = 431

Číselné prevody – sčítanie Pamätáte si, ako sme počítali dvojkovo? Čo znamená prechod od čísla 111(2) na 1000(2)? Pripočítanie jednotky k 111(2): 111(2) + 1(2) 1000(2) Platia pravidlá: 0 +0 0 0 +1 1 1 +0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1 +1 10 čo je nula a prevod do vyššieho rádu

Číselné prevody – sčítanie Pomocou týchto pravidiel (zopakujeme si): 0 0 1 1 +0 +1 0 1 1 10 čo je nula a prevod do vyššieho rádu vieme sčítať 2 ľubovoľné dvojkové čísla, len POZOR: prevod vždy pripočítajte k číslam vo vyššom ráde: 1 0 1 (2) = 11(10) 1 (2) = + 5(10) 10 10 10 1 0 (2) = 16(10) + prevody do vyšších rádov: výsledok:

Číselné prevody – násobenie Vychádzame z desiatkových čísel: v desiatkovej koľko je napr. číselnej sústave trikrát päť? 3 * 5 = 5 +5 + 5 t. j trikrát sčítaj 5, výsledok 15. koľko je 23 * 5? trikrát päť plus dvakrát päť posunuté o rád: 5 + 5 Takto počítali + 5 mechanické + 5 kalkulátory 115

Číselné prevody – násobenie – dvojkové Vychádzame z desiatkových čísel: v koľko je napr. trikrát päť? 11(2) * 101(2) ? Sčítame dvakrát (dve jednotky čísla tri: 11(2) ale druhýkrát s rádovým posunom: dvojkovej číselnej sústave 101 * 11 101(2) + 101 (2) 1111(2) = takisto 15(10)

Číselné prevody – násobenie – dvojkové v dvojkovej číselnej 465(10) sústave . . . a niečo zložitejšie (stále NÁSOBÍME!!!): 1011101(2) = * 101(2) = 93(10) 5(10) = Je to to isté ako sčítať s pozičným posunom, stačí len opísať!!! 1011101 * 1011101 +0000000 +1011101 1 0 1 0 0 0 1 (2) = 465(10)

Číselné prevody – odčítanie – desiatkové Odčítanie je trošku zložité! v desiatkovej Znova vychádzame z desiatkových čísel: číselnej sústave ako vypočítame napr. 15 - 6 ? 5 15 10 číslo 15 rozdelíme na 2 časti: 10 a zvyšok -6 -6 Potom uvažujeme nasledovne: 5 päťku opíšeme: 10 k číslu 6 mám pripočítať do 10: -6 spolu to je: Výsledok: 15 – 6 = 9 5 4 9

Číselné prevody – odčítanie – desiatkové Keď by sme chceli zovšeobecniť toto v desiatkovej pravidlo, musíme spresniť tento číselnej sústave postup: desinu rozdelíme na 1 b) c) a) 15 rozdelíme + najväčšiu hodnotu na 510 a 5 sústavy 5 (opísať) 5 1 + 1 (opísať) 10 9 k 6 do 9 pripočítam 3: + 3 (doplnok) 15 -6 -6 9 -6 Doplnok teda počítame k najväčšej hodnote sústavy, v desiatkovej sústave k deviatke, nie k 10 !!! Všimli ste si? Výsledné čísla sme sčítali! Tento krok je zaujímavý v dvojkovej sústave, viď ďalej.

Číselné prevody – odčítanie – dvojkové Podobne to bude aj v dvojkovej sústave: namiesto druhého čísla používame doplnok. a) v dvojkovej číselnej Prvé číslo opíšeme, sústave b) opíšeme aj jednotku 110111 (2) - 1101 (2) Skúška 110111 (2). . . 11110010 (2) Doplnkové číslo vyrobíme tak, že v Po sčítaní všetkých čísel máme druhom čísle otočíme nuly na jednotky a 00101010 (2) výsledok. Najvyššiu jednotky na nuly. 1 stratíme. Z vodiacich núl vytvoríme správnosti: 110111 (2) = 55 (10) pre istotu pár jednotiek - 1101 = - 13 navyše. (2) 101010(2) = (10) 42(10)

Číselné sústavy - záver Provokatívne otázky na záver: aké čísla sú zobrazené? Sú to päťkové číslice alebo šestkové? Aké dvojkové číslo je toto? RIEŠENIE

Číselné sústavy - záver 4 1 5 0 2 3 (6) = 4*7776 + 1*1296 + 5*216 + 0*36 + 2*6 + 3*1 = 33495 To je nič! Traja (šiestimi rukami) by mohli napočítať do 46 655 !!! Aké dvojkové číslo je toto? No predsa 10001 01100, t. j. 556, a to na dvoch rukách!

Číselné sústavy - záver. . . A vlastne v akej sústave počítame desiatimi prstami? V desiatkovej určite nie!!! Do koľko vieme napočítať na jednej ruke? Päť prstov = 11111(2) = 31(10). . . a na dvoch rukách? 10 prstov, t. j 11111(2) = 1023(10) Neuveriteľné? Skúste to, len si nedolámte prsty. A hlavne: štvorku nikomu neukazujte ; o) Ďakujem za pozornosť! © Mgr. Alexander Meleg