Sebaran Peluang Teoritis Diskrit Sebaran Peluang Teoritis Variabel

Sebaran Peluang Teoritis Diskrit

Sebaran Peluang Teoritis Variabel Acak Diskrit 1. Sebaran peluang Uniform X= label titik contoh Contoh: X = munculnya mata dadu : X= 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. Sebaran peluang Binomial X= jumlah ‘sukses’ dalam n trial 3. Sebaran peluang multinomial X= jumlah ‘sukses’ kategori ke p diantara m katagori dalam n trial 4. Sebaran peluang Binomial negatif X= ‘ sukses’ ke x diantara n trial. 5. Sebaran peluang Geometrik X= banyaknya trial di mana ‘ sukses’ pertama kali terjadi. 6. Sebaran peluang Hypergeometrik X= jumlah ‘sukses’ dalam n sampel tanpa pemulihan. 7. Sebaran peluang Poisson X= jumlah kejadian dalam suatu rentang atau interval per 10 menit, per meter persegi, per meter kubik, dll. 2

Sebaran Uniform Pada pecobaan melempar sebuah dadu bermata 6, setiap mata dadu mempunyai peluang sama untuk muncul, sehingga jika X= angka pada mata dadu maka ; untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Histogram sebaran peluang mata dadu 3

Sebaran Binomial • Variabel acak Binomial mempunyai ciri: – n percobaan yang identik – Hasil percobaan: Sukses (s) atau gagal (f) – Peluang dalam 1 percobaan: P(s) = p; P(f) = q = 1 – p – Masing-masing percobaan tidak berkaitan – x adalah jumlah Sukses dalam n percobaan 4

Sebaran Binomial untuk n=3 • Variabel acak Binomial: – n percobaan identik – Hasil percobaan : sukses atau gagal – P(G) = p; P(A) = q = 1 – p – Percobaan independent – x = jumlah sukses dalam 3 percobaan Toss coin 3 kali Hasil: kepala atau angka P(G) =. 5; P(A) = 1 -. 5 =. 5 Munculnya G pada lemparan ke -i tidak berpengaruh pada nilai P(A) pada lemparan ke i +1 5

Sebaran Binomial untuk n=3 Ruang contoh pada 3 lemparan Peluang Hasil kalkulasi GGG (p)(p)(p) p 3 (1)p 3 q 0 GGA (p)(p)(q) p 2 q GAG (p)(q)(p) p 2 q AGG (q)(p)(p) p 2 q GAA (p)(q)(q) pq 2 AGA (q)(p)(q) pq 2 AAG (q)(q)(p) pq 2 AAA (q)(q)(q) q 3 (3)p 2 q 1 (3)p 1 q 2 (1)p 0 q 3 6

Formula Sebaran Binomial n= 5 bola n 1 = 2 bola dengan tulisan ‘sukses’ n 2= 3 bola dengan tulisan ‘gagal’ p= 3/5, q=1 -3/5=2/5 Misal banyaknya pengambilan bola 5 kali terdapat n = 5 percobaan. Ruang sampel dari kejadian jumlah bola bertuliskan ‘sukses’ yang didapat dalam 5 kali percobaan dapat diperinci sebagai berikut: 1)Tidak ada bola bertuliskan ‘sukses’ x= 0 2)Satu bola bertuliskan ‘sukses’ x= 1 3) Dua bola bertuliskan ‘sukses’ x= 2 7

Formula Sebaran Binomial 4) Tiga bola bertuliskan ‘sukses’ x= 3 5) Empat bola bertuliskan ‘sukses’ x= 4 6) Lima bola bertuliskan ‘sukses’ x= 5 Independensi antar percobaan memberikan formula: atau untuk x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 8

Contoh Sebaran Binomial • Misalkan 40% mahasiswa kelas 2 perempuan. • Berapa peluang bahwa 6 diantara 10 orang pertama yang masuk kelas adalah perempuan? 9

Sebaran Binomial • Parameter dari variabel acak binomial Mean Variansi Simpangan baku 10

Sebaran Binomial • Untuk percobaan lemparan 1, 000 coin, Pada kenyataannya, probabilitas mendapatkan persis 500 kepala dari 1000 lemparan adalah lebih dari 2. 5%, tetapi probabilitas untuk mendapatkan jumlah kepala antara 484 dan 516 adalah sekitar 68% (atau dalam kisaran satu kali simpangan baku dari nilai meannya) 11

Tabel Binomial kumulatif Tabel kumulatif Binomial digunakan menghitung peluang untuk lebih dari satu nilai x ( dalam bentuk interval: x> 2, x< 2 dll. ) seperti pada contoh berikut: Hitung peluang sedikitnya terdapat 2 Gambar pada percobaan melempar 6 coin. Hal ini dapat dituliskan: 12

Tabel Binomial kumulatif Lihat pada kolom p = 0. 5 , nilainya monoton naik mulai dari x=0 sampai dengan x = 6 seperti frekuensi kumulatif, sehingga peluang = P(X=2)+ P(X=3) +… + P(X=6) = 1 - 0. 109 = 0. 801 13

4. 5: Sebaran Poisson • Digunakan untuk menghitung probabilitas banyaknya kejadian (biasanya dalam jumlah kecil) dalam suatu interval: – – – waktu Area Volume bobot panjang dll 14

4. 5: Formula Sebaran Poisson • = mean dari jumlah kejadian dalam satuan waktu, area, volume, dll. • e = 2. 71828…. • µ= • 2 = 15

4. 5: Sebaran Poisson Contoh: Pada 1 m 2 tanah sawah secara rerata ditemukan 3 ekor tikus. Berapa peluang menemukan 5 tikus dalam area 1 m 2 berikutnya, dengan menganggap banyaknya tikus per m 2 mengikuti sebaran Poisson ? 16

4. 5: Sebaran Poisson • Berapa peluang mendapatkan tikus pada area ½ m 2 berikutnya, dengan menganggap banyaknya tikus per m 2 mengikuti sebaran Poisson ? – Karena luasan adalah separuh, maka dikalikan 1/2. 17

4. 6: Sebaran Hypergeometrik • Pada sebaran Binomial, masing-masing percobaan independen. – Mengambil beberapa kartu dari setumpuk kartu remi dan memulihkan kartu yang diambil setiap kali • Jika kartu tidak dikembalikan, setiap percobaan bergantung pada percobaan sebelumnya – Sebaran peluang hypergeometrik sesuai untuk situasi seperti ini.

4. 6: Sebaran Hypergeometrik • Secara acak mengambil n elemen dari kumpulan N elemen, tanpa pemulihan. Asumsikan terdapat r “sukses” dan N-r “gagal” dalam N elemen. • Variabel acak hypergeometrik x adalah jumlah “sukses”, terambil dari total r “sukses” yang terdapat dalam contoh acak berukuran n. 19

4. 6: Sebaran Hypergeometrik Di mana N = jumlah seluruh elemen r = jumlah sukses dalam N elemen n = ukuran sampel yang diambil dari N elemen X = jumlah sukses dalam n elemen 20

4. 6: Sebaran Hypergeometrik 21

4. 6: Sebaran Hypergeometrik • • Seorang pelanggan toko hewan ingin membeli 2 ekor kucing, tetapi ia ingin 2 kucing jantan atau 2 kucing betina. Jika di toko hewan itu ada 10 kucing, 5 jantan dan 5 betina. Berapa peluang mendapatkan dua kucing dengan kriteria tersebut untuk sekali pengambilan random terhadap 2 kucing ? 22