Schraubtorsen Evoluten und Evolventen Ergnzung zum multimedialen bilingualen

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Ergänzung zum multimedialen, bilingualen (deutsch/englisch) Buch „Darstellende Geometrie/ 3 D-Geometry“ erschienen im Veritas Verlag: Lehrerversion Schülerversion ISBN - 978 -3 -7058 -9079 -4 ISBN - 978 -3 -7058 -9293 -4 Speziell für Lehrende aufbereitetes Werk: Übersichtlich gegliederte Printversion von Theorie und detailliert aufbereiteten Beispielen. Das Kernstück ist die beiliegende CD, mit Theorie und Beispielen in Form von animierten Power. Point. Präsentationen für einfaches und bequemes Lehren geometrischer Inhalte. Speziell für Studierende aufbereitetes Werk: Arbeitsblätter in Printversion mit beiliegender CD. Auf der CD befinden sich Theorie und Beispiele in Form von animierten Power. Point-Präsentationen, die einfaches und bequemes Lernen geometrischer Inhalte bzw. schrittweises Lösen von räumlichen Aufgaben ermöglichen. Für weitere Details und Bestellung 1

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Die Schraubtorse ist bekanntlich eine Regelschraubfläche, d. h. sie entsteht durch Verschraubung einer Geraden um eine Achse. Bei einer Schraubtorse wird eine Tangente einer Schraublinie derselben Schraubung unterworfen, durch die Schraublinie entstanden ist. Die Schraubtorse ist somit eine schiefe offene Regelschraubfläche. Die Schraubtorse die einzige Regelschraubfläche, die abwickelbar ist. Schneidet man eine Schraubtorse mit einer zur Schraubachse normalen Ebene, so erhält eine besondere Schnittkurve. Evolvente Die Schnittkurve ist nämlich die Evolvente eines Kreises. 2

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Was ist eine Evolvente? Evolvente Eine Evolvente ist eine ebene Abwicklungskurve. Sie entsteht folgendermaßen: Denkt man sich einen Faden auf einer ebenen Kurve aufgewickelt und beginnt man diesen Faden von der starren Kurve eben abzuwickeln, so wird sein freies Ende eine gewisse Bahn durchlaufen. Diese Bahn ist die Evolvente jener Kurve, auf der Faden aufgewickelt war. Da man nicht nur an einer Kurvenstelle so einen Faden befestigen kann, sondern an allen Punkten der Kurve, gibt es stets unendlich viele Evolventen zu einer Kurve. Evolvente Für alle diese Evolventen gilt: • Sie sind Parallelkurven. • Ihre Tangenten sind normal zu ihren Erzeugenden. 3

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Der Grundriss einer Schraublinie hat die Form eines Kreises. Evolvente Die Schraubtorse entsteht durch Tangenten an diese Schraublinie. Stellt man sich also Schraubtorse und ebenen Schnitt im Grundriss vor, so kann man sehen, dass die Schnittlinie eine Kreisevolvente ist. Den Kreis selbst bezeichnet man in diesem Fall als Evolute. Evolvente Evolute 4

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Was versteht man unter einer Evolute? Eine Evolute ist eine ebene Kurve. Sie ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte einer ebenen gegebenen Kurve. Die Evolute entsteht auch als Hüllkurve aller Kurvennormalen einer gegebenen Kurve. z. B. : Bestimme die Evolute einer Ellipse: Die Evolute einer Ellipse wird Astroide genannt. Jede Kurve ist die Evolute all ihrer Evolventen und umgekehrt. 5

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Bestimme die Evolute einer Schraubtorse. Evolvente Die Evolute einer ebenen Kurve ist der geometrische Ort all ihrer Krümmungsmittelpunkte. Die Evolute entsteht auch als Hüllkurve aller Kurvennormalen. Evolute 6

Schraubtorsen, Evoluten und Evolventen Jene Schraublinie, deren Tangenten die Schraubtorse erzeugen, ist eine Gratlinie der Schraubtorse. Sie bildet eine scharfe Kante auf ihr. Die Geraden, die Schraubtorse beim Überstreichen erzeugen nennt man Erzeugenden. Alle Erzeugenden habe die gleiche Steigung. Schraubtorsen haben Tangentialebenen, die Torse jeweils entlang einer ganzen Erzeugenden berühren. 7