Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1 Kuliah

Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -III” 2

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui www. darpublic. com 3

4 BILANGAN KOMPLEKS

Definisi Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan kompleks sebagai berikut Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x, y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan bagian nyata (real part) dari z bagian khayal (imaginary part) dari z kita tuliskan Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. 5

Bilangan Nyata Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata yang hanya dapat di angankan seperti . Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3, 14……. , dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya. Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata, | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Tinjaulah suatu fungsi tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu bilangan imajiner (khayal) 7

Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya maka bilangan imajiner j = 1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya 8

Pernyataan Bilangan Kompleks Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan bilangan kompleks bagian imajiner bagian nyata 9

Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks yang dibatasi oleh sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x, , y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya 10

Diagram Argand disebut modulus Im jb disebut argumen a Re 11

CONTOH Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai Sudut dengan sumbu nyata adalah Pernyataan z 1 dapat kita tuliskan 12

CONTOH Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai Pernyataan ini dapat kita tuliskan 13

Kesamaan Bilangan Kompleks Modulus merupakan nilai mutlak Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai yang sama akan tetapi dengan sudut yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai sama akan tetapi memiliki yang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik maupun yang sama besar. Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar. . 14

Negatif dari Bilangan Kompleks Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya Jika maka Im jb a Re 15

CONTOH Jika maka Sudut dengan sumbu nyata z 1 dapat dinyatakan sebagai 16

Konjugat Bilangan Kompleks Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z. Im Re 17

CONTOH: Jika maka Im Sudut dengan sumbu nyata Re z dapat dinyatakan sebagai 18

CONTOH: Im Jika maka Re 19

1. Operasi-Operasi Aljabar Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner. Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner. 20

CONTOH: Diketahui 21

Perkalian Bilangan Kompleks Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen Jika Perhatikan: 22

CONTOH: 23

Pembagian Bilangan Kompleks Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1 CONTOH: 24

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar Fungsi Eksponensial Kompleks Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata Jika z adalah bilangan kompleks fungsi eksponensial kompleks didefinisikan Melalui identitas Euler fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan 25

Bentuk Polar Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah Im Re CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j 0, 5 Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya z = 0, 5 rad Bentuk sudut sikunya adalah: Im Re 26

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j 4 Im Modulus Argumen Representasi polar Re z = 5 e j 0, 93 CONTOH: Misalkan Modulus Argumen tidak bernilai tunggal Di sini kita harus memilih = rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata 2 Im Re 27

. CONTOH: Misalkan Modulus Argumen komponen imajiner: 2 komponen nyata: 0 Representasi polar adalah Im Re 28

Manfaat Bentuk Polar Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian. CONTOH: Misalkan z 1 = 10 e j 0, 5 dan z 2 = 5 e j 0, 4 29

Konjugat Kompleks argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya Im Re Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut 30

CONTOH: Misalkan 31

Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika III Sesi 1 Sudaryatno Sudirham 32