Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1 Kuliah

Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini 1

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -I” 2

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui www. darpublic. com 3

Dalam Sesi-6 ini kita membahas Fungsi Trigonometri 4

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r = 1 Fungsi Cosecan y Fungsi sinus 1 Fungsi Tangent P r=1 -1 O [0, 0] - Q 1 x Fungsi Cosinus Fungsi Cotangent P’ -1 Fungsi Secan 5

Relasi-Relasi cos y sin cos 1 sin sin -1 [0, 0] cos sin 1 x cos -1 6

Relasi-Relasi cos y sin cos 1 sin sin -1 [0, 0] cos sin 1 x cos -1 Karena 7

Contoh: + 8

Contoh: + + 9

Fungsi Trigonometri Normal Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y Fungsi Sinus y Fungsi Cosinus y perioda 1 2 0 -1 Contoh: perioda 1 0 2 x 0 0 2 x -1 pergeseran fungsi cosinus sejauh /2 ke arah sumbu-x positif 10

Fungsi Tangent 3 2 1 -3 /4 - /2 - /4 0 0 -1 /4 -2 -3 /2 3 /4 Rentang: - /4 < tan < /4 /4 < tan < 3 /4 dst. Lebar rentang: /2 asimptot 11

Fungsi Cotangent asimptot 3 2 1 -3 /4 - /2 - /4 0 0 -1 -2 /4 /2 3 /4 Rentang: 0 < tan < /2 - /2 < tan < 0 dst. Lebar rentang: /2 -3 12

3 Fungsi Secan 2 1 -1, 5 - 0 -0, 5 0 0, 5 1, 5 -1 -2 -3 Rentang: - /2 < tan < /2 /2 < tan < 3 /2 dst. Lebar rentang: asimptot Fungsi Cosecan 3 2 1 -1, 5 - -0, 5 0 -1 -2 -3 0 0, 5 1, 5 Rentang: 0 < tan < - < tan < 0 dst. Lebar rentang: 13

Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi Sudut y yang sinusnya = x y 2 y 0, 5 -1 0 0 1 y 0, 25 1 2 x -1 -0, 5 0 0 0, 5 x x 1 -0, 25 -0, 5 Kurva nilai utama - /2 < sin-1 x < /2 Kurva lengkap -1 < x < 1 14

Cosinus Inversi y y 1 1 0, 75 y x 0, 5 -1 0 0 1 x 0, 25 -1 -0, 5 0 0 0, 5 x 1 Kurva nilai utama 0 < cos-1 x < Kurva lengkap -1 < x < 1 15

Tangent Inversi 1, 5 y y 0, 25 0, 5 0 -3 -2 -1 0 1 -0, 5 2 3 x -10 -5 0 x y 0 5 x 10 1 -0, 25 -0, 5 - -1, 5 Kurva nilai utama Kurva lengkap 16

Cotangent inversi dengan nilai utama 1 y 1 y 0, 5 -10 -5 0 0 x 5 x 10 Kurva nilai utama 17

Secan Inversi dengan nilai utama y x 0, 75 y 0, 5 1 0, 25 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 Kurva nilai utama 18

Cosecan Inversi dengan nilai utama y 0, 5 x 0, 25 y 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 -0, 25 -0, 5 Kurva nilai utama 19

Gabungan Fungsi Sinus 20

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus sudut fasa amplitudo frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f 0, kita mengenal juga frekuensi sudut, 0, dengan hubungan 21

Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan perioda Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: y y A 0 -A A T 0 0 t 0 T 0 0 Ts t -A Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus. 22

Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya y 4 y -5 4 0 -4 4 t 15 -5 y = 3 cos 2 f 0 t 0 -4 15 t y = 1 + 3 cos 2 f 0 t y 1 0 -5 15 -4 t -5 15 -4 Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan 23

Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat Komponen-komponen sinus yang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f 0 disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2 f 0 Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3 f 0 Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4 f 0 dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan yang disebut komponen searah 24

Contoh: Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi sinus dasar (fundamental). harmonisa-3 dan harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21. 25

Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum yaitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya. Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi yang merupakan selisih fmaks dan fmin 26

Suatu persamaan gelombang: Frekuensi 0 f 0 2 f 0 4 f 0 Amplitudo 10 30 15 7, 5 Sudut fasa 0 /2 40 2 30 /2 Sudut Fasa Amplitudo Contoh: 20 10 0 0 1 2 3 Frekuensi [ f 0] 4 Spektrum Amplitudo 5 0 0 /2 1 2 3 4 5 2 Frekuensi [ f 0] Spektrum Sudut-fasa 27

Deret Fourier Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik Koefisien Fourier Contoh: y T 0 t 28

Contoh: y A t T 0 Contoh: y A T 0 t 29

Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika Sesi 6 Sudaryatno Sudirham 30